সংখ্যা

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
সরাসরি যাও: পরিভ্রমণ, অনুসন্ধান

সংখ্যা হলো একটি বিমূর্ত ধারণা । সংখ্যা প্রকাশের প্রতীকগুলিকে বলা হয় অঙ্ক

পরিচ্ছেদসমূহ

সংখ্যা ধারণার উৎপত্তি[সম্পাদনা]

ভূমিকাঃ[সম্পাদনা]

সংখ্যা পদ্ধতি ও আন্তঃ পদ্ধতি রূপান্তর প্রক্রিয়া সম্পর্কে জ্ঞান লাভ করা ডিজিটাল ইলেকট্রনেক্সের প্রাথমিক জ্ঞানের অন্তর্ভূক্ত বিষয়। এই বিষয়ে জ্ঞান লাভ না করলে ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের নানাবিধ গাণিতিক ও যৌক্তিক অপারেশন, কার্য প্রক্রিয়া, নকশা প্রনয়নের কৌশল এবং উন্নয়ন কোন কিছুই সম্ভব নয়। তাই ইলেকট্রনিক্সের শিক্ষর্থীদের এই বিষয়ে জ্ঞানার্জন অতীব গুরুত্ত্বপূর্ণ।

সংখ্যা পদ্ধতি কি?[সম্পাদনা]

সংখ্যা পদ্ধতি হলো কোন সংখ্যাকে উপস্থাপন করার জন্য নির্দিষ্ট লিখিত রূপ বা পদ্ধতি যাতে কিছু সংখ্যক নির্দিষ্ট ‘সংখ্যা প্রতীক’ ব্যবহার করা হয় এবং এই সকল প্রতীকসমূহ হতে সুনির্দিষ্ট নিয়মে সজ্জিত একগুচ্ছ প্রতীক যা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা মান প্রকাশ করে। সংখ্যা প্রকাশের এরূপ নিয়ম, পদ্ধতি বা রীতিকে সংখ্যা পদ্ধতি বলা হয়। এক কথায়, কোন সংখ্যা প্রকাশের লিখিত পদ্ধতিকেই সংখ্যা পদ্ধতি বলা হয়ে থাকে। এই সকল ‘সংখ্যা প্রতীকগুলোকে’ আমরা ‘ডিজিট’ বা বাংলা ভাষায় ‘অংক’ বলে জানি।

সংখ্যা প্রকাশ করার ক্ষুদ্রতম প্রতীক হচ্ছে অংক। যেমন 1, 2, 3 আলাদা তিনটি অংক, এই তিনটি অংককে একত্রে সাজিয়ে পাই 312 তিনশত বারো, যা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা। আবার 1, 2 এবং 3 এদের প্রত্যেকের স্বতন্ত্র সাংখ্যিক মান আছে। এভাবে সংখ্যা পদ্ধতিতে বিভিন্ন অংককে নিয়ম মত সাজিয়ে বিভিন্ন সংখ্যা পাওয়া যায়। এ সকল সংখ্যাসমূহকে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ইত্যাদি গাণিতিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে প্রয়োজনীয় গণনার কার্য সমাধা করা যায়।

অংক বা সংখ্যা প্রতীকের নিজস্ব মানঃ[সম্পাদনা]

প্রত্যেক সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত অংকসমূহের অন্তর্গত প্রতিটি অংকের একটি করে নিজস্ব সংখ্যাগত মান রয়েছে। আবার এই সকল অংকসমূহ হতে একগুচ্ছ অংককে নিয়মানুযায়ী সাজিয়ে বিভিন্ন সংখ্যা তৈরী করা যায়। যেমনঃ ডেমিমেল বা দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট দশটি অংক রয়েছে, এরা হলো 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 এদের নিজস্ব মান নিম্নরূপঃ

0 এর নিজস্ব মান শূণ্য

1 এর নিজস্ব মান এক

2 এর নিজস্ব মান দুই

3 এর নিজস্ব মান তিন

4 এর নিজস্ব মান চার

5 এর নিজস্ব মান পাঁচ

6 এর নিজস্ব মান ছয়

7 এর নিজস্ব মান সাত

8 এর নিজস্ব মান আট

9 এর নিজস্ব মান নয়

আবার এই সকল অংকসমূহ হতে এক গুচ্ছ অংককে নিয়মানুযায়ী সাজিয়ে বিভিন্ন সংখ্যা তৈরী করা যায়। যেমনঃ 937 সংখ্যাটির মান নয়শত সায়ত্রিশ, 356 সংখ্যাটির মান তিনশত ছাপ্পান্ন ইত্যাদি।

সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি (Radix or Base):[সম্পাদনা]

