সদিক রাশি

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

যে সকল রাশি কে প্রকাশ করবার জন্য মান ও দিক উভয়েরই প্রয়োজন হয় তাদেরকে সদিক রাশি (ভেক্টর) বলা হয়। পদার্থবিজ্ঞান ও গাণিতিক ক্ষেত্রে ভেক্টরের ভূমিকা অনন্য।

ভেক্টর উপস্থাপন[সম্পাদনা]

সাধারনভাবে কোন অক্ষর দ্বারা ভেক্টরকে বোঝাতে হলে অক্ষরটিকে বোল্ড করে দেখানো হয় (যেমন: a )। কিন্তু হাতে লেখার সময় ভেক্টর বোঝাতে সাধারণত অক্ষরটির উপরে একটি তীর চিহ্ন (যেমন: \vec{a}) অথবা অক্ষরটির নিচে দাগ দিয়ে (যেমন: a ) ভেক্টর বুঝানো হয়ে থাকে। ধরা যাক একটি সরলরেখা AB দ্বারা A বিন্দু থেকে B বিন্দুগামী একটি ভেক্টরকে নির্দেশ করছে। তাহলে জ্যামিতিক ভাবে এটিকে নিম্নের চিত্রের মত করে উপস্থাপন করা যেতে পারে-

Vector AB from A to B.svg

প্রকারভেদ[সম্পাদনা]

গাণিতিক ব্যবহার অনুযায়ি ভেক্টরকে নিম্নরূপ ভাবে বিভক্ত করা যায়।

সমান ভেক্টর[সম্পাদনা]

সমজাতীয় দুটি ভেক্টর এর মান ও দিক যদি একই হয় তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে।

বিপরীত ভেক্টর[সম্পাদনা]

দুটি ভেক্টরের মান সমান হলে কিন্তু দিক ভিন্ন হলে তাদেরকে বিপরীত ভেক্টর বলে।

অবস্থান ভেক্টর[সম্পাদনা]

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে ঐ স্থানের কোনবিন্দুর অবস্থানকে নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয় তাদের কে অবস্তান ভেক্টর বলে।

একক ভেক্টর[সম্পাদনা]

যে সব ভেক্টরের মান একক তাদেরকে একক ভেক্টর বলা হয়।

শূন্য ভেক্টর[সম্পাদনা]

যে সব ভেক্টরের মান 'শূন্য' তাদের কে শূন্য ভেক্টর বলা হয়।

সমতলীয় ভেক্টর[সম্পাদনা]

দুই বা দুই এর অধিক ভেক্টর যদি একই তলে অবস্থান করে তবে তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

আয়ত একক ভেক্টর[সম্পাদনা]

ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক X-অক্ষ,Y-অক্ষ এবং Z-অক্ষ বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর বিবেচনা করা হয় তাদেরকে আয়ত একক ভেক্টর বলে। ধনাত্মক X,Y ও Z অক্ষ বরাবর এ আয়ত একক ভেক্টরগুলো যথাক্রমে i-hat, j-hatk-hat

সমরেখ ভেক্টর[সম্পাদনা]

দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই তলে একই সরলরেখা বরাবর পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলা হয়।

বিপ্রতীপ ভেক্টর[সম্পাদনা]

দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ হলে তাদের বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। যেমন: \overrightarrow{A}=3i-hat\overrightarrow{B}= 1/(3i-hat) হলে \overrightarrow{A}\overrightarrow{B} বিপ্রতীপ ভেক্টর।

ভেক্টর বীজগণিত[সম্পাদনা]

ভেক্টরের যোগ[সম্পাদনা]

ভেক্টর রাশির যোগ সাধারণ বীজগণিতের নিয়মে হয় না। এর জন্য ভেক্টর জ্যামিতি ব্যবহার করা হয়। দুটি ভেক্টরের যোগফলকে সাধারণত লব্ধি বলা হয়। ধরা যাক , দুটি ভেক্টর a এবং এর b এর লব্ধি a + bবের করতে হবে। এক্ষেত্রে প্রথমে a ভেক্টরটির শীর্ষবিন্দু , b ভেক্টরের পাদবিন্দুতে স্থাপন করতে হবে। এরপর a এর পাদবিন্দু এবং b এর শীর্ষবিন্দু সংযোগকারী রেখা অঙ্কন করতে হবে। এই সংযোজক সরল লেখাটিই ab এর লব্ধি নির্দেশ করবে।

