ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

সহজ ভাষায় ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি হলো, ডিফারেন্সিয়েশন এবং ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া দুইটি একে অপরের বিপরীত। এটি এমনই এক উপপাদ্য যা কোন ফাংশনের অন্তরীকরণের ধারণা ও সমাকলনের ধারণার মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে।

উপপাদ্যটির প্রথম অংশকে কখনো কখনো ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়[১]

ইতিহাস[সম্পাদনা]

জ্যামিতি অর্থ[সম্পাদনা]

উপপাদ্য[সম্পাদনা]

কোন ফাংশন এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন হয়, তবে,

আবার, কোন ফাংশন এর জন্য

উদাহরণ[সম্পাদনা]

ধরা যাক, নিচের রাশিটির গণনা করতে হবে:

এখানে, এবং আমরা কে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ বা প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং:

অথবা, আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক,

কে গণনা করতে হবে। এখানে, and কে প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করা যায়। সুতরাং:

অথবা, সমতুল্যভাবে,

তত্ত্বীয় উদাহরণ হিসেবে, আমরা উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে প্রমাণ করতে পারি,

যেখানে,

ফলাফল নির্ভর করবে

এর উপর।

বহুচলকবিশিষ্ট ফাংশনের জন্য[সম্পাদনা]

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

গাউসের সূত্র[সম্পাদনা]

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো , আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন।

স্টোক্‌সের সূত্র[সম্পাদনা]

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো , আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন।

ডিফারেন্সিয়াল ফর্মের সূত্র[সম্পাদনা]

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  • Apostol, Tom M. (১৯৬৭), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd সংস্করণ), New York: John Wiley & Sons, আইএসবিএন 978-0-471-00005-1 .
  • Bartle, Robert (২০০১), A Modern Theory of Integration, AMS, আইএসবিএন 0-8218-0845-1 .
  • Leithold, L. (১৯৯৬), The calculus of a single variable (6th সংস্করণ), New York: HarperCollins College Publishers .
  • Rudin, Walter (১৯৮৭), Real and Complex Analysis (third সংস্করণ), New York: McGraw-Hill Book Co., আইএসবিএন 0-07-054234-1 
  1. Spivak, Michael (১৯৮০), Calculus (2nd সংস্করণ), Houston, Texas: Publish or Perish Inc.