দ্বিপদী সহগসমূহকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ অনুযায়ী সাজানো যায় যেখানে প্রতিটি ভুক্তি তার ঠিক উপরস্থ দুটি পদের যোগফল গণিতশাস্ত্রে দ্বিপদী সহগ (ইংরেজিঃ Binomial coefficient) বলতে সেসব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে যেসব সংখ্যা দ্বিপদী উপপাদ্যে সহগ হিসেবে বিদ্যমান। সাধারণভাবে দ্বিপদী সহগকে এক জোড়া পূর্ণসংখ্যা দ্বারা সূচিত করা হয়, যেখানে
n
≥
k
≥
0
{\displaystyle n\geq k\geq 0}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n}}
x
k
{\displaystyle x^{k}}
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
উদাহরণস্বরূপ,
(
1
+
x
)
{\displaystyle (1+x)}
(
1
+
x
)
5
=
(
5
0
)
x
0
+
(
5
1
)
x
1
+
(
5
2
)
x
2
+
(
5
3
)
x
3
+
(
5
4
)
x
4
+
(
5
5
)
x
5
{\displaystyle (1+x)^{5}={\binom {5}{0}}x^{0}+{\binom {5}{1}}x^{1}+{\binom {5}{2}}x^{2}+{\binom {5}{3}}x^{3}+{\binom {5}{4}}x^{4}+{\binom {5}{5}}x^{5}}
=
1
+
5
x
+
10
x
2
+
10
x
3
+
5
x
4
+
x
5
{\displaystyle =1+5x+10x^{2}+10x^{3}+5x^{4}+x^{5}}
৪র্থ ঘাত পর্যন্ত দ্বিপদী বিস্তৃতির visualization। এবং
x
2
{\displaystyle x^{2}}
(
5
2
)
=
5
!
2
!
3
!
=
10
{\displaystyle {\binom {5}{2}}={\frac {5!}{2!3!}}=10}
(
n
0
)
,
(
n
1
)
,
(
n
2
)
,
.
.
.
,
(
n
n
)
{\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},...,{\binom {n}{n}}}
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=0,1,2,...}
প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলা হয়। এই সম্পর্কটি হলোঃ
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
)
+
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}}
দ্বিপদী সহগসমূহ গণিতশাস্ত্রের অনেক শাখায় আবির্ভূত হয়, বিশেষত গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে (combinatorics )।
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
সেট থেকে
k
{\displaystyle k}
উপসেট তৈরী করার উপায় সংখ্যা হলো
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle S=\{1,2,3,4,5\}}
2
{\displaystyle 2}
(
5
2
)
=
10
{\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=10}
{
1
,
2
}
,
{
1
,
3
}
,
{
1
,
4
}
,
{
1
,
5
}
,
{
2
,
3
}
,
{
2
,
4
}
,
{
2
,
5
}
,
{
3
,
4
}
,
{
3
,
5
}
,
{
4
,
5
}
{\displaystyle \{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}}
যেকোনো জটিল সংখ্যা
z
{\displaystyle z}
পূর্ণসংখ্যা
k
≥
0
{\displaystyle k\geq 0}
(
z
k
)
{\displaystyle {\tbinom {z}{k}}}
জটিল সংখ্যার অনেক বৈশিষ্ট্যই এভাবে আরো সাধারণ রূপে প্রকাশিত হয়।
ইতিহাস এবং চিহ্নলিপি [ সম্পাদনা ] ১৮২৬ খ্রিস্টাব্দে আন্দ্রিয়াস ভন এটিইংসহাউসেন সর্বপ্রথম
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
[১] পিঙ্গলার চন্দ্রসাস্ত্র(Chandaḥśāstra) গ্রন্থে হালায়ুধার(Halayudha) নোট হতে। ১১৫০ খ্রিস্টাব্দের দিকে ভারতীয় গণিতবিদ দ্বিতীয় ভাস্কর তার লীলাবতী নামক গ্রন্থে দ্বিপদী সহগের বিষয়ে ব্যাখ্যা প্রদান করেন[২]
এছাড়াও ব্যবহৃত বিকল্প চিহ্নলিপিগুলো হলো
C
(
n
,
k
)
,
n
C
k
,
n
C
k
,
C
n
k
,
{\displaystyle C(n,k),{}_{n}\!\mathbb {C} _{k},nC_{k},{}\!\mathbb {C} _{n}^{k},}
C
n
,
k
{\displaystyle C_{n,k}}
C
{\displaystyle C}
ক্যাল্কুলেটরে
C
{\displaystyle C}
সংজ্ঞা এবং ব্যাখ্যা [ সম্পাদনা ] স্বাভাবিক সংখ্যা
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n}}
x
k
{\displaystyle x^{k}}
n
≥
k
{\displaystyle n\geq k}
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\displaystyle x^{n-k}y^{k}}
দ্বিপদী সহগ আরো পরিলক্ষিত হয় গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে , যেখানে এর দ্বারা
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
সেট হতে
k
{\displaystyle k}
উপসেট (অথবা
k
{\displaystyle k}
সমাবেশ সংখ্যা)।
দ্বিপদী সহগের মান গণনা [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগ
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
k
{\displaystyle k}
সমাবেশ গণনা ব্যতীতও অনেক উপায়ে বের করা যায়।
পুনরাবৃত্তি সূত্র [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগের মান গণনার একটি পদ্ধতি হলো পুনরাবৃত্তি সূত্র যা সম্পূর্ণ যোগাত্মক
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
f
o
r
a
l
l
i
n
t
e
g
e
r
s
n
,
k
:
1
≤
k
≤
n
−
1
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\ for\ all\ integers\ n,k:1\leq k\leq n-1,}
যেখানে সীমাস্থ মান,
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=
1
f
o
r
a
l
l
i
n
e
t
g
e
r
s
n
≥
0
,
{\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1\ for\ all\ inetgers\ n\geq 0,}
সূত্রটির ব্যাখ্যা দেয়া যায় এইভাবেঃ ধরা যাক একটি সেট
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,2,3,...,n\}}
k
{\displaystyle k}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
k
{\displaystyle k}
i
{\displaystyle i}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
k
{\displaystyle k}
কোনো একটি নির্দিষ্ট দ্বিপদী সহগের মান গণনার ক্ষেত্রে আরো কার্যকরী নিম্নের সূত্রটি,
(
n
k
)
=
n
k
_
k
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
.
.
.
(
n
−
(
k
−
1
)
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
.
.