কোন সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি হচ্ছে ঐ সংখ্যা পদ্ধতিতে ব্যবহৃত অংকসমূহ বা প্রতীকসমূহের মোট সংখ্যা। যেমন ডেসিম্যাল বা দশমিক পদ্ধতির ভিত্তি হচ্ছে 10, কারণ দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট দশটি অংক বা প্রতীক (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) রয়েছে। অনুরূপ বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 2, কারণ বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট দুটি অংক বা প্রতীক (0, 1) রয়েছে। অকট্যাল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 8, কারণ অকট্যাল সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট আটটি অংক বা প্রতীক (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) রয়েছে। হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 16, কারণ হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতিতে মোট ষোলটি অংক বা প্রতীক (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) রয়েছে।

অংক বা সংখ্যা প্রতীকের স্থানীয় মানঃ[সম্পাদনা]

যে কোন সংখ্যার অন্তর্গত ডিজিট বা অংকসমূহের অবস্থানগত মানকে স্থানীয় মান বলা হয়। ‘স্থানীয় মান’ সংখ্যা পদ্ধতির একটি বিশেষ রীতি/নিয়ম যার মাধ্যমে উচ্চতর সংখ্যাসমূহকে প্রকাশ করা যায়। ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে স্থানীয় মানের তারতম্য হয়। যেমন দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে কোন সংখ্যার সর্ব ডানের অংকের মান নিজস্ব মানের একক বা এক গুণ, ডান দিক হতে দ্বিতীয় ঘরে অবস্থিত অংকের স্থানীয় মান নিজস্ব মানের দশ গুন, তৃতীয় ঘরে অবস্থিত অংকের স্থানীয় মান অংকটির নিজস্ব মানের একশত গুন, এভাবে প্রতিটি ঘরের স্থানীয় মান তার পূর্ববর্তী ঘরের স্থানীয় মানের দশগুন হারে বাড়তে থাকে, অর্থাত প্রকৃত কথা হলো অংক যত বামে যেতে থাকে তার স্থানীয় মান সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি এর ঘাত অনুযায়ী বাড়তে থাকে। নিচের উদাহরণসমূহ লক্ষ্যনীয় –

স্থানীয় মান

দশমিক পদ্ধতির স্থানীয় মান

দশমিক পদ্ধতির একটি উদাহরণঃ 953 সংখ্যাটিতে সর্ব ডানের অংক 3 এর স্থানীয় মান 3×100=3, আবার, 5 এর স্থানীয় মান 5×101=50 এবং 9 এর স্থানীয় মান 9×102=900, এভাবে সংখ্যাটির মান স্থানীয় মানসমূহের সমষ্টির সমান, 3+50+900=953 নয় শত তিপ্পান্ন।

বাইনারী পদ্ধতির একটি উদাহরণঃ 111 সংখ্যাটিতে সর্ব ডানের অংক 1 এর স্থানীয় মান 1×20=1, আবার মধ্যস্থিত 1 এর স্থানীয় মান 1×21=2 এবং সর্ব বামের 1 এর স্থানীয় মান 1×22=4, এভাবে সংখ্যাটির মান স্থানীয় মানসমূহের সমষ্টির সমান, 1+2+4=7 যা উপরোক্ত বাইনারী সংখ্যাটির দশমিক সমতূল্য মান।

বাইনারী পদ্ধতির স্থানীয় মান

 

 

কোন একটি সংখ্যার মান বের করার জন্য তিনটি তথ্য প্রয়োজন হয়ঃ[সম্পাদনা]
  1. সংখ্যাটিতে ব্যবহৃত অংকগুলির নিজস্ব মান
  2. ব্যবহৃত সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি
  3. সংখ্যাটিতে ব্যবহৃত অংকগুলির স্থানীয় মান

একটি উদাহরণঃ

812 সংখ্যাটিতে ব্যবহৃত 8 প্রতীকটির নিজস্ব মান আট, 1 প্রতীকটির নিজস্ব  মান এক এবং 2 প্রতীকটির নিজস্ব মান দুই। এবার এদের স্থানীয় মান জেনে নিই। 8 অংকটি শতকের ঘরে অবস্থিত তাই এর মান 8×100=800, আবার 1 অংকটি দশকের ঘরে তাই এর মান 1×10=10 এবং সর্বশেষ 2 অংকটি এককের স্থানে তাই এর স্থানীয় মান 2×1=2 সুতরাং উপরোক্ত তিনটি তথ্যের আলোকে সংখ্যাটির মান 800+10+2=812 আটশত বারো।

কয় ধরণের সংখ্যা পদ্ধতি?[সম্পাদনা]

