ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

সহজ ভাষায় ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি হলো, ডিফারেন্সিয়েশন এবং ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া দুইটি একে অপরের বিপরীত। এটি এমনই এক উপপাদ্য যা কোন ফাংশনের অন্তরীকরণের ধারণা ও সমাকলনের ধারণার মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে।

উপপাদ্যটির প্রথম অংশকে কখনো কখনো ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়।

উপপাদ্য

কোন ফাংশন $f$ এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন $f'$ হয়, তবে,

$\int _{a}^{b}f'(u)\,du=f(a)-f(b)$

আবার, কোন ফাংশন $f$ এর জন্য

${d \over dx}\int _{a}^{x}f(u)\,du=f(x)$

উদাহরণ

ধরা যাক, নিচের রাশিটির গণনা করতে হবে:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx.$

এখানে, $f(x)=x^{2}$ এবং আমরা $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ কে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ বা প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.$

অথবা, আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক,

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt$

কে গণনা করতে হবে। এখানে, $f(t)=t^{3}$ and $F(t)={\frac {t^{4}}{4}}$ কে প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করা যায়। সুতরাং:

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.$

অথবা, সমতুল্যভাবে,

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.$

তত্ত্বীয় উদাহরণ হিসেবে, আমরা উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে প্রমাণ করতে পারি,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.$

যেখানে,

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}$

ফলাফল নির্ভর করবে

$F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).$ এর উপর।

বহুচলকবিশিষ্ট ফাংশনের জন্য

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

গাউসের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো ${\mbox{div}}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন।

$\int _{R}{\mbox{div}}\,\mathbf {v} \,dV=\int _{R}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {A}$

স্টোক্‌সের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো ${\mbox{curl}}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন।

$\int _{R}{\mbox{curl}}\,\mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{R}\nabla \times \mathbf {v} \cdot \,dA=\int _{\partial R}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {l}$

ডিফারেন্সিয়াল ফর্মের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

$\int _{R}d\omega =\int _{\partial R}\omega$

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।

তথ্যসূত্র

• Apostol, Tom M. (১৯৬৭), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd সংস্করণ), New York: John Wiley & Sons, আইএসবিএন 978-0-471-00005-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Bartle, Robert (২০০১), A Modern Theory of Integration, AMS, আইএসবিএন 0-8218-0845-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Leithold, L. (১৯৯৬), The calculus of a single variable (6th সংস্করণ), New York: HarperCollins College Publishers উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Rudin, Walter (১৯৮৭), Real and Complex Analysis (third সংস্করণ), New York: McGraw-Hill Book Co., আইএসবিএন 0-07-054234-1 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)