দুটি ভেক্টর a ও b এর যোগ

অথবা a এবং b ভেক্টরদুটিকে যদি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর মাধ্যমে নির্দেশ করা যায়, তবে সামান্তরিকের কর্ণটিই ভেক্টর ab এর লব্ধি নির্দেশ করবে।

ভেক্টরের বিয়োগ[সম্পাদনা]

ধরা যাক দুটি ভেক্টর a এবং এর b এর বিয়োগফল বের করতে হবে। এক্ষেত্রে পূর্বের মত প্রথমে a ভেক্টরটির শীর্ষবিন্দু , b ভেক্টরের পাদবিন্দুতে স্থাপন করতে হবে। কিন্তু এবার a এর শীর্ষবিন্দু এবং b এর পাদবিন্দু সংযোগকারী রেখা অঙ্কন করতে হবে।এই সংযোজক সরল লেখাটি দ্বারা ab এর বিয়োগফল নির্ণয় করা যাবে।

দুটি ভেক্টর a ও b এর বিয়োগ

এছাড়া a ভেক্টরের সাথে ঋণাত্মক b ভেক্টর যোগ করলে ab এর বিয়োগফল পাওয়া যাবে।

ডট গুণন/স্কেলার গুণন[সম্পাদনা]

দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি স্কেলার হয় তবে তাকে ডট গুণন অথবা স্কেলার গুণন বলা হয়ে থাকে। এবং এই গুণফলের মান রাশিদ্বয়ের মান এসং এদের অন্তর্গত কোনের cosine-এর গুণফলের সমান। গাণিতিক ভাবে এটিকে নিম্নরূপে উপস্থাপন করা যায়-

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta

এখানে a এবং b হলো দুটি ভেক্টর আর θ হলো a এবং b এর মধ্যকার কোণ।

ক্রস গুণন/ভেক্টর গুণন[সম্পাদনা]

দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর হয় তবে তাকে ক্রস গুণন অথবা ভেক্টর গুণন বলা হয়ে থাকে।এবং এই গুণফলের মান রাশিদ্বয়ের মান এসং এদের অন্তর্গত কোনের sine-এর গুণফলের সমান। এবং এই গুণফল এর দিক ডানহাতি স্ক্রু-র নিয়ম অনুসরন করে। গাণিতিক ভাবে এটিকে নিম্নরূপে উপস্থাপন করা যায়-

ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন
\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}

এখানে θ হলো a এবং b এর মধ্যকার কোণ, এর n হলো একক ভেক্টর যেটি a এবং b এর লম্ব বরাবর অবস্থিত। ডান পাশের চিত্রটি লক্ষ্য করলে বিষয়টি আরও পরিষ্কার হবে।

ভেক্টর ক্যালকুলাস[সম্পাদনা]

ভেক্টরকে অনেক সময় ব্যবকলনের মাধ্যমেও (Directional derivative) প্রকাশ করা হয়। ধরা যাক f(x^\alpha) সমীকরনটি একটি ফাংশন এবং x^\alpha (\sigma) সমীকরনটি একটি বক্ররেখা (Curve) উপস্তাপন করে। তাহলে f কে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে-

\frac{df}{d\sigma} = \frac{dx^\alpha}{d\sigma}\frac{\partial f}{\partial x^\alpha}.

যেখানে \alpha হচ্ছে নির্দিষ্ট মাত্রার (dimensions এর) Summation convention (যেমন: ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডিয় কাঠামোতে এর মাত্রা ১ থেকে ৩ পর্যন্ত , আবার চতুর্মাত্রিক কাঠামোতে এর মাত্রা হবে ০ থেকে৩ পর্যন্ত)। এখন ধরা যাক যেকোন একটি ভেক্টর x^\alpha (\sigma) বক্র রেখাটির সাথে স্পর্শক রূপে বিদ্যমান। তাহলে ভেক্টর নির্দেশকারী সমীকরনটি হবেঃ

t^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\sigma}

এছাড়া ফাংশন বাদ দিয়ে আমরা ভেক্টকে ভেক্টর ব্যবকলন এর মাধ্যমেও (derivative) উপস্থাপন করতে পারি -

\frac{d}{d\sigma} = t^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha} সুতরাং বলা যায় কোন নির্দিষ্ট ভেক্টরকে একটি নির্দিষ্ট directional derivative এর মাধ্যমেও প্রাশ করা যায় । তাই ভেক্টরকে এককথায় এভাবে উপস্থাপন করা যায়-

\mathbf{a} \equiv a^\alpha \frac{\partial}{\partial x^\alpha}