ইতিহাসের পরিক্রমায় দেখা যায় বিভিন্ন যুগে পৃথিবীর বিভিন্ন স্থানে বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার হয়েছে। সেই সকল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি আলাদা এবং অংক বা প্রতীকসমূহও আলাদা। কিন্তু ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের হিসাব নিকাশ, বর্তনীর নকশা প্রনয়নের কাজে এবং ডিজিটাল কম্পিউটারে প্রক্রিয়া করণের সুবিধার্থে যে সংখ্যা পদ্ধতিসমূহ বেশী ব্যবহৃত হয় তা আমাদের আলোচিত বিষয়। এ বিষয়টি বিবেচনা করলে চারটি পদ্ধতি বেশী আলোচিত তা হলোঃ

  1. বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতি
  2. দশমিক/ডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতি
  3. অকট্যাল সংখ্যা পদ্ধতি
  4. হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতি

পরবর্তী পাঠে এই সকল সংখ্যা পদ্ধতিসমূহের পরিচয় এবং পরস্পরের মধ্যে রূপান্তরের প্রক্রিয়া দেয়া হয়েছে।

দশমিক/ডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতি[সম্পাদনা]

প্রাত্যহিক বাস্তব জীবনে হিসাব নিকাশ করার জন্য আমরা যে সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করি তা দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি। এর ভিত্তি 10 অর্থাত এই পদ্ধতিতে 0 হতে 9 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যা প্রতীক রয়েছে। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের হিসাব নিকাশের সময় কখনো কখনো দশমিক সংখ্যার সাথে সাফিক্স হিসাবে এর ভিত্তি লিখে প্রকাশ করা হয়, এর মাধ্যমে বুঝা যায় সংখ্যাটি দশমিক সংখ্যা। যেমনঃ 934710 এখানে 9347 হলো ডেসিম্যাল সংখ্যা এবং 10 হলো এর ভিত্তি যার মাধ্যমে বুঝা যাচ্ছে সংখ্যাটি দশমিক পদ্ধতির সংখ্যা।

দ্বিমিক/বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতি[সম্পাদনা]

এই সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 2 অর্থাত এই পদ্ধতিতে 0 এবং 1 মোট 2টি সংখ্যা প্রতীক রয়েছে। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের হিসাব নিকাশের সময় কখনো কখনো দ্বিমিক সংখ্যার সাথে সাফিক্স হিসাবে এর ভিত্তি লিখে প্রকাশ করা হয়, এর মাধ্যমে বুঝা যায় সংখ্যাটি দ্বিমিক সংখ্যা। যেমনঃ 1010012 এখানে 101001 হলো ডেসিম্যাল সংখ্যা এবং 2 হলো এর ভিত্তি যার মাধ্যমে বুঝা যাচ্ছে সংখ্যাটি দ্বিমিক বা বাইনারী পদ্ধতির সংখ্যা।

অকট্যাল সংখ্যা পদ্ধতি[সম্পাদনা]

এই সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 8 অর্থাত এই পদ্ধতিতে 0 হতে 7 পর্যন্ত মোট 8টি সংখ্যা প্রতীক রয়েছে। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের হিসাব নিকাশের সময় কখনো কখনো অকট্যাল সংখ্যার সাথে সাফিক্স হিসাবে এর ভিত্তি লিখে প্রকাশ করা হয়, এর মাধ্যমে বুঝা যায় সংখ্যাটি অকট্যাল সংখ্যা। যেমনঃ 7568 এখানে 756 হলো অকট্যাল সংখ্যা এবং 8 হলো এর ভিত্তি যার মাধ্যমে বুঝা যাচ্ছে সংখ্যাটি অকট্যাল পদ্ধতির সংখ্যা।

হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা পদ্ধতি[সম্পাদনা]

এই সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি 16 অর্থাত এই পদ্ধতিতে 0 হতে 9 পর্যন্ত মোট 10টি সংখ্যা প্রতীক এবং সেই সাথে A, B, C, D, E, F এই 6টি বর্ণ প্রতীক রয়েছে। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের হিসাব নিকাশের সময় কখনো কখনো হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যার সাথে সাফিক্স হিসাবে এর ভিত্তি লিখে প্রকাশ করা হয়, এর মাধ্যমে বুঝা যায় সংখ্যাটি হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা। যেমনঃ 5C7F16 এখানে 5C7F হলো হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা এবং 16 হলো এর ভিত্তি যার মাধ্যমে বুঝা যাচ্ছে সংখ্যাটি হেক্সাডেসিম্যাল পদ্ধতির সংখ্যা।

ভগ্নাংশ সংখ্যা মানঃ[সম্পাদনা]

