অবিচ্ছিন্ন ফাংশন

গণিতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হচ্ছে এমন ফাংশন বা অপেক্ষক যাতে কোন বিচ্ছিন্নতা নেই, অর্থাৎ যার মান হূঁট করে পাল্টে যায় না।

একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন

এই ধরনের ফাংশনকে স্টেপ ফাংশন বলে। এটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন নয়।

সংজ্ঞা

বাস্তব ফাংশনের জন্য অবিচ্ছিন্নতা

বাস্তব ফাংশনের ক্ষেত্রে কল্পনা করা যেতে পারে যে, একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের গ্রাফ কলম না তুলেই আঁকা যাবে - এজন্যই একে "অবিচ্ছিন্ন" আখ্যা দেয়া হচ্ছে।

বেশ কয়েক ভাবে বাস্তব অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের গাণিতিকভাবে দৃঢ় সংজ্ঞা দেয়া যেতে পারে।

ফাংশনের লিমিট ব্যবহার করে সংজ্ঞা

একটি ফাংশন $f$ এর ডোমেইনের একটি বিন্দু $c$-তে অবিছিন্ন হবে যদি ঐ বিন্দুতে $f$-এর লিমিটের অস্তিত্ত্ব থাকে, আর সে লিমিট f-এর ঐ বিন্দুতে যে মান তার সমান হয়। অর্থাৎ $\lim _{x\to c}{f(x)}$ সংজ্ঞায়িত হতে হবে ও $\lim _{x\to c}{f(x)}=f(c)$ সত্যি হতে হবে। অন্যথায় $f$ উক্ত বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে।

একটি ফাংশন $f$ যদি এর ডোমেইনের সকল বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়, অর্থাৎ কোথাও বিচ্ছিন্ন না হয়, তাহলে $f$-কে বলা হবে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।

টপোলজিতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন

দুটি টপোলজিকাল স্পেস $X$ ও $Y$ এর মধ্যে একটি ফাংশন $f$ বিবেচনা করা যাক।

$f\colon X\rightarrow Y$

এখানে $f\colon X\rightarrow Y$ একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হবে যদি $Y$ স্পেসটির প্রতিটি খোলা সেট $V$ এর জন্য

$f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}$

$X$ স্পেসটির একটি খোলা সেট হয়।