ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ ([Diophantine equation ডায়োফ্যান্টাইন ইকুয়েশন] ত্রুটি: {{Lang-xx}}: text has italic markup (সাহায্য)) হল একধরনের অনির্দিষ্ট বহুপদী সমীকরণ যার চলকগুলি কেবলমাত্র পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে। ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যায় সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলকের চেয়ে কম থাকে। ডায়োফ্যান্টাইন শব্দটি প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ ডায়াফ্যান্টাস-এর নাম থেকে এসেছে। ডায়াফ্যান্টাস কর্তৃক সূচিত ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যার গাণিতিক পর্যালোচনা এখন ডায়োফ্যান্টাইন বিশ্লেষণ নামে পরিচিত। রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে, শূন্য অথবা এক মাত্রার দুইটি একপদীর সমষ্টি থাকে।

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের উদাহরণ

ax + by = 1: এটি বেজু-র অভেদ এবং একটি রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ।

xn + yn = zn: n = 2 এর জন্য অগুনতি সমাধান (x,y,z) রয়েছে, যারা পিথাগোরীয় ত্রয়ী নামে পরিচিত। n এর উচ্চতর মানের জন্য, ফের্মার শেষ উপপাদ্য অনুসারে, কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বিশিষ্ট সমাধান পাওয়া সম্ভব নয়।

x2 - ny2 = 1: পেল সমীকরণ

$\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}y^{n-i}}=c$, যেখানে, $n\geq 3$ এবং $c\not =0$: এরা হল থ্যু সমীকরণ এবং সাধারণত সমাধানযোগ্য।

রৈখিক ডায়োফন্টাইন সমীকরণ

$ax+my=1$ ......................(1)

আকারের সমীকরণকে রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ বলে। এখানে a,b,m∈ℕ. এই সমীকরণের পূর্ণ সংখ্যায় সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি

$d|b$ হয়। যেখানে, $d=gcd(a,m)$।

এবং এক্ষেত্রে সকল সমাধানের একটি সাধারণ রূপ হল,

$x=x_{0}+{\dfrac {m}{d}}n$,

$y=y_{0}-{\dfrac {a}{d}}n$

এবং $x_{0},y_{0}$ হল যেকোনো দুটি সংখ্যা যারা সমীকরণ (1) কে সিদ্ধ করে; যেখানে n∈I।

আবার, $x=x_{0},ax+my_{0}=b$ ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণকে সিদ্ধ করে এবং (a,m)=1 হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

$y_{0}$ এর জন্য এটি নীচের অনুসমতাকেও সিদ্ধ করে,

$ax\equiv b{\pmod {m}},\,$, (a,m)=1