প্রত্যেক সংখ্যা পদ্ধতিতে ঐ পদ্ধতির র‌্যাডিক্স পয়েন্ট দিয়ে ভগ্নাংশ মান প্রকাশ করা হয়। র‌্যাডিক্স পয়েন্টের (.) বাম পার্শ্বের অংশকে পূর্ণ সংখ্যা (Integer) এবং ডান পার্শ্বের অংশকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। যেমন 56.95410 দশমিক সংখ্যাটিতে 56 হলো পূর্ণ সংখ্যা এবং মাঝখানে (.) হলো Radix Point দশমিক বিন্দু এবং ডান পার্শ্বে 954 হলো ভগ্নাংশ সংখ্যা। উল্লেখ্য যে পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে অংকের অবস্থান দশমিক বিন্দু হতে বামে সরতে থাকলে তার স্থানীয় মান দশগুণ (Radix এর গুনিতক) হারে বাড়বে এবং ভগ্নাংশ সংখ্যার ক্ষেত্রে অংকের অবস্থান দশমিক বিন্দু হতে ডানে সরতে থাকলে তার স্থানীয় মান (Radix এর গুনিতক) দশ ভাগ হারে কমবে। অর্থাত দশমিক বিন্দুর ডানের ঘর দশ ভাগের এক ভাগ, তার ডানের ঘর একশত ভাগের এক ভাগ এবং তার ডানের ঘর এক হাজার ভারে এক ভাগ মান প্রকাশ করে।

রূপান্তরসমূহঃ[সম্পাদনা]

সংখ্যাকে এক পদ্ধতি হতে অন্য পদ্ধতিতে পরিবর্তনকে সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর বলা হয়। সংখ্যাসমূহ এক পদ্ধতি হতে অন্য পদ্ধতিতে রূপান্তর যোগ্য যেমনঃ ডেসিম্যাল পদ্ধতিতে 1110 সংখ্যাটির মান এগারো কিন্তু বাইনারীতে তা 10112। আবার বাইনারী পদ্ধতিতে 112 সংখ্যাটির মান ডেসিম্যলে 310 হবে। রূপান্তরের মাধ্যমে কোন সংখ্যার সংখ্যাগত মান পরিবর্তন হয় না শুধু পদ্ধতিগত উপস্থাপনা পরিবর্তন হয় মাত্র।

রূপান্তর কেন প্রয়োজন?[সম্পাদনা]

কম্পিউটার একটি জটিল ডিজিটাল বর্তনীর সমন্বয়। এই সকল বর্তনীসমূহ প্রোগ্রামের নির্দেশে বিভিন্ন গাণিতিক ও যৌক্তিক কার্য সম্পন্ন করে। কিন্তু এই সকল বর্তনীগুলিতে বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার হয়, কম্পিউটার মানুষের ব্যবহার্য দশমিক সংখ্যা বোঝেনা তাই মানুষের বোধ্যগম্য সংখ্যাকে কম্পিউটারের নিকট গ্রহনযোগ্য করে তোলার জন্য দশমিক সংখ্যাকে বাইনারী সংখ্যায় রূপান্তরের প্রয়োজন হয়। আবার কম্পিউটারের বর্তনীতে মুহৃর্তের মধ্যে বহু সংখ্যক গাণিতিক ও যৌক্তিক কাজের শেষ ফলাফল তৈরী হয় বাইনারী সংখ্যায় এবং এই ফলাফল মানুষের সামনে হুবহু তুলে ধরলে মানুষের নিকট তা সহজে বোধগম্য হবেনা কারন মানুষ বাইনারী পদ্ধতিতে অভ্যস্থ নয়, তাই এখানে প্রয়োজন ফলাফলটিকে মানুষের সামনে উপস্থাপনের পূর্বে তা মানুষের বোধগম্য পদ্ধতি ডেসিম্যাল সংখ্যায় রূপান্তর করে উপস্থাপন করা। এছাড়া ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের নকশা প্রনয়ন, বর্তনী গঠন ও নানাবিধ প্রয়োজনে সংখ্যা পদ্ধতি রূপান্তরের প্রয়োজন রয়েছে।

ডেসিম্যাল হতে বাইনারীতে রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

দশমিক পূর্ণ সংখ্যাকে বাইনারীতে রূপান্তরের জন্য ভাগফল 1 না হওয়া পর্যন্ত সংখ্যাটিকে ক্রমাগত 2 দ্বারা ভাগ করে প্রথম ভাগফল এবং প্রতিবারের ভাগশেষগুলিকে সাজিয়ে সংখ্যাটির সমতূল্য বাইনারী সংখ্যা পাওয়া যায়। যেমন 97 সংখ্যাটির বাইনারী সমতূল্য সংখ্যা নির্ণয়ের পদ্ধতি নিম্নরূপঃ

ডেসিম্যাল হতে বাইনারীতে রূপান্তর

সুতরাং 9710 = 11000012

দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যাকে সমতূল্য বাইনারীতে রূপান্তরের জন্য গুনফল 1 না হওয়া পর্যন্ত ক্রমাগত সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা গুণ করতে হবে। অবশেষে প্রাপ্ত সকল পূর্ণ সংখ্যগুলি পরপর সাজিয়ে সমতূল্য বাইনারী ভগ্নাংশ সংখ্যা পাওয়া যাবে। চিত্রের উদাহরণটি লক্ষ করুনঃ

দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যার বাইনারী

সুতরাং 0.37510 = 0.0112

কোন দশমিক সংখ্যায় পূর্ণ এবং ভগ্নাংশ উভয় অংশ থাকলে পূর্ণ এবং ভগ্নাংশ উভয় অংশ আলাদা আলাদা ভাবে বাইনারীতে রূপান্তর করতে হবে। অতঃপর উভয় অংশের মাঝে বিন্দু/পয়েন্ট স্থাপন করে অংশ দুটিকে একত্রিত করতে হবে। যেমন 97.37510 সংখ্যাটিকে বাইনারীতে রূপান্তর করলে 1100001.0112 হবে।

অকট্যাল হতে বাইনারী রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

0 হতে 7 পর্যন্ত অকট্যাল অংকগুলিকে 3 বিট বাইনারী সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা যায়। কাজেই কোন অকট্যাল সংখ্যার অংকগুলিকে তাদের নিজ নিজ স্থানে সমতূল্য 3বিটের বাইনারী সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে অকট্যাল সংখ্যাটির সমতূল্য বাইনারী সংখ্যা পাওয়া যায়। যেমন নিচের উদাহরণটি লক্ষ করুনঃ

অকট্যাল থেকে বাইনারী

উপরের চিত্রে 0 হতে 7 পর্যন্ত অকট্যাল অংকগুলির সমতূল্য 3 বিটের বাইনারী মান দেয়া হয়েছে এবং 257 এবং 227 দুটি অকট্যাল সংখ্যাকে বাইনারীতে রূপান্তর দেখানো হয়েছে। 257 সংখ্যাটির প্রতিটি অংকের 3 ডিজিট সমতূল্য বাইনারী মান পরস্পর সাজিয়ে পাই 010101111, যেহেতু সর্ব বামের শূণ্যের কোন মূল্য নেই তাই সংখ্যাটি হবে 10101111, সুতরাং 2578 = 101011112, অনুরূপভাবে 2278 = 100101112 হবে।

হেক্সাডেসিম্যাল হতে বাইনারী রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

1 হতে F পর্যন্ত হেক্সাডেসিম্যাল অংকগুলিকে 4 বিট বাইনারী সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা যায়, এবং কোন হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যার অংকগুলিকে তাদের নিজ নিজ স্থানে সমতূল্য 4বিটের বাইনারী সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যাটির সমতূল্য বাইনারী সংখ্যা পাওয়া যায়। যেমন নিচের উদাহরণটি লক্ষ করুনঃ

হেক্সাডেসিম্যাল থেকে বাইনারী

উপরের চিত্রে 0 হতে F পর্যন্ত হেক্সাডেসিম্যাল অংকগুলির সমতূল্য 4 বিটের বাইনারী মান দেয়া হয়েছে এবং 2A7 এবং 227 দুটি হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যাকে বাইনারীতে রূপান্তর দেখানো হয়েছে। 2A7 সংখ্যাটির প্রতিটি অংকের 4 ডিজিটের সমতূল্য বাইনারী মান পরস্পর সাজিয়ে পাই 001010100111, যেহেতু সর্ব বামের শূণ্যের কোন মূল্য নেই তাই সংখ্যাটি হবে 1010100111, সুতরাং 2A716 = 10101001112, অনুরূপভাবে 2278 = 10001001112 হবে।

ডেসিম্যাল হতে অকট্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

ডেসিম্যাল থেকে অকট্যাল রূপান্তর

দশমিক সংখ্যাকে পর্যায়ক্রমে 8 দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষগুলিকে নিয়মানুযায়ী সাজিয়ে দশমিকসংখ্যাটির সমতূল্য অকট্যাল সংখ্যা পাওয়া যায়। ভাগ করার সময় ভাগফল 8 অপেক্ষা কম না হওয়া পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক ভাগ প্রক্রিয়া চালাতে হয়। চিত্রে 469 দশমিক সংখ্যাটির অকট্যাল সমতূল্য মান নির্নয় করা হয়েছে। এখানে দশমিক সংখ্যাটিকে অকট্যাল সংখ্যার ভিত্তি 8 দ্বারা অনবরত ভাগ করা হয়েছে। ভাগফল 8 অপেক্ষা কম হলে আর ভাগ করার প্রয়োজন নেই। এবার শেষ ভাগফলকে বামে রেখে পূর্ববর্তী ভাগশেষগুলিকে ডানদিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে প্রাপ্ত 725 সংখ্যাটি অকট্যাল সমতূল্য সংখ্যা হবে। সুতরাং 46910 = 7258