.1
=
∏
i
=
1
k
n
+
1
−
i
i
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)...1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}
এখানে, প্রথম ভগ্নাংশের লব
n
k
_
{\displaystyle n^{\underline {k}}}
ক্রমহ্রাসমান ফ্যাক্টরিয়াল । এখানে সূত্রের লব হলো
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
সমাবেশের জন্য যখন ক্রম অবিবেচনাধীন।
দ্বিপদী সহগের
n
{\displaystyle n}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
প্রতিসমতা ধর্মের কারণে এসব গণনা আরো সহজে সম্পন্ন করা যায়।
ফ্যাক্টোরিয়াল সূত্র [ সম্পাদনা ] যদিও গণনার দিক দিয়ে এটি সময়সাপেক্ষ, এই সূত্রটি প্রমাণ ও প্রতিপাদনের ক্ষেত্রে বহূল ব্যবহ্রত,
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
f
o
r
0
≤
k
≤
n
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\ for\ 0\leq k\leq n,}
এখানে
n
!
{\displaystyle n!}
n
{\displaystyle n}
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle (n-k)!}
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
f
o
r
0
≤
k
≤
n
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\ for\ 0\leq k\leq n,}
এর থেকে ক্রমহ্রাসমান ফ্যাক্টরিয়াল এর ধারণা ব্যবহার করে আরো কার্যকরীভাবে দ্বিপদী সহগের মান গণনা করা যায়,
(
n
k
)
=
{
n
k
_
/
k
!
,
if
k
≤
n
2
n
n
−
k
_
/
(
n
−
k
)
!
,
if
k
>
n
2
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}n^{\underline {k}}/k!,&{\text{if }}k\leq {\tfrac {n}{2}}\\n^{\underline {n-k}}/(n-k)!,&{\text{if }}k>{\tfrac {n}{2}}\end{cases}}}
প্যাস্কেলের ত্রিভূজ [ সম্পাদনা ] প্যাস্কেলের সূত্র হলো একটি গুরুত্বপূর্ণ পুনরাবৃত্তিক সম্পর্ক
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}}
প্যাস্কেলের ত্রিভূজের ০-১৬ পর্যন্ত সারিযা গাণিতিক আরোহ বিধি ব্যবহারের মাধ্যমে প্রমাণ করা যায়।
প্যাস্কেলের সূত্র হতে পাওয়া যায় প্যাস্কেলের ত্রিভূজঃ
0:
1
1:
1
1
2:
1
2
1
3:
1
3
3
1
4:
1
4
6
4
1
5:
1
5
10
10
5
1
6:
1
6
15
20
15
6
1
7:
1
7
21
35
35
21
7
1
8:
1
8
28
56
70
56
28
8
1
সারি নম্বর
n
{\displaystyle n}
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle k=0,1,2,...,n}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
(
x
+
y
)
5
=
1
_
x
5
+
5
_
x
4
y
+
10
_
x
3
y
2
+
10
_
x
2
y
3
+
5
_
x
y
4
+
1
_
y
5
.
{\displaystyle (x+y)^{5}={\underline {1}}x^{5}+{\underline {5}}x^{4}y+{\underline {10}}x^{3}y^{2}+{\underline {10}}x^{2}y^{3}+{\underline {5}}xy^{4}+{\underline {1}}y^{5}.}
গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব ও পরিসংখ্যান [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগ গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহার হয়। কেননা, প্রচলিত বিভিন্ন গণনা সংক্রান্ত সমস্যার জন্য সরাসরি সূত্র ব্যবহার করা যায়। যেমনঃ
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}
k
{\displaystyle k}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
0
{\displaystyle 0}
(
n
+
k
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}}
স্ট্রিং বিদ্যমান।পাশাপাশি দুটি
1
{\displaystyle 1}
k
{\displaystyle k}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
0
{\displaystyle 0}
স্ট্রিং বিদ্যমান
(
n
+
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}}
কাতালান সংখ্যা হলো
1
n
+
1
(
2
n
n
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}}
পরিসংখ্যানে দ্বিপদী বণ্টন এর সূত্র
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
k
−
1
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{k-1}}
বহুপদী হিসেবে দ্বিপদী সহগ [ সম্পাদনা ] যেকোনো অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা
k
{\displaystyle k}
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}
k
!
{\displaystyle k!}
(
t
k
)
=
(
t
)
k
k
!
=
(
t
)
k
(
k
)
k
=
t
(
t
−
1
)
(
t
−
2
)
.
.
.
(
t
−
k
+
1
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
.
.
.2
.1
;
{\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)...(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)...2.1}};}
এটি মূলদ সহগযুক্ত
t
{\displaystyle t}
যেমন, এই প্রাথমিক শর্ত দ্বারা যেকোনো বাস্তব বা জটিল সংখ্যা
t
{\displaystyle t}
নিউটনের সর্বজনীন দ্বিপদী সহগেও আবির্ভূত হয়।
প্রতিটি
k
{\displaystyle k}
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}
k
{\displaystyle k}
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)}
p
(
0
)
=
p
(
1
)
=
p
(
2
)
=
.
.
.
p
(
k
−
1
)
=
0
{\displaystyle p(0)=p(1)=p(2)=...p(k-1)=0}
p
(
k
)
=
1
{\displaystyle p(k)=1}
এর সহগসমূহকে প্রথম ক্রমের স্টার্লিং সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়ঃ
(
t
k
)
=
∑
i
=
0
k
s
(
k
,
i
)
t
i
k
!
