মেট্রিক্স

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
Jump to navigation Jump to search

ম্যাট্রিক্স (ইংরেজি Matrix) একটি গাণিতিক শব্দ ।

ম্যাট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন নম্বরের একধরনের আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাসকে বুঝায় যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ :

  1. কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
  2. কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
একটি ম্যাট্রিক্সের গঠন

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায় আয়তাকারে সারি ও কলামে বা শুধু সারিতে বা শুধু কলামে সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠী একটি মেট্রিক্স গঠন করে।

একটি মেট্রিক্স কে তার সারি এবং কলাম সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন:

উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a11, a12 প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে A=[amn] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রকারভেদ[সম্পাদনা]

কলাম ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে। একে কলাম ভেক্টরও বলে।

যেমন :

সারি ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে। একে সারি ভেক্টরও বলে।

যেমন :

বর্গ(square) ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে ম্যাট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [aij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন :

কর্ণ(diagonal) ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলোর মুখ্য (a11 উপাদান দিয়ে) কর্ণ ব্যতীত সকল উপাদানের মান শূন্য(০) হয় তবে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্স [aij] এর উপদান এমন হয় যে aij=0, যখন তখন তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

অভেদক(identity) বা একক ম্যাট্রিক্স (unit)[সম্পাদনা]

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শূন্য(০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক(1) হয় তবে তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বা একক ম্যাট্রিক্স বলে।। সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সই কর্ণ ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [aij]-এর উপাদান এমন হয় যে aij=0 যখন এবং aij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে।

একক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা হয় I দিয়ে।একক ম্যাট্রিক্স(I)সাথে একক ম্যাট্রিক্স(I) কে যতবার গুন করা হোক না কেন আমারা একক ম্যাট্রিক্স পাবো, একক ম্যাট্রিক্স(I) পাবো I^n=I আবার কয়টা সারি কয়টা কলায় বুঝায় I নিচে In

শূন্য ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শূন্য হয় তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স যখন aij=0।

যেমন: এটিকে [O3*2] চিহ্নরূপে প্রকাশ করা হয় ৷

প্রতিসম (Symmetric) ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে অশূন্য বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স যখন aij=aji। যেমন:

বিপ্রতিসম (skew symmetric) ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সংবলিত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij= -aji

উদাহরণ:

হার্মেশিয়ান(hermetian) ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো ভুক্তি জটিল মান হলে এর জটিল মান কে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ করলে আবার সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে তাকে হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে ।

স্কিউ হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স[সম্পাদনা]

কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো ভুক্তি জটিল মান হলে এর জটিল মান কে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ (সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত) করলে আবার বিপরীত মানের সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে তাকে স্কিউ হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে ।

ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত[সম্পাদনা]

যোগ[সম্পাদনা]

দুইটি mXn ম্যাট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি mXn ম্যাট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j])। উদাহরণঃ

স্কেলার গুণন[সম্পাদনা]

একটি ম্যাট্রিক্স A এবং একটি রাশি বা সংখ্যা c, স্কেলার গুণন cA গণনা করা হয় স্কেলার রাশি c কে A এর প্রতিটি উপাদান দিয়ে গুণ করে (অর্থ্যাৎ, (cA)[i, j] = cA[i, j] ) উদাহরণঃ

ম্যাট্রিক্স গুণন[সম্পাদনা]

ম্যাট্রিক্স Apq এবং Brs এদের গুণন [A]×[B] একমাত্র সম্ভব যদি, q=r হয় ৷ অর্থাৎ প্রথম ম্যাট্রিক্স কলাম সংখ্যা ২য়টির সারি সংখ্যার সমান হতে হবে ৷ নতুন ম্যাট্রিক্সটি Cps হবে ৷ A-এর ১ম সারি, B-এর ১ম কলামের সঙ্গে গুণ হবে; এটি C11 হবে ৷ A-এর ১ম সারি, B-এর ২য় কলামের সঙ্গে গুণ হবে; এটি C12 হবে ৷ A-এর ১ম সারি, B-এর ৩য় কলামের সঙ্গে গুণ হবে; এটি C13 হবে ৷ একইভাবে A-এর ২য় সারি B-এর ১ম, ২য়, ৩য় ............. কলামের সঙ্গে গুণ হবে, গুণফল যথাক্রমে C21, C22, C23 ইত্যাদি হবে ৷ C11 = A11×B11+A12 ×B21+A13×B31 + A14 ×B41

পাদটীকা[সম্পাদনা]