বাইনারী হতে অকট্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

বাইনারী হতে অকট্যাল রূপান্তর

বাইনারী সংখ্যাটির ডান দিক হতে শুরু করে বাম দিকে তিনটি করে ডিজিট নিয়ে একটি করে গ্রুপ তৈরী করতে হবে। সর্ব বামের গ্রুপে তিন ডিজিট পূর্ণ না হলে শূণ্য (0) দ্বারা পূর্ণ করতে হবে। এভাবে একটি বাইনারী সংখ্যাতে কয়েকটি গ্রুপ হতে পারে। এবার প্রত্যেকটি বাইনারী গ্রুপের সমতূল্য ডেসিম্যাল মান নিজ নিজ স্থানে বসিয়ে সমতূল্য অকট্যাল সংখ্যা পাওয়া যায়। চিত্রের উদাহরণটি লক্ষনীয়ঃ

1111011 বাইনারী সংখ্যাটিকে ডান দিক হতে তিনটি করে ডিজিট নিয়ে একটি করে গ্রুপ তৈরী করা হয়েছে। সর্ব বামের গ্রুপে তিন ডিজিট পূর্ণ না হওয়ার কারনে দুটি  শূণ্য (0) দ্বারা তিন ডিজিট পূর্ণ করা হয়েছে। এভাবে বাইনারী সংখ্যাটি হতে তিনটি গ্রুপ সৃষ্টি হয়েছে। এবার প্রত্যেকটি বাইনারী গ্রুপের সমতূল্য ডেসিম্যাল মান নিজ নিজ স্থানে বসিয়ে সমতূল্য অকট্যাল সংখ্যা 173 পাওয়া যায়। সুতরাং 11110112 = 1738

হেক্সাডেসিম্যাল হতে অকট্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

হেক্সাডেসিম্যাল হতে অকট্যাল

হেক্সাডেসিম্যাল হতে অকট্যালে রূপান্তরের ক্ষেত্রে প্রথমে হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যাটিকে সমতূল্য বাইনারী সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে। অতঃপর প্রাপ্ত বাইনারী সংখ্যাটিকে সমতূল্য অকট্যালে রূপান্তর করলেই কাংখিত অকট্যালে সংখ্যা পাওয়া যাবে। চিত্রে বর্ণিত পদ্ধতিটি লক্ষ্যনীয়। প্রথমে হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যাটির প্রতিটি অংককে 4 বিটের বাইনারী সংখ্যায় রূপান্তর করা হয়। অতঃপর বাইনারী অংকগুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে তা হতে 3 ডিজিটের বাইনারী গ্রুপে তৈরী করা হয় এবং উক্ত প্রতিটি গ্রুপকে সমতূল্য ডেসিম্যাল সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি কাংখিত অকট্যাল সংখ্যা। চিত্র হতে পাই 12A16 = 0452 = 4528

বাইনারী হতে ডেসিম্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

বাইনারী সংখ্যার প্রতিটি অংকের স্থানীয় মানসমূহ যোগ করে সমতূল্য ডেসিম্যাল সংখ্যা পাওয়া যায়। চিত্রের উদাহরণটি লক্ষ্যনীয়ঃ

বাইনারী হতে ডেসিম্যাল

বাইনারী পূর্ণ ও ভগ্নাংশ সংখ্যার ক্ষেত্রে পূর্ণ অংশের সমতূল্য ডেসিম্যাল সংখ্যা দশমিক বিন্দুর বামে এবং ভগ্নাংশ দশমিক বিন্দুর ডানে স্থাপন করতে হয়। যেমনঃ 11101.101 এর দশমিক মান হবে 29.625 বা 11101.1012 = 29.62510

অকট্যাল হতে ডেসিম্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

অকট্যাল সংখ্যার প্রতিটি অংকের স্থানীয় মান যোগ করে সংখ্যাটির সমতূল্য দশমিক মান নির্ণয় করা যায়। যেমনঃ

(123)8 = 3×80+2×81+1×82 = (83)10 আবার

(405)8 = 5×80+0×81+4×82 = (261)10

ভগ্নাংশ সংখ্যার ক্ষেত্রেঃ

(.540)8 = 5×8–1+4×8–2+0×8–3 = .625+.0625 = (.6875)10

সুতরাং, (123.540)8 = (83.6875)10

হেক্সাডেসিম্যাল হতে ডেসিম্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

প্রথমে হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যাটির প্রতিটি অংককে চার ডিজিটের সমতূল্য বাইনারী মানে রূপান্তর করতে হবে। অতঃপর প্রাপ্ত বাইনারী সংখ্যাটিকে সমতূল্য ডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর করলে দশমিক সমতূল্য মান পাওয়া যাবে। উল্লেখ্য যে বাইনারী হতে ডেসিম্যাল সংখ্যায় রূপান্তর প্রক্রিয়া পূর্বে দেখানো হয়েছে। উদাহরণটি লক্ষ্যনীয়ঃ

