পেল সমীকরণ

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
Pell's equation for n = 2 and six of its integer solutions

পেল সমীকরণ হলো নিম্নোক্ত বিশিষ্ট ডায়োফন্টাইন সমীকরণ,

, যেখানে পূর্ণবর্গ নয় এমন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

জন পেলের(১৬১০-১৬৮৫) নামানুসারে এই সমীকরণের নামকরণ করা হয়েছে।

ইতিহাস[সম্পাদনা]

৪০০ খ্রীঃপূঃ তে ভারত এবং গ্রীসে এই পেল সমীকরণ এর চর্চা ছিল। তারা মূলত

এই সমীকরণে বেশী নিযুক্ত ছিলেন কারণ এর থেকে ২ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান বের করা যায়। যদি xy এর সমাধান হয় তাহলে x/y √2 এর আসন্ন মান হবে। যেমন বৌধায়ন বের করেন যে x = ১৭, y = ১২ ও x = ৫৭৭, y =৪০৮ এই সমীকরণের সমাধান তাই ১৭/১২ ও ৫৭৭/৪০৮ ২ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান।

পরে আর্কিমিডিস ৩ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান ১৩৫১/৭৮০ বের করেন।

ডায়োফ্যান্টাস ২৫০ খ্রীঃ

বিবেচনা করেন যা পেল সমীকরণ এর সমতুল্য।

এবং ব্রহ্মগুপ্ত একটি অভেদ বের করেন

যা ব্রহ্মগুপ্তের অভেদ নামে পরিচিত। এর থেকে তিনি এই সমীকরণের আর দুটি সমাধান থেকে তৃতীয় সমাধান : and বের করেন।

১১৫০ খ্রীঃ প্রথম পেল সমীকরণের সাধারণ পদ্ধতি বের করেন দ্বিতীয় ভাস্কর। তার পদ্ধতির নাম চক্রবাল পদ্ধতি। এতে একটি ট্রিপলেট এবং সাধারণ ট্রিপলেট থেকে নতুন ট্রিপলেট বের করেন যা থেকে তিনি স্কেল ডাউন করে নতুন ট্রিপলেট

বের করেন।

সমাধান[সম্পাদনা]

প্রাথমিক সমাধান[সম্পাদনা]

যদি , এর আবৃত ভগ্নাংশ এর অভিসারীসমূহের ধারা (sequence of convergents) হয়, তাহলে কোনো i এর জন্য x1 = hi এবং y1 = ki অর্থাৎ (x1,y1) পেল সমীকরণটির একটি সমাধান হবে। একে প্রাথমিক সমাধান(fundamental solution) বলে।

প্রাথমিক সমাধান থেকে অপর সমাধান[সম্পাদনা]

একটি প্রাথমিক সমাধান থেকে অপর সমাধানে আসা যায়। যেমন- বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে

এবং পুনরাবৃত্তি/পৌনপুনিক সম্বন্ধ (recurrence relation) দিয়ে

বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে অনেক সময়ে আরো সহজে লেখা যায়

উদাহরণ[সম্পাদনা]

যেমন n = 7 এর জন্য অর্থাৎ

এর জন্য
h / k (Convergent) h2 −7k2 (Pell-type approximation)
2 / 1 −3
3 / 1 +2
5 / 2 −3
8 / 3 +1

সুতরাং (8, 3) এখানে প্রাথমিক সমাধান।

বহির্সংযোগ[সম্পাদনা]