{\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}}
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}
অন্তরজ গণনা করা যায় লগারিদমিক অন্তরীকরণ দ্বারাঃ
d
d
t
(
t
k
)
=
(
t
k
)
∑
i
=
o
k
−
1
1
t
−
i
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=o}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}}
পূর্ণসাংখ্যিক বহুপদী [ সম্পাদনা ] প্রতিটি বহুপদী
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k}}}
t
{\displaystyle t}
3
t
(
3
t
+
1
)
/
2
{\displaystyle 3t(3t+1)/2}
9
(
t
2
)
+
6
(
t
1
)
+
0
(
t
0
)
{\displaystyle 9{\binom {t}{2}}+6{\binom {t}{1}}+0{\binom {t}{0}}}
দ্বিপদী সহগযুক্ত কিছু অভেদ [ সম্পাদনা ] যদি
k
{\displaystyle k}
ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং
n
{\displaystyle n}
(
n
k
)
=
n
k
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}}
এবং,
(
n
−
1
k
)
−
(
n
−
1
k
−
1
)
=
n
−
2
k
n
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}}
এছাড়া এটিও কার্যকরী হতে পারেঃ
(
n
h
)
(
n
−
h
k
)
=
(
n
k
)
(
n
−
k
h
)
{\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}}
কোনো একটি নির্দিষ্ট
n
{\displaystyle n}
(
n
k
)
=
n
+
1
−
k
k
(
n
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n+1-k}{k}}{\binom {n}{k-1}}}
দ্বিপদী সহগসমূহের সমষ্টি [ সম্পাদনা ]
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}
এই সূত্র প্রকাশ করে যে প্যাসকেলের ত্রিভুজের
n
{\displaystyle n}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
দ্বিপদী উপপাদ্যে
x
=
y
=
1
{\displaystyle x=y=1}
একইভাবে, পূর্ববর্তী রাশিকে
x
{\displaystyle x}
∑
k
=
0
n
k
(
n
k
)
=
n
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}}
এবং একে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাওয়া যায়ঃ
∑
k
=
0
n
k
2
(
n
k
)
=
(
n
+
n
2
)
2
n
−
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}
জটিল সংখ্যা
m
,
n
{\displaystyle m,n}
k
{\displaystyle k}
চিউ-ভ্যানডারমন্ড অভেদ থেকে পাওয়া যায়,
∑
j
=
0
k
(
m
j
)
(
n
−
m
k
−
j
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}}
বিশেষ ক্ষেত্র,
n
=
2
m
,
k
=
m
{\displaystyle n=2m,k=m}
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
2
=
(
2
m
m
)
{\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}^{2}={\binom {2m}{m}}}
এখানে, ডানপাশের পদটি হলো কেন্দ্রীয় দ্বিপদী সহগ ।
চিউ-ভ্যানডারমন্ড অভেদের অপর একটি রূপ হলো,
∑
m
=
0
n
(
m
j
)
=
(
n
−
m
k
−
j
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}={\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n+1}{k+1}}}
যেখানে,
0
≤
j
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq j\leq k\leq n\ }
j
,
k
,
n
∈
N
{\displaystyle j,k,n\in N}
এক্ষত্রে,
j
=
m
{\displaystyle j=m}
হকি-স্টিক অভেদ ,
(
n
m
=
k
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{m=k}}={\binom {n+1}{k+1}}}
এবং এর অনুরূপ,
∑
r
=
0
m
(
n
+
r
r
)
=
(
n
+
m
−
1
m
)
{\displaystyle \sum _{r=0}^{m}{\binom {n+r}{r}}={\binom {n+m-1}{m}}}
F
(
n
)
{\displaystyle F(n)}
n
{\displaystyle n}
ফিবোনাচি সংখ্যা হয়, তবে,
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
−
k
k
)
=
F
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1)}
বহুখন্ডের সমষ্টি [ সম্পাদনা ] পূর্ণসংখ্যা
s
,
t
{\displaystyle s,t}
0
≤
t
≤
s
{\displaystyle 0\leq t\leq s}
(
n
t
)
+
(
n
t
+
s
)
+
(
n
t
+
2
s
)
+
.
.
.
=
1
s
∑
j
=
0
s
−
1
(
2
cos
π
j
s
)
n
cos
π
(
n
−
2
t
)
j
s
{\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+...={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}{\biggl (}2\cos {\frac {\pi j}{s}}{\biggr )}^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}}
s
{\displaystyle s}
[৩]
(
n
0
)
+
(
n
3
)
+
(
n
6
)
+
.
.
.
=
1
3
(
2
n
+
2
cos
n
π
3
)
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+...={\frac {1}{3}}{\biggl (}2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}{\biggr )}}
(
n
1
)
+
(
n
4
)
+
(
n
7
)
+
.
.
.
=
1
3
(
2
n
+
2
cos
(
n
−
2
)
π
3
)
{\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+...={\frac {1}{3}}{\biggl (}2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}{\biggr )}}
(
n
2
)
+
(
n
5
)
+
(
n
8
)
+
.
.
.
=
1
3
(
2
n
+
2
cos
(
n
−
2
)
π
3
)
{\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+...={\frac {1}{3}}{\biggl (}2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}{\biggr )}}
(
n
0
)
+
(
n
4
)
+
(
n
8
)
+
.
.
.
=
1
2
(
2
n
−
1
+
2
n
2
cos
n
π
4
)
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+...={\frac {1}{2}}{\biggl (}2^{n-1}+2^{\tfrac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}{\biggr )}}
(
n
1
)
+
(
n
5
)
+
(
n
9
)
+
.
.
.
=
1
2
(
2
n
−
1
+
2
n
2
sin
n
π
4
)
{\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{9}}+...={\frac {1}{2}}{\biggl (}2^{n-1}+2^{\tfrac {n}{2}}\sin {\frac {n\pi }{4}}{\biggr )}}
(
n
2
)
+
(
n
6
)
+
(
n
10
)
+
.
.
.
=
1
2
(
2
n
−
1
−
2
n
2
cos
n
π
4
)
{\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{6}}+{\binom {n}{10}}+...={\frac {1}{2}}{\biggl (}2^{n-1}-2^{\tfrac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}{\biggr )}}
(
n
3
)
+
(
n
7
)
+
(
n
11
)
+
.
.
.
=
1
2
(
2
n
−
1
−
2
n
2
sin
n
π
4
)
{\displaystyle {\binom {n}{3}}+{\binom {n}{7}}+{\binom {n}{11}}+...={\frac {1}{2}}{\biggl (}2^{n-1}-2^{\tfrac {n}{2}}\sin {\frac {n\pi }{4}}{\biggr )}}
যদিও দ্বিপদী সহগের আংশিক সমষ্টির কোনো নির্দিষ্ট সূত্র নেই,[৪] প্যাস্কেলের অভেদক এবং গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখানো যায় যে,
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
n
−
1
,
{\displaystyle k=0,1,2,...n-1,}
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
j
(
n
j
)
=
(
−
1
)
k
(
n
−
1
k
)
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},}
এবং বিশেষ ক্ষেত্রে,[৫]
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
j
(
n
j
)
=
0
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0}
যখন
n
>
0
{\displaystyle n>0}
ডিক্সনের অভেদকটি হলো,
∑
k
=
−
a
a
(
−
1
)
k
(
2
a
k
+
a
)
3
=
(
3
a
)
!
(
a
!
)
3
{\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\binom {2a}{k+a}}^{3}={\frac {(3a)!}{{(a!)}^{3}}}}
অথবা, আরো সাধারণরূপে,
∑
k
=
−
a
a
(
−
1
)
k
(
a
+
b
a
+
k
)
(
b
+
c
b
+
k
)
(
c
+
a
c
+
k
)
=
(
a
+
b
+
c
)
!
a
!
b
!
c
!
