সমাকলন

সমাকলন , যোগজকলন বা যোগজীকরণ (ইংরেজি: Integral Calculus) হলো গণিতশাস্ত্রের এমন একটি শাখা যা সংক্ষেপে অন্তরকলনের বা অবকলন এর বিপরীত পদ্ধতি। কোনো ফাংশনের মোট পরিমাণ বা ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সমাকলন করা হয়। প্রদত্ত একটি একটি বাস্তব চলরাশি $x$ এবং সংখ্যারেখায় একটি ব্যবধান $[a,b]$ নির্দিষ্ট সন্তত ফাংশন $f$ এর নির্দিষ্ট সমাকলন হল

অনির্দিষ্ট সমাকলনের উদাহরণ

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,$

এছাড়াও সমাকলন শব্দটি অনির্দিষ্ট সমাকল (ইংরেজি: antiderivative) এর ধারণা সম্বন্ধে উল্লেখ হতে পারে। যদি একটি প্রদত্ত ফাংশন F যার অন্তরকলজ হয় ফাংশন f সেক্ষেত্রে, F কে একটি অনির্দিষ্ট সমাকল বলা হয় এবং একে লেখা হয়ঃ

$F=\int f(x)\,dx.$

আইজাক নিউটন এবং গট‌ফ্রিড লাইব‌নিৎস উভয়েই পৃথকভাবে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য প্রকাশ করেন। যদি f একটি অবিচ্ছিন্ন বা সন্তত বাস্তব ফাংশন একটি বদ্ধ অন্তর [a,b] এর মধ্যে সংজ্ঞাত হয়, এবং f র অনির্দিষ্ট সমাকল F হয়, তাহলে ঐ অন্তরের মধ্যে f এর নির্দিষ্ট সমাকল (ইংরেজি: definite integral) হবে।

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,$

সমাকলন এর কলনবিদ্যা প্রতিষ্ঠাতারা একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র প্রস্থ এর বর্গক্ষেত্র অসীম সমষ্টি হিসাবে কল্পনা করেন। একটি যথাযথ সমাকলন এর গাণিতিক সংজ্ঞা দেন বের্নহার্ট রিমান। এটি একটি সীমা-পদ্ধতি, যাতে একটি বক্ররেখা-বেষ্টিত অঞ্চল পাতলা উল্লম্ব স্ল্যাব-অঞ্চলে ভেঙে ক্ষেত্রফল পরিমাপ করা হয়। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে, আরও পরিশীলিত ধারণা হয়ে যায়, যেখানে ফাংশন টাইপ ও ডোমেইন এর generalization হয়ে যায়। একটি রেখা সমাকল(ইংরেজি: line integral) দুটি বা তিনটি চলরাশির ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় এবং অন্তর [a,b] কে প্লেনে অথবা spaceএ দুটি বিন্দুতে সংযোজিত ঐ ফাংশনটির নির্দিষ্ট বক্ররেখাদ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। একটি পৃষ্ঠ সমাকলন(ইংরেজি: surface integral) এ, বক্র ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি টুকরো পৃষ্ঠতল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। Integrals এই সমস্ত generalizations প্রথম পদার্থবিদ্যা চাহিদা থেকে এসেছিল, আর সেগুলো অনেক ভৌত নিয়ম তৈরি করতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য ইলেকট্রোডায়নামিক্স (electrodynamics)​​। সমাকলনের অনেক আধুনিক ধারণা আছে। তাদের মধ্যে সবচেয়ে প্রচলিত বিমূর্ত গাণিতিক তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে Lebesgue ইন্টিগ্রেশন, হিসাবে পরিচিত যা Henri Lebesgue(ইংরেজি: Henri Lebesgue) কর্তৃক বিকশিত।

প্রথাগত সংজ্ঞা

রিম্যানের সংজ্ঞা

রিম্যান এর সংজ্ঞা অনুযায়ী বদ্ধ অন্তর [a,b] এ একটি sequence নেওয়া হলঃ

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

এরপর প্রত্যেক বদ্ধ অন্তর x_i , x_i−1 এর মধ্যে $t_{i}$ একটি মান নেওয়া হল এবং Δ_i = x_i−x_i−1(mesh) বলা হলে

$S=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}$ কে রিম্যানের সমষ্টি বলা হয়।

যখন বৃহত্তম mesh এর সীমা ০ এর দিকে যায় তখন S কে বলা হয় রিম্যানের সমাকলন।

বৈশিষ্ট্য

• $\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$

যেখানে $\alpha ,\beta$ স্কেলার রাশি।

• $\int _{a}^{b}f(x)\ dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.$
• $\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$
• $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

চলক পরিবর্তন

ধরি $I\subseteq {\mathbb {R} }$ অন্তরালে $g:[a,b]\to I$ একটি অবকলনযোগ্য অপেক্ষক। ধরি$f:I\to \mathbb {R}$ একটি সন্তত অপেক্ষক তাহলে

$\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.$

লাইব‌নিৎস অঙ্কপাতন বা নোটেশন ব্যবহার করে $x=g(t)$ হলে $dx/dt=g'(t)$ ,তাই $dx=g'(t)\,dt$ যা $dx$ এর যায়গায় বসানো হয়।

সমাকলন পদ্ধতি

দেখুন সমাকলন সূচী