সমাকলনের তালিকাসমূহ

সাধারণ ক্যালকুলাসের উদাহরণ

সমাকলন বা যোগজীকরণ/যোগজকরণ (Integration) হচ্ছে অখণ্ড ক্যালকুলাসের (integral calculus) মৌলিক অংশ/কাজ।অন্তরীকরণ (differentiation) এর কতগুলো খুব সহজ সূত্র রয়েছে,যার মাধ্যমে অন্তরীকরণ করে জটিল ফাংশনগুলোর সাধিত পদ খুব সহজে বের করা যায় ,যা সমাকলন বা যোগজীকরণ/যোগজকরণ (Integration) এ হয় না ।এজন্য কিছু পরিচিত রাশি ব্যবহার হয়ে থাকে।এখানে কিছু বহুল প্রচলিত অনির্দিষ্ট সমাকল(ইংরেজি: antiderivative) এর তালিকা তুলে ধরা হল;

মূলদ অপেক্ষকের সূত্র

$\int \,{\rm {d}}x=x+C$

$\int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

সূচকীয় সূত্র

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

লগ্যারিদমিক সূত্র

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

ত্রিকোণামিতিক সূত্র

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

${\textstyle \int \cos {x}\,dx=\ln {\left|\cos {x}-\cot {x}\right|}+C}$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\sin ^{n}x$ইত্যাদি কয়েকটি সমাকল সূত্র

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x{x} \, dx}

বিপরীত ত্রিকোণামিতিক সূত্র

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+C$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C$

হাইপারবোলিক সূত্র

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C$

বিপরীত হাইপারবোলিক সূত্র

$\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x+1}}\,{\sqrt {x-1}}+C$

$\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,x^{2}-1\right)}{2}}+C$

$\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}+C$

$\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x-2\,\arctan {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C$

$\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C$

যেক্ষেত্রে অপেক্ষকের দ্বিতীয় অবকল অপেক্ষকের সমানুপাতি সেইরূপ অপেক্ষকের গুণফল

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$

$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$

$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$

$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

বিশেষ সূত্র

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (গাউসের সমাকলন)

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

আরও দেখুন

• সমাকলন
• অন্তরকলন সূচী