,
{\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\binom {a+b}{a+k}}{\binom {b+c}{b+k}}{\binom {c+a}{c+k}}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}},}
যেখানে
a
,
b
,
c
∈
N
{\displaystyle a,b,c\in N}
অবিচ্ছিন্ন অভেদক [ সম্পাদনা ] কিছু ত্রিকোণমিতিক যোগজের মানকে দ্বিপদী সহগ দ্বারা প্রকাশ করা যায়ঃ
m
,
n
∈
N
{\displaystyle m,n\in N}
∫
−
π
π
cos
(
(
2
m
−
n
)
x
)
cos
n
x
d
x
=
π
2
n
−
1
(
n
m
)
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}x\operatorname {d} \!x={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}
∫
−
π
π
sin
(
(
2
m
−
n
)
x
)
sin
n
x
d
x
=
{
(
−
1
)
m
+
(
n
+
1
)
/
2
π
2
n
−
1
(
n
m
)
n
odd
0
otherwise
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}x\operatorname {d} \!x={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\tfrac {\pi }{2^{n-1}}}{\tbinom {n}{m}}&n{\text{ odd}}\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
∫
−
π
π
cos
(
(
2
m
−
n
)
x
)
sin
n
x
d
x
=
{
(
−
1
)
m
+
(
n
/
2
)
π
2
n
−
1
(
n
m
)
n
even
0
otherwise
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}x\operatorname {d} \!x={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\tfrac {\pi }{2^{n-1}}}{\tbinom {n}{m}}&n{\text{ even}}\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
এগুলো প্রমাণ করা যায় অয়লারের সূত্র দ্বারা। এজন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে সূচকীয় জটিল সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করে, দ্বিপদী সহগ অনুযায়ী বিস্তৃত করে, প্রতিটি পদকে আলাদা আলাদাভাবে যোগজীকরণ করতে হয়।
সাধারণ উদ্ভূত ফাংশন [ সম্পাদনা ]
n
{\displaystyle n}
(
n
0
)
,
(
n
1
)
,
(
n
2
)
,
.
.
.
,
{\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},...,}
উদ্ভূত ফাংশন হলো,
∑
k
=
0
∞
(
n
k
)
x
k
=
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}}
k
{\displaystyle k}
(
0
k
)
,
(
1
k
)
,
(
2
k
)
,
.
.
.
,
{\displaystyle {\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},...,}
∑
n
=
k
∞
(
n
k
)
y
n
=
y
k
(
1
−
y
)
k
+
1
{\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}}
আর
n
,
k
{\displaystyle n,k}
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
=
1
1
−
y
−
x
y
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}}
দ্বিপদী সহগের অপর একটি প্রতিসম সাধারণ উদ্ভূত ফাংশন হলো,
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
∞
(
n
+
k
k
)
x
k
y
n
=
1
1
−
x
−
y
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-x-y}}}
সূচকীয় উদ্ভূত ফাংশন [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগের একটি প্রতিসম দ্বিপরিবির্তনশীল উদ্ভূত ফাংশন হলোঃ
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
∞
(
n
+
k
k
)
x
k
y
n
(
n
+
k
)
!
=
e
x
+
y
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{k}}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}}
বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্যসমূহ [ সম্পাদনা ] ১৮৫২ খ্রিস্টাব্দে আরনেস্ট কামার প্রমাণ করেন যে, যদি
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
(
m
+
n
n
)
{\displaystyle {\tbinom {m+n}{n}}}
p
c
{\displaystyle p^{c}}
c
{\displaystyle c}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
ভিত্তিতে যোগ করার ফলে প্রাপ্ত ক্যারি এর সংখ্যা। একইভাবে
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
p
{\displaystyle p}
j
{\displaystyle j}
k
/
p
j
{\displaystyle k/p^{j}}
n
/
p
j
{\displaystyle n/p^{j}}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
n
/
gcd
(
n
,
k
)
{\displaystyle n/\gcd(n,k)}
r
,
s
{\displaystyle r,s}
s
<
p
r
{\displaystyle s<p^{r}}
(
p
r
s
)
{\displaystyle {\tbinom {p^{r}}{s}}}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
ডেভিড সিংমাস্টার এর ফলাফল হতে দেখা যায়, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা প্রায় সকল দ্বিপদী সহগ দ্বারা বিভাজ্য। আরো সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়, কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা
d
{\displaystyle d}
f
(
N
)
{\displaystyle f(N)}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
n
<
N
{\displaystyle n<N}
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
d
{\displaystyle d}
lim
n
→
∞
f
(
N
)
N
(
N
+
1
)
/
2
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(N)}{N(N+1)/2}}=1.}
যেহেতু
n
<
N
{\displaystyle n<N}
N
(
N
+
1
)
/
2
{\displaystyle N(N+1)/2}
d
{\displaystyle d}
দ্বিপদী সহগসমূহের বিভাজ্যতার সাথে ধারাবাহিক পূর্ণসংখ্যার লসাগুর সাথে সম্পর্ক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপঃ[৬]
(
n
+
k
k
)
{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}
lcm
(
n
,
n
+
1
,
.
.
.
,
n
+
k
)
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,...,n+k)}{n}}}
(
n
+
k
k
)
{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}
lcm
(
n
,
n
+
1
,
.
.
.
,
k
)
n
.
lcm
(
(
k
0
)
,
(
k
k
1
)
,
.
.
.
,
(
k
k
)
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,...,k)}{n.\operatorname {lcm} ({\tbinom {k}{0}},{\tbinom {k}{k1}},...,{\tbinom {k}{k}})}}}
এছাড়াও কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
(
n
1
)
,
(
n
2
)
,
.
.
.
,
(
n
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},...,{\binom {n}{n-1}}}
n
{\displaystyle n}
সীমাস্থ এবং অসীমতট সূত্র [ সম্পাদনা ]
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
n
,
k
{\displaystyle n,k}
n
k
k
k
≤
(
n
k
)
≤
n
k
k
!
<
(
n
.
e
k
)
k
.
{\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<{\biggl (}{\frac {n.e}{k}}{\biggr )}^{k}.}
প্রথম অসমতাটি আসে নিচের সম্পর্ক্টি হতে,
(
n
k
)
=
n
k
n
−
1
k
−
1
.
.
.
n
−
(
k
−
1
)
1
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\frac {n-1}{k-1}}...{\frac {n-(k-1)}{1}}}
কেননা এক্ষেত্রে গুণফলের প্রতিটি
k
{\displaystyle k}
≥
n
k
{\displaystyle \geq {\frac {n}{k}}}
(
n
k
)
≤
n
k
k
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}
আর সর্বশেষ অসমতাটি পাওয়া যায়
(
n
k
)
k
{\displaystyle {\biggl (}{\frac {n}{k}}{\biggr )}^{k}}
e
k
{\displaystyle e^{k}}
lcm
(
n
−
k
,
.
.
.
,
n
)
(
n
−
k
)
.
lcm
(
(
k
0
)
,
(
k
1
)
.
.
.
