অন্তরকলন বিধি

অন্তরকলনযোগ্য ফাংশন

এগুলো পৃথকীকরণের বিধিগুলোর একটি সংক্ষিপ্তসার। অর্থাৎ ক্যালকুলাসের যেকোন ক্রমের ডেরিভেটিভ গণনা করার নিয়ম।

সাধারণ নিয়ম

• যদি f(x) একটি ধ্রুবক হয় , তাহলে

$f'=0.\,$

• যোগের নিয়ম

$(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,$ α ও β বাস্তব সংখ্যা

• গুণের নিয়ম

$(fg)'=f'g+fg'\,$

• ভাগের নিয়ম

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ ;g ≠ 0

• চেইন নিয়ম

যদি $f(x)=h(g(x))$ হয় তবে

$f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,$

সূত্র

মূলদ অপেক্ষকের সূত্র

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}(cx)=c$

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$ যেখানে $x^{n}$ ও $nx^{n-1}$ সংজ্ঞায়িত

সূচকীয় সূত্র

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

লগ্যারিদমিক সূত্র

${d \over dx}\ln x={1 \over x},\qquad x>0$]

ত্রিকোণামিতিক সূত্র

${d \over dx}\sin x=\cos x$

${d \over dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}$

${d \over dx}\sec x=\tan x\sec x$

${d \over dx}\sec x=-\sec x\cot x$

${d \over dx}\cot x=-\sec ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}$

বিপরীত ত্রিকোণামিতিক সূত্র

${d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}$

হাইপারবোলিক সূত্র

${d \over dx}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

${d \over dx}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

${d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$

${d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$

বিপরীত হাইপারবোলিক সূত্র

${d \over dx}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arccsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

বিবিধ সূত্র

${d \over dx}f(cx)=cf'(cx)$

${d \over dx}|x|={|x| \over x}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

${d \over dx}(f^{-1}(x))={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$ চেইন নিয়ম থেকে যা প্রমাণ করা যায়।

বিশেষ অন্তরজ ফাংশন

গামা ফাংশন $\quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$ $\Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt$ $\,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)$ $\,=\Gamma (x)\psi (x)$ with $\psi (x)$

রাইমান যেটা (Zeta)ফাংশন $\quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$ $\zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!$ $\,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!$

আরও দেখুন

• অন্তরকলন
• সমাকলন সূচী