আবেলীয় গ্রুপ
 | এই নিবন্ধটি ইংরেজি উইকিপিডিয়া থেকে ব্যাঘ্র প্রকল্প এডিটাথন ২০১৮ উপলক্ষে তৈরি করা হচ্ছে। নিবন্ধটিকে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে নিবন্ধকার অনুবাদ করে এর মানোন্নয়ন ও সম্প্রসারণ সাধন করবেন; আপনার যেকোনও প্রয়োজনে এই নিবন্ধের আলাপ পাতাটি ব্যবহার করুন। আপনার আগ্রহের জন্য আপনাকে আন্তরিক ধন্যবাদ। |
 | এই নিবন্ধটিতে কোনো উৎস বা তথ্যসূত্র উদ্ধৃত করা হয়নি। |
একটি গ্রুপ G-কে আবেলীয় গ্রুপ (Abelian group) বা বিনিমেয় গ্রুপ (commutative group) বলা হয় যদি G এই বিনিময় বিধি অনুসরণ করে:
= , সকল a, b-এর জন্য যেখানে ।
এই নিবন্ধের বাকী অংশে G দিয়ে একটি আবেলীয় গ্রুপকে নির্দেশ করা হবে।
G-এর প্রতিটি উপগ্রুপ (subgroup) একটি অব্যয় উপগ্রুপ (normal subgroup)।
G-এর সমস্ত সসীম মাত্রার উপাদান (elements of finite order) একটি উপগ্রুপ T গঠন করে, যার বিভাজন গ্রুপ (factor group) G/T-তে অভেদ e ছাড়া সসীম মাত্রার আর কোন উপাদান নেই। T-কে G-এর (গরিষ্ঠ) মোচড় উপগ্রুপ (torsion subgroup) বলা হয়।
যদি G=T হয়, তবে আবেলীয় গ্রুপ G-কে একটি মোচড় গ্রুপ (torsion group) বা পর্যায়বৃত্ত গ্রুপ (periodic group) বলা হয়।
যদি T={e} হয়, তবে G-কে বলা হয় মোচড়-মুক্ত (torsion free)।
যদি G≠T এবং T≠{e} হয়, তবে G-কে মিশ্র (mixed) বলা হয়।
যদি একটি মোচড় গ্রুপ G-এর প্রতিটি উপাদানের মাত্রা কোন নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা p-এর ঘাত হয়, তবে G-কে একটি আবেলীয় p-গ্রুপ (Abelian p-group) বা প্রাথমিক আবেলীয় গ্রুপ (primary Abelian group) বলা হয়।
একটি আবেলীয় মোচড় গ্রুপ হল প্রাথমিক আবেলীয় গ্রুপগুলোর প্রত্যক্ষ সমষ্টি (direct sum)। অর্থাৎ আবেলীয় মোচড় গ্রুপের আলোচনা প্রাথমিক আবেলীয় গ্রুপগুলোর আলোচনা দিয়েই সম্ভব।