,
(
k
k
)
)
≤
(
n
k
)
≤
lcm
(
n
−
k
,
.
.
.
,
n
)
n
−
k
{\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,...,n)}{(n-k).\operatorname {lcm} ({\tbinom {k}{0}},{\tbinom {k}{1}}...,{\tbinom {k}{k}})}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,...,n)}{n-k}}}
যা হতে দুটি অসমতাই পাওয়া যায়।[৬]
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
[ সম্পাদনা ]
n
,
i
{\displaystyle n,i}
স্টার্লিং এর সূত্র হতে নিচের আসন্ন মান পাওয়া যায়,
(
n
i
)
∼
n
2
π
i
(
n
−
i
)
.
n
n
i
3
(
n
−
i
)
n
−
i
{\displaystyle {\binom {n}{i}}\sim {\sqrt {\frac {n}{2\pi i(n-i)}}}.{\frac {n^{n}}{i^{3}(n-i)^{n-i}}}}
যেহেতু স্টার্লিং এর সূত্রের অসমতা ফ্যাক্টরিয়ালকেও সীমাস্থ করে থাকে, তাই উপরের অসীমতটের অনুমিত মানকে সামান্য পরিবর্তন করলে যথাযথ সীমাস্থ মান পাওয়া যায়।
নির্দিষ্টভাবে, যখন
n
{\displaystyle n}
(
2
n
n
)
∼
2
2
n
π
n
{\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}}
n
(
2
n
n
)
≥
2
2
n
−
1
{\displaystyle {\sqrt {n}}{\binom {2n}{n}}\geq 2^{2n-1}}
এবং সাধারণভাবে,
m
≥
2
{\displaystyle m\geq 2}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
n
(
m
n
n
)
≥
m
m
(
n
−
1
)
+
1
(
m
−
1
)
(
m
−
1
)
(
n
−
1
)
{\displaystyle {\sqrt {n}}{\binom {mn}{n}}\geq {\frac {m^{m(n-1)+1}}{(m-1)^{(m-1)(n-1)}}}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
[ সম্পাদনা ] যখন
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
(
n
k
)
=
n
(
n
−
1
)
.
.
.
(
n
−
k
+
1
)
k
!
≈
(
n
−
k
/
2
)
k
k
k
e
−
k
2
π
k
=
(
n
/
k
−
0.5
)
k
e
k
)
2
π
k
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{k!}}\approx {\frac {(n-k/2)^{k}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}}}={\frac {(n/k-0.5)^{k}e^{k})}{\sqrt {2\pi k}}},}
যা হতে পাওয়া যায় স্টার্লিং এর সূত্রের সদৃশ রূপঃ
ln
(
n
k
)
≈
k
ln
(
n
/
k
−
0.5
)
+
k
−
0.5
ln
(
2
π
k
)
.
{\displaystyle \ln {\binom {n}{k}}\approx k\ln(n/k-0.5)+k-0.5\ln(2\pi k).}
আরো যথাযথ মান পাওয়ার জন্য
ln
(
n
(
n
−
1
)
.
.
.
(
n
−
k
+
1
)
)
{\displaystyle \ln(n(n-1)...(n-k+1))}
ln
(
n
k
)
≈
(
n
+
0.5
)
ln
n
+
0.5
n
−
k
+
0.5
+
k
ln
n
−
k
+
0.5
k
−
0.5
ln
(
2
π
k
)
{\displaystyle \ln {\binom {n}{k}}\approx (n+0.5)\ln {\frac {n+0.5}{n-k+0.5}}+k\ln {\frac {n-k+0.5}{k}}-0.5\ln(2\pi k)}
যদি
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
|
n
/
2
−
k
|
=
o
(
n
2
/
3
)
{\displaystyle \left\vert n/2-k\right\vert =o(n^{2/3})}
[৭]
(
n
k
)
∼
(
n
n
2
)
e
−
d
2
/
(
2
n
)
∼
2
n
1
2
n
π
e
−
d
2
/
(
2
n
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\tfrac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}
যেখানে,
d
=
n
−
2
k
{\displaystyle d=n-2k}
দ্বিপদী সহগসমূহের সমষ্টি [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিপদী সহগসমূহের সমষ্টির সাধারণ ও আসন্ন ঊর্ধ্ব সীমা পাওয়া যায়ঃ
∑
i
=
0
k
(
n
i
)
≤
∑
i
=
0
k
n
i
.1
k
−
i
≤
(
1
+
n
)
k
{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq \sum _{i=0}^{k}n^{i}.1^{k-i}\leq (1+n)^{k}}
k
{\displaystyle k}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
log
2
(
n
k
)
∼
n
H
(
k
n
)
=
k
log
2
(
n
k
)
+
(
n
−
k
)
log
2
(
n
n
−
k
)
{\displaystyle \log _{2}{\binom {n}{k}}\sim nH{\biggl (}{\frac {k}{n}}{\biggr )}=k\log _{2}{\biggl (}{\frac {n}{k}}{\biggr )}+(n-k)\log _{2}{\biggl (}{\frac {n}{n-k}}{\biggr )}}
যেখানে,
H
(
ϵ
)
=
−
ϵ
log
2
(
ϵ
)
−
(
1
−
ϵ
)
log
2
(
1
−
ϵ
)
{\displaystyle H(\epsilon )=-\epsilon \log _{2}(\epsilon )-(1-\epsilon )\log _{2}(1-\epsilon )}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
দ্বৈত এন্ট্রপি । আরো যথাযথভাবে, সকল পূর্ণসংখ্যা
n
≥
k
≥
1
{\displaystyle n\geq k\geq 1}
ϵ
≐
k
/
n
≤
1
/
2
{\displaystyle \epsilon \doteq k/n\leq 1/2}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
[৮]
1
8
n
ϵ
(
1
−
ϵ
)
.2
H
(
ϵ
)
.
n
≤
∑
i
=
0
k
(
n
i
)
≤
2
H
(
ϵ
)
.