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  • Anton, Howard (১৯৮৭), Elementary Linear Algebra (5th সংস্করণ), New York: Wiley, আইএসবিএন 0-471-84819-0 
  • Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (১৯৯২), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-3-540-54813-3 
  • Artin, Michael (১৯৯১), Algebra, Prentice Hall, আইএসবিএন 978-0-89871-510-1 
  • Association for Computing Machinery (১৯৭৯), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, আইএসবিএন 978-0-07-059376-3 
  • Baker, Andrew J. (২০০৩), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-1-85233-470-3 
  • Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (১৯৯৭), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, আইএসবিএন 978-0-89871-361-9 
  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (১৯৭৩), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., আইএসবিএন 0-395-14017-X 
  • Bretscher, Otto (২০০৫), Linear Algebra with Applications (3rd সংস্করণ), Prentice Hall 
  • Bronson, Richard (১৯৮৯), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, আইএসবিএন 978-0-07-007978-6 
  • Brown, William C. (১৯৯১), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, আইএসবিএন 978-0-8247-8419-5 
  • Coburn, Nathaniel (১৯৫৫), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, ওসিএলসি 1029828 
  • Conrey, J. Brian (২০০৭), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, আইএসবিএন 978-0-521-69964-8 
  • Fraleigh, John B. (১৯৭৬), A First Course In Abstract Algebra (2nd সংস্করণ), Reading: Addison-Wesley, আইএসবিএন 0-201-01984-1 
  • Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (১৯৮৩), Game Theory, MIT Press 
  • Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (২০০১), Elliptic partial differential equations of second order (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-3-540-41160-4 
  • Godsil, Chris; Royle, Gordon (২০০৪), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-95220-8 
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (১৯৯৬), Matrix Computations (3rd সংস্করণ), Johns Hopkins, আইএসবিএন 978-0-8018-5414-9 
  • Greub, Werner Hildbert (১৯৭৫), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-90110-7 
  • Halmos, Paul Richard (১৯৮২), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-90685-0, এমআর 0675952 
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (১৯৮৫), Matrix Analysis, Cambridge University Press, আইএসবিএন 978-0-521-38632-6 
  • Householder, Alston S. (১৯৭৫), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, এমআর 0378371 
  • Krzanowski, Wojtek J. (১৯৮৮), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, আইএসবিএন 978-0-19-852211-9, এমআর 0969370 
  • Itõ, Kiyosi, সম্পাদক (১৯৮৭), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd সংস্করণ), MIT Press, আইএসবিএন 978-0-262-09026-1, এমআর 0901762 
  • Lang, Serge (১৯৬৯), Analysis II, Addison-Wesley 
  • Lang, Serge (১৯৮৭a), Calculus of several variables (3rd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-96405-8 
  • Lang, Serge (১৯৮৭b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-96412-6 
  • টেমপ্লেট:Lang Algebra
  • Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (১৯৯৯), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st সংস্করণ), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, আইএসবিএন 978-0-89871-425-8 
  • Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (১৯৯৯), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, আইএসবিএন 978-0-262-13360-9 
  • Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (১৯৭৮), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, আইএসবিএন 978-0-07-096612-3 
  • Mirsky, Leonid (১৯৯০), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, আইএসবিএন 978-0-486-66434-7 
  • Nering, Evar D. (১৯৭০), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd সংস্করণ), New York: Wiley, এলসিসিএন 76-91646 
  • Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (২০০৬), Numerical Optimization (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, পৃষ্ঠা 449, আইএসবিএন 978-0-387-30303-1 
  • Oualline, Steve (২০০৩), Practical C++ programming, O'Reilly, আইএসবিএন 978-0-596-00419-4 
  • Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (১৯৯২), "LU Decomposition and Its Applications", Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (PDF) (2nd সংস্করণ), Cambridge University Press, পৃষ্ঠা 34–42 
  • Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (২০০২), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, আইএসবিএন 978-1-4020-0664-7 
  • Reichl, Linda E. (২০০৪), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-98788-0 
  • Rowen, Louis Halle (২০০৮), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, আইএসবিএন 978-0-8218-4153-2 
  • Šolin, Pavel (২০০৫), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, আইএসবিএন 978-0-471-76409-0 
  • Stinson, Douglas R. (২০০৫), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, আইএসবিএন 978-1-58488-508-5 
  • Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (২০০২), Introduction to Numerical Analysis (3rd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-95452-3 
  • Ward, J. P. (১৯৯৭), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, আইএসবিএন 978-0-7923-4513-8, এমআর 1458894 
  • Wolfram, Stephen (২০০৩), The Mathematica Book (5th সংস্করণ), Champaign, IL: Wolfram Media, আইএসবিএন 978-1-57955-022-6 
  • Bohm, Arno (২০০১), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, আইএসবিএন 0-387-95330-2 
  • Burgess, Cliff; Moore, Guy (২০০৭), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-86036-9 
  • Guenther, Robert D. (১৯৯০), Modern Optics, John Wiley, আইএসবিএন 0-471-60538-7 
  • Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (১৯৮০), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, আইএসবিএন 0-07-032071-3 
  • Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (১৯৯৭), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-55506-X 
  • Schiff, Leonard I. (১৯৬৮), Quantum Mechanics (3rd সংস্করণ), McGraw–Hill 
  • Weinberg, Steven (১৯৯৫), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-55001-7 
  • Wherrett, Brian S. (১৯৮৭), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, আইএসবিএন 0-13-365461-3 
  • Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (২০০৬), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-1-4020-4530-1 
  • A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
  • Bôcher, Maxime (২০০৪), Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, আইএসবিএন 978-0-486-49570-5  , reprint of the 1907 original edition
  • Cayley, Arthur (১৮৮৯), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, পৃষ্ঠা 123–126 
  • Dieudonné, Jean, সম্পাদক (১৯৭৮), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann 
  • Hawkins, Thomas (১৯৭৫), "Cauchy and the spectral theory of matrices", Historia Mathematica, 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4, আইএসএসএন 0315-0860, এমআর 0469635 
  • Knobloch, Eberhard (১৯৯৪), "From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations", The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, পৃষ্ঠা 51–66, এমআর 1308079 
  • Kronecker, Leopold (১৮৯৭), Hensel, Kurt, সম্পাদক, Leopold Kronecker's Werke, Teubner 
  • Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (১৯৮৭), The Historical Development of Quantum Theory (1st সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন 978-0-387-96284-9 
  • Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (১৯৯৯), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd সংস্করণ), Oxford University Press, আইএসবিএন 978-0-19-853936-0 
  • Weierstrass, Karl (১৯১৫), Collected works, 3 

বহিঃসংযোগ[সম্পাদনা]

টেমপ্লেট:Linear algebra