ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

সহজ ভাষায় ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি হলো, ডিফারেন্সিয়েশন এবং ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া দুইটি একে অপরের বিপরীত।

উপপাদ্য

কোন ফাংশন $f$$f$ এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন $f'$$f'$ হয়, তবে,

$\int _{a}^{b}f'(u)\,du=f(a)-f(b)$$\int _{a}^{b}f'(u)\,du=f(a)-f(b)$

আবার, কোন ফাংশন $f$$f$ এর জন্য

${d \over dx}\int _{a}^{x}f(u)\,du=f(x)$${d \over dx}\int _{a}^{x}f(u)\,du=f(x)$

বহুচলকবিশিষ্ট ফাংশনের জন্য

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

গাউসের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো ${\mbox{div}}$${\mbox{div}}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন।

$\int _{R}{\mbox{div}}\,\mathbf {v} \,dV=\int _{R}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {A}$$\int _{R}{\mbox{div}}\,\mathbf {v} \,dV=\int _{R}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {A}$

স্টোক্‌সের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো ${\mbox{curl}}$${\mbox{curl}}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন।

$\int _{R}{\mbox{curl}}\,\mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{R}\nabla \times \mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {l}$$\int _{R}{\mbox{curl}}\,\mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{R}\nabla \times \mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {l}$

ডিফারেন্সিয়াল ফর্মের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

$\int _{R}d\omega =\int _{\partial R}\omega$$\int _{R}d\omega =\int _{\partial R}\omega$

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।