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {8n\epsilon (1-\epsilon )}}}.2^{H(\epsilon ).n}\leq \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq 2^{H(\epsilon ).n}.}
সাধারণ দ্বিপদী সহগ [ সম্পাদনা ] গ্যামা ফাংশনের অসীম গুণনের সূত্র থেকেও দ্বিপদী সহগের রাশিমালা পাওয়া যায়,
(
−
1
)
k
(
z
k
)
=
(
z
−
k
−
1
k
)
=
1
Γ
(
−
z
)
1
(
k
+
1
)
z
+
1
∏
j
=
k
+
1
(
1
+
1
j
)
−
z
−
1
1
−
z
+
1
j
{\displaystyle (-1)^{k}{\binom {z}{k}}={\binom {z-k-1}{k}}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {(1+{\tfrac {1}{j}})^{-z-1}}{1-{\tfrac {z+1}{j}}}}}
যা প্রদান করে অসীমতটের সূত্রসমূহ,
(
z
k
)
≈
(
−
1
)
k
)
Γ
(
−
z
)
k
z
+
1
{\displaystyle {\binom {z}{k}}\approx {\frac {(-1)^{k})}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}}
(
z
+
k
k
)
=
k
z
Γ
(
z
+
1
)
(
1
+
z
(
z
+
1
)
2
k
+
ϑ
(
k
−
2
)
)
{\displaystyle {\binom {z+k}{k}}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}{\biggl (}1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+\vartheta (k^{-2}){\biggr )}}
যখন
k
⟶
∞
{\displaystyle k\longrightarrow \infty }
এই অসীমতটের ধর্ম অনুমানের মধ্যেও অন্তর্ভুক্ত
(
z
+
k
k
)
≈
e
z
(
H
k
−
γ
)
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle {\binom {z+k}{k}}\approx {\frac {e^{z(H_{k}-\gamma )}}{\Gamma (z+1)}}}
এখানে,
H
k
{\displaystyle H_{k}}
k
{\displaystyle k}
হারমোনিক সংখ্যা এবং
γ
{\displaystyle \gamma }
অয়লার-মাস্কেরোনি ধ্রুবক ।
এছাড়াও কিছু জটিল সংখ্যা
x
{\displaystyle x}
k
⟶
∞
{\displaystyle k\longrightarrow \infty }
j
/
k
⟶
x
{\displaystyle j/k\longrightarrow x}
(
z
+
k
j
)
(
k
j
)
→
(
1
−
j
k
)
−
z
{\displaystyle {\frac {\binom {z+k}{j}}{\binom {k}{j}}}\rightarrow {\biggl (}1-{\frac {j}{k}}{\biggr )}^{-z}}
(
j
j
−
k
)
(
j
−
z
j
−
k
)
→
(
j
k
)
z
{\displaystyle {\frac {\binom {j}{j-k}}{\binom {j-z}{j-k}}}\rightarrow {\biggl (}{\frac {j}{k}}{\biggr )}^{z}}
যৌগিক পদের সাধারণীকরণ [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগকে যৌগিক পদের সহগ হিসেবে সাধারণীকরণ করা যায়, যেখানে যৌগিক পদের সহগ সংজ্ঞায়িত নিম্নোক্ত রূপেঃ
(
n
k
1
,
k
2
,
k
3
,
.
.
.
,
k
r
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
k
3
!
.
.
.
k
r
!
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!...k_{r}!}}}
যেখানে
∑
i
=
1
r
k
i
=
n
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.}
উল্লেখ্য, দ্বিপদী সহগসমূহ প্রকাশ করে
(
x
+
y
)
n
{\displaystyle (x+y)^{n}}
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
.
.
.
+
x
r
)
n
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{r})^{n}}
বহুপদীর সহগসমূহ।
এক্ষেত্রে
r
=
2
{\displaystyle r=2}
(
n
k
1
,
k
2
)
=
(
n
k
1
,
n
−
k
1
)
=
(
n
k
1
)
=
(
n
k
2
)
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2}}}={\binom {n}{k_{1},n-k_{1}}}={\binom {n}{k_{1}}}={\binom {n}{k_{2}}}}
যৌগিক পদের সহগের অনেক ধর্ম দ্বিপদী সহগের ধর্মের মতোই। উদাহরণস্বরূপ, পুনরাবৃত্তি ধর্মঃ
(
n
k
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
r
)
=
(
n
−
1
k
1
−
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
r
)
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
−
1
,
.
.
.
,
k
r
)
+
.
.
.
+
(
n
−
1
k
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
r
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},...,k_{r}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},...,k_{r}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,...,k_{r}}}+...+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2},...,k_{r}-1}}}
এবং প্রতিসমতাঃ
(
n
k
1
−
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
r
)
=
(
n
k
σ
1
,
k
σ
2
,
.
.
.
,
k
σ
r
)
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1}-1,k_{2},...,k_{r}}}={\binom {n}{k_{\sigma 1},k_{\sigma 2},...,k_{\sigma r}}}}
যেখানে,
(
σ
i
)
{\displaystyle ({\sigma i})}
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
r
{\displaystyle 1,2,3,...,r}
বিন্যাস ।
প্রথম ক্রমের স্টার্লিং সংখ্যা ব্যবহার করে যেকোনো ইচ্ছামূলক বিন্দু
z
o
{\displaystyle z_{o}}
(
z
k
)
=
1
k
!
∑
i
=
0
k
z
i
s
k
,
i
=
∑
i
=
0
k
(
z
−
z
0
)
i
∑
i
=
j
k
(
z
0
j
−
i
)
s
k
+
i
−
j
,
i
(
k
+
i
−
j
)
!
{\displaystyle {\binom {z}{k}}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{i=j}^{k}{\binom {z_{0}}{j-i}}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}}
=
∑
i
=
0
k
(
z
−
z
0
)
i
∑
j
=
i
k
z
0
j
−
i
(
j
i
)
s
k
,
j
k
!
{\displaystyle =\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{z_{0}}^{j-i}{\binom {j}{i}}{\frac {s_{k,j}}{k!}}}
n
=
1
/
2
{\displaystyle n=1/2}
[ সম্পাদনা ]
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
বিশেষ করে নিম্নের অভেদটি যেকোনো অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রযোজ্যঃ
(
1
/
2
k
)
=
(
2
k
k
)
(
−
1
)
k
+
1
2
2
k
(
2
k
−
1
)
.