B5D16  = 1011  0101  1101 = 101101011101 = 290910

ডেসিম্যাল হতে হেক্সাডেসিম্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

ডেসিম্যাল হতে হেক্সাডেসিম্যাল রূপান্তর

দশমিক পূর্ণ সংখ্যাকে পর্যায়ক্রমে 16 দ্বারা ভাগ করে সর্বশেষ ভাগফল এবং পূর্ববর্তী ভাগফলগুলিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যা পাওয়া যায়। পাশের চিত্রে একটি উদাহরণ দেয়া হয়েছে। এখানে 85010 = 35216

উল্লেখ্য যে, ডেসিম্যাল 10, 11, 12, 13, 14, 15 সংখ্যাগুলিকে হেক্সাডেসিম্যালে যথাক্রমে A, B, C, D, E, F দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বাইনারী হতে হেক্সাডেসিম্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

বাইনারী সংখ্যাটির ডান দিক হতে চারটি করে ডিজিট নিয়ে একটি করে গ্রুপ তৈরী করতে হবে। এভাবে প্রদত্ত সংখ্যাটি দ্বারা যতগুলি গ্রুপ তৈরী করা যায় ততগুলি গ্রুপ তৈরী করতে হবে। সর্ব বামের বা শেষ গ্রুপে চারটির কম বাইনারী ডিজিট হলে বাম পার্শ্বে প্রয়োজনীয় সংখ্যক শূণ্য 0 দ্বারা চার ডিজিট পূর্ণ করতে হবে। এবার প্রতিটি প্রুপের সমতূল্য হেক্সাডেসিম্যাল মান নিজ নিজ স্থানে বসালেই হেক্সাডেসিম্যাল মান পাওয়া যাবে। চিত্রের উদাহরণ লক্ষ্যনীয়ঃ সুতরাং 11110112 = 7B16

বাইনারী হতে হেক্সাডেসিম্যালে রূপান্তর

অকট্যাল হতে হেক্সাডেসিম্যাল রূপান্তরঃ[সম্পাদনা]

অকট্যাল হতে হেক্সাডেসিম্যাল সংখ্যায় রূপান্তরের প্রক্রিয়া দুই ধাপে সম্পন্ন হয় প্রথমে অকট্যাল সংখ্যাটিকে সমতূল্য বাইনারী সংখ্যায় রূপান্তর করতে হয় অতঃপর প্রাপ্ত বাইনারী সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিম্যালে রূপান্তর করতে হয়। চিত্রের উদাহরণটি লক্ষ্যনীয়ঃ

অকট্যাল হতে হেক্সাডেসিম্যাল রূপান্তর

উদাহরণে দেখা যাচ্ছে 127 অকট্যাল সংখ্যাটির প্রত্যেকটি ডিজিটকে তিন বিটের বাইনারী মানে রূপান্তর করে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়। প্রাপ্ত বাইনারী সংখ্যাটিকে ডান দিক হতে চার বিট করে একটি করে গ্রুপ তৈরী করা হয়েছে এবং সর্ব বামে প্রয়োজনীয় সংখ্যক 0 শূণ্য যোগ করে চার বিট পূর্ণ করা হয়েছে এবার প্রত্যকেটি চার বিটের গ্রুপকে সমতূল্য হেক্সাডেসিম্যাল মানে রূপান্তর করে একটি হেক্সাডেসিম্যল সংখ্যা পাওয়া যায়, যা নির্ণেয় সংখ্যা। সুতরাং 1278 = 5716

[১]

প্রস্তর যুগ[সম্পাদনা]

বর্তমান গণিতের জন্ম হয়েছে গণনা থেকে। গণনার ধারণা থেকেই প্রথম সংখ্যা ব্যবহারের প্রয়োজনীয়তা অনুভূত হয়েছিল যদিও সংখ্যার জন্ম হয়েছে অনেক সময়ের ব্যবধানে। প্রাচীন প্রস্তর যুগে মানুষ যখন গুহায় বসবাস করতো তখনও এক-দুই পর্যন্ত গণনা চালু ছিল বলে ধারণা করা হয়। তখন পারিবারিক বা সামাজিক জীবন ভালো করে শুরু না হলেও পদার্থের রূপ সম্বন্ধে তারা ওয়াকিবহাল ছিল। নব্য প্রস্তর যুগে মানুষ খাদ্য আহরণ, উৎপাদন এবং সঞ্চয় করতে শুরু করে। মৃৎ, কাষ্ঠ এবং বয়ন শিল্পের প্রসার ঘটে যার অনেক নমুনা বর্তমানে আবিষ্কৃত হয়েছে। অধিকাংশের মতে এ সময়েই ভাষার বিকাশ ঘটে। তবে ভাষা যতটা বিকশিত হয়েছিল তার তুলনায় সংখ্যার ধারণা ছিল বেশ অস্পষ্ট। সংখ্যাগুলো সর্বদাই বিভিন্ন বস্তুর সাথে সংশ্লিষ্ট থাকতো। যেমন, পশুটি, দুটি হাত, একজোড়া ফল, এক হাঁড়ি মাছ, অনেক গাছ, সাতটি তারা ইত্যাদি। এমনকি অস্ট্রেলিয়া, আমেরিকা এবং আফ্রিকার অনেক গোত্র আজ থেকে মাত্র দুশো বছর আগেও এ অবস্থায় ছিল।