{\displaystyle {\binom {1/2}{k}}={\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.}
এটি পাওয়া যায় নিউটনের দ্বিপদী ধারা অনুসারে
1
+
x
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}}
1
+
x
=
∑
k
≥
0
(
1
/
2
k
)
x
k
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}}
দ্বিপদী সহগের গুণনের জন্য অভেদক [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগসমূহের গুণফলকে দ্বিপদী সহগের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়ঃ
(
z
m
)
(
z
n
)
=
∑
k
=
0
m
(
m
+
n
−
k
k
,
m
−
k
,
n
−
k
)
(
z
m
+
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {z}{m}}{\binom {z}{n}}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+n-k}{k,m-k,n-k}}{\binom {z}{m+n-k}}}
যেখানে সংযোগ সহগগুলো হলো যৈগিক পদের সহগসমূহ।
আংশিক ভগ্নাংশে ভাঙন [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগের পূরকের আংশিক ভগ্নাংশে ভাঙন নিচের রাশি দ্বারা প্রকাশিত,
1
(
z
n
)
=
∑
i
=
o
n
−
1
(
−
1
)
n
−
1
−
i
(
n
i
)
n
−
i
z
−
i
,
{\displaystyle {\frac {1}{\binom {z}{n}}}=\sum _{i=o}^{n-1}(-1)^{n-1-i}{\binom {n}{i}}{\frac {n-i}{z-i}},}
1
(
z
+
n
n
)
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
(
n
i
)
i
z
+
i
{\displaystyle {\frac {1}{\binom {z+n}{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\binom {n}{i}}{\frac {i}{z+i}}}
নিউটনের দ্বিপদী ধারা [ সম্পাদনা ] নিউটনের দ্বিপদী ধারা হলো অসীম পদ পর্যন্ত দ্বিপদী উপপাদ্যের সরলীকরণঃ
(
1
+
z
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
z
n
=
1
+
(
α
1
)
z
+
(
α
2
)
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}z^{n}=1+{\binom {\alpha }{1}}z+{\binom {\alpha }{2}}z^{2}+...}
এই অভেদটি পাওয়া যায় উভয় পাশ অন্তরক সমীকরণ
(
1
+
z
)
f
′
(
z
)
=
α
f
(
z
)
{\displaystyle (1+z)f'(z)=\alpha f(z)}
এই ধারার অভিসৃতির ব্যাসার্ধ ১। এর একটি বিকল্প রূপ হলোঃ
1
(
1
−
z
)
α
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
α
n
)
z
n
{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\alpha }+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+\alpha }{n}}z^{n}}
যেখানে নিচের অভেদটি প্রয়োগ করা হয়েছে,
(
n
k
)
=
(
−
1
)
k
(
k
−
n
−
1
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k-n-1}{k}}}
যৌগিক সেটের দ্বিপদী সহগ [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগ দ্বারা কোনো একটি সেটের নির্ধারিত সংখ্যক উপাদান নিয়ে উপসেট গণনা করা যায়। এর সাথে সংশ্লিষ্ট গুচ্ছ-বিন্যাসতাত্ত্বিক সমস্যা হলো যেকোনো সেট হতে নির্ধারিত সংখ্যক উপাদান নিয়ে যৌগিক সেট গণনা তথা কোনো সেট হতে নির্দিষ্ট সংখ্যক উপাদান বাছাই করার উপায় এই শর্তে যে একই উপাদান একাধিকবার বাছাই করা যাবে। এর মাধ্যমে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোকে বলা হয় যৌগিক সেটের সহগ;[৯]
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
(
(
n
k
)
)
{\displaystyle {\biggl (}{\binom {n}{k}}{\biggr )}}
যৌগিক সেটের সহগসমূহকে দ্বিপদী সহগ দ্বারাও প্রকাশ করা যেতে পারে নিম্নোক্ত নিয়ম ব্যবহার করে
(
f
k
)
=
(
(
r
k
)
)
=
(
r
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle {\binom {f}{k}}={\biggl (}{\binom {r}{k}}{\biggr )}={\binom {r+k-1}{k}}}
এই অভেদের একটি সম্ভাব্য বিকল্প বৈশিষ্ট্য দেয়া যেতে পারে এভাবেঃ নিম্নগামী ফ্যাক্টরিয়াল প্রকাশ করা যায় এভাবে,
(
f
)
k
=
f
k
_
=
(
f
−
k
+
1
)
.
.
.
(
f
−
3
)
.
(
f
−
2
)
.
(
f
−
1
)
.
f
{\displaystyle (f)_{k}=f^{\underline {k}}=(f-k+1)...(f-3).(f-2).(f-1).f}
এবং সংশ্লিষ্ট ঊর্ধ্বগামী ফ্যাক্টরিয়াল প্রকাশ করা যায় এভাবে,
r
(
k
)
=
r
k
¯
=
r
.
(
r
+
1
)
.
(
r
+
2
)
.
(
r
+
3
)
.
.
.
(
r
+
k
−
1
)
{\displaystyle r^{(k)}=r^{\overline {k}}=r.(r+1).(r+2).(r+3)...(r+k-1)}
উদাহরণস্বরূপ,
17.18.19.20.21
=
(
21
)
5
=
21
5
_
=
17
5
¯
=
17
(
5
)
.
{\displaystyle 17.18.19.20.21=(21)_{5}=21^{\underline {5}}=17{\overline {5}}=17^{(5)}.}
তবে দ্বিপদী সহগকে এভাবে উল্লেখ করা যেতে পারে,
(
f
k
)
=
(
f
)
k
k
!
=
(
f
−
k
+
1
)
.
.
.
(
f
−
2
)
.
(
f
−
1
)
.
f
1.2.3.4.5...
k
{\displaystyle {\binom {f}{k}}={\frac {(f)_{k}}{k!}}={\frac {(f-k+1)...(f-2).(f-1).f}{1.2.3.4.5...k}}}
যখন সংশ্লিষ্ট যৌগিক সহগ সংজ্ঞায়িত নিম্নগামী ফ্যাক্টরিয়াল ঊর্ধ্বগামী ফ্যাক্টরিয়াল দ্বারা প্রতিস্থাপনের মাধ্যমেঃ
(
(
r
k
)
)
=
r
(
k
)
k
!
=
r
.
(
r
+
1
)
.
(
r
+
2
)
.
.
.
(
r
+
k
−
1
)
1.2.3.4.5...
k
{\displaystyle {\biggl (}{\binom {r}{k}}{\biggr )}={\frac {r^{(k)}}{k!}}={\frac {r.(r+1).(r+2)...(r+k-1)}{1.2.3.4.5...k}}}
ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য সাধারণীকরণ [ সম্পাদনা ]
n
{\displaystyle n}
(
−
n
k
)
=
−
n
.
−
(
n
+
1
)
.
−
(
n
+
2
)
.
.
.
−
(
n
+
k
−
2
)
.
−
(
n
+
k
−
1
)
k
!
{\displaystyle {\binom {-n}{k}}={\frac {-n.-(n+1).-(n+2)...-(n+k-2).-(n+k-1)}{k!}}}
=
(
−
1
)
k
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
.
.
(
n
+
k
−
1
)
k
!
{\displaystyle =(-1)^{k}{\frac {n(n+1)(n+2)...(n+k-1)}{k!}}}
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle =(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}
=
(
−
1
)
k
(
(
n
k
)
)
.