বিশুদ্ধ সংখ্যার ধারণা[সম্পাদনা]

বিশুদ্ধ সংখ্যা বলতে বস্তু নিরপেক্ষ সংখ্যার ধারণাকে বুঝায়। প্রস্তর যুগ পেরিয়ে আরও অনেক পরে এ ধারণার বিকাশ ঘটেছে। এক বা দুইয়ের গণ্ডী পেরিয়ে আরও বড় সংখ্যা নির্দেশ করতে প্রথম কেবল যোগ ব্যবহার করা হতো। পরে ধীরে ধীরে যোগ এবং গুণনের সাহায্যে ছোট থেকে বড় সংখ্যার দিকে যাওয়া শুরু হয়। দুটি অস্ট্রেলীয় গোত্রের উদাহরণ এখানে উল্লেখ্য:

  • মারে রিভার গোত্র: এনিয়া (এক), পেচেভাল (দুই), পেচেভাল-এনিয়া (তিন), পেচেভাল-পেচেভাল (চার)।
  • কামিলা রোই গোত্র: মাল (এক), বুলান (দুই), গুলিবা (তিন), বুলান-বুলান (চার), বুলান-গুলিবা (পাঁচ), গুলিবা-গুলিবা (ছয়)।

সংখ্যার ধারণা স্পষ্ট হতে শুরু করে বাণিজ্যের প্রসারের সাথে সাথে। কারণ এ সময় হিসাব সংরক্ষণ প্রক্রিয়ার প্রয়োজন পড়ে এবং এক গোত্রের সাথে আরেক গোত্রের তথ্যের আদান প্রদান জরুরি হয়ে উঠে। একটি স্পষ্ট সংখ্যা ধারণার উদাহরণ হিসেবে বাংলা সংখ্যা পদ্ধতির কথা বলা যেতে পারে। দশমিক প্রণালী ব্যবহার করে এখানে সংখ্যা গণনা করা হয়ে থাকে। এক থেকে দশ পর্যন্ত হল মূল সংখ্যা।

সংখ্যাকে বিভিন্ন ব্যবস্থায় প্রকাশ করা সম্ভব:

দশমিক ব্যবস্থা[সম্পাদনা]

এই ব্যবস্থায় সংখ্যার একেকটি অঙ্ক দশের এককটি গুণিতক।

অনেক একককে দশের বিভিন্ন গুণিতকে প্রকাশ করার জন্য বিশেষ উপসর্গ আছে:

  • কিলো (kilo)
  • মেগা (Mega)
  • গিগা (Giga)
  • টেরা (Tera)
  • পেটা (Peta)
  • এক্সা (Exa)
  • জেত্তা (Zetta)
  • ইয়ত্তা (Yotta)
  • ডেসি (Deci)
  • সেন্টি (Centi)
  • মিলি (Milli)
  • মাইক্রো (Micro)
  • ন্যানো (Nano)
  • পিকো (Pico)
  • ফেম্টো (Femto)
  • অ্যাটো (Eto)
  • জেপ্টো (Zepto)

বাইনারি ব্যবস্থা[সম্পাদনা]

বাইনারি সংখ্যা ব্যবস্থায় শুধু দুইটি অঙ্ক, ০ ও ১ ব্যবহার করা হয়। যেমন, দশমিক ৬ সংখ্যাটি বাইনারিতে প্রকাশিত হবে ১১০ হিসাবে। প্রতিটি অবস্থানের গুরুত্ব (weight) ২ করে, অর্থাৎ ৬ = ১* ২+১* ২+১* ২। এই সংখ্যা পদ্ধতির সুবিধা হল ইলেক্ট্রনিক বর্তনীতে খুব সহজেই বাইনারি সংখ্যার হিসাব করা যায়, ফলে কম্পিউটার ও ডিজিটাল বর্তনীতে এই সংখ্যা ব্যবস্থার ব্যাপক প্রচলন রয়েছে।

  1. https://electronicsbd.wordpress.com/  |title= অনুপস্থিত বা খালি (সাহায্য)