{\displaystyle =(-1)^{k}{\biggl (}{\binom {n}{k}}{\biggr )}.}
বিশেষত, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য গণনাকৃত দ্বিপদী সহগ চিহ্নযুক্ত যৌগিক সেটের সহগ দ্বারা গণনা করা হয়। বিশেষ ক্ষেত্র
n
=
−
1
{\displaystyle n=-1}
(
−
1
)
k
=
(
−
1
k
)
=
(
(
−
k
k
)
)
{\displaystyle (-1)^{k}={\binom {-1}{k}}={\biggl (}{\binom {-k}{k}}{\biggr )}}
দুটি বাস্তব বা জটিল মানের আর্গুমেন্ট [ সম্পাদনা ] গ্যামা ফাংশন বা বেটা ফাংশন দ্বারা দ্বিপদী সহগ দুটি বাস্তব বা জটিল মানের আর্গুমেন্টের জন্য সাধারণভাবে প্রকাশ করা যায়,
(
x
y
)
=
Γ
(
x
+
1
)
Γ
(
y
+
1
)
Γ
(
x
−
y
+
1
)
=
1
(
x
+
1
)
B
(
x
−
y
+
1
,
y
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {x}{y}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (x-y+1,y+1)}}.}
এই সংজ্ঞা হতে
Γ
{\displaystyle \Gamma }
(
x
y
)
=
sin
(
y
π
)
sin
(
x
π
)
(
−
y
−
1
−
x
−
1
)
=
sin
(
(
x
−
y
)
π
)
sin
(
x
π
)
(
y
−
x
−
1
y
)
;
{\displaystyle {\binom {x}{y}}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{\binom {-y-1}{-x-1}}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{\binom {y-x-1}{y}};}
অধিকন্তু,
(
x
y
)
(
y
x
)
=
sin
(
(
x
−
y
)
π
)
(
x
−
y
)
π
.
{\displaystyle {\binom {x}{y}}{\binom {y}{x}}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}.}
q ধারায় সাধারণীকরণ[ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগের q-analog গাউসিয়ান দ্বিপদী সহগ নামে পরিচিত।
অসীম কার্ডিনালের জন্য সাধারণীকরণ [ সম্পাদনা ] দ্বিপদী সহগের সংজ্ঞা অসীম কার্ডিনালের জন্য সাধারণীকরণ করা যায় এভাবেঃ
(
α
β
)
=
|
B
⊆
A
:
|
B
|
=
β
|
{\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}=\left\vert {B\subseteq A:\left\vert B\right\vert }=\beta \right\vert }
যেখানে
A
{\displaystyle A}
কার্ডিনালিটি
α
{\displaystyle \alpha }
প্রোগ্রামিং ভাষায় দ্বিপদী সহগ [ সম্পাদনা ]
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
APL প্রোগ্রামিং ভাষা এবং J প্রোগ্রামিং ভাষা এটি প্রকাশের জন্য বিস্ময় চিহ্ন ব্যবহার করেঃ
k
!
n
{\displaystyle k!n}
ফ্যাক্টরিয়াল সূত্রের সরল রূপায়ন দেখা যায়, যেমন নিচের পাইথনের snippet,
from math import factorial
def binomialCoefficient ( n , k ):
return factorial ( n ) // ( factorial ( k ) * factorial ( n - k ))
অনেক ধীরগতিসম্পন্ন এবং বেশ বড় কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল গণনার ক্ষেত্রে তা প্রায় অকার্যকর। গুণক সূত্রের সরাসরি প্রয়োগ এক্ষেত্রে ভালো ফলাফল দেয়ঃ
def binomialCoefficient ( n , k ):
if k < 0 or k > n :
return 0
if k == 0 or k == n :
return 1
k = min ( k , n - k ) # take advantage of symmetry
c = 1
for i in range ( k ):
c = c * ( n - i ) / ( i + 1 )
return c
(পাইথনে , range(k)
0
{\displaystyle 0}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
পাইথনে ব্যবহার করা গেলেও এর কার্যকরিতা কমঃ
def binomialCoefficient ( n , k ):
if k < 0 or k > n :
return 0
if k > n - k : # take advantage of symmetry
k = n - k
if k == 0 or n <= 1 :
return 1
return binomialCoefficient ( n - 1 , k ) + binomialCoefficient ( n - 1 , k - 1 )
উপরে উল্লিখিত উদাহরণ ফাংশন আকারেও লিখা যায়। নিচে স্কিম প্রোগ্রামিং ভাষায় রচিত প্রোগ্রামটি পুনরাবৃত্ত সংজ্ঞা ব্যবহার করে,
(
n
k
+
1
)
=
n
−
1
k
+
1
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k+1}}={\frac {n-1}{k+1}}{\binom {n}{k}}}
নিচের কোডটিতে এ ধারণা ব্যবহার করা হয়েছে,
( define ( binomial n k )
;; Helper function to compute C(n,k) via forward recursion
( define ( binomial-iter n k i prev )
( if ( >= i k )
prev
( binomial-iter n k ( + i 1 ) ( / ( * ( - n i ) prev ) ( + i 1 )))))
;; Use symmetry property C(n,k)=C(n, n-k)
( if ( < k ( - n k ))
( binomial-iter n k 0 1 )
( binomial-iter n ( - n k ) 0 1 )))
কোনো নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের পূর্ণসংখ্যা বিশিষ্ট প্রোগ্রামিং ভাষায়
(
n
k
+
1
)
=
[
(
n
−
k
)
(
n
k
)
]
÷
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k+1}}=[(n-k){\tbinom {n}{k}}]\div (k+1)}
(
n
−
k
)
{\displaystyle (n-k)}
(
n
k
+
1
)
=
[
(
n
k
)
÷
(
k
+
1
)
]
(
n
−
k
)
+
[
(
n
k
)
mod
(
k
+
1
)
]
(
n
−
k
)
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k+1}}=[{\tbinom {n}{k}}\div (k+1)](n-k)+{\frac {[{\binom {n}{k}}{\bmod {(}}k+1)](n-k)}{(k+1)}}}
C ভাষায় এর প্রয়োগঃ
#include <limits.h>
unsigned long binomial ( unsigned long n , unsigned long k ) {
unsigned long c = 1 , i ;
if ( k > n - k ) // take advantage of symmetry
k = n - k ;
for ( i = 1 ; i <= k ; i ++ , n -- ) {
if ( c / i > UINT_MAX / n ) // return 0 on overflow
return 0 ;
c = c / i * n + c % i * n / i ; // split c * n / i into (c / i * i + c % i) * n / i
}
return c ;
}
↑ Higham, Nicholas J., 1961- (১৯৯৮)। Handbook of writing for the mathematical sciences আইএসবিএন 0898714206 । ওসিএলসি 38992868 । ↑ Knuth, Georgia M. (1997-01)। "Informatics Report Problems: What You See is Not What You Wanted" । AAOHN Journal । 45 (1): 48–50। আইএসএসএন 0891-0162 । ডিওআই :10.1177/216507999704500109 । ↑ Moll, Victor H. (২০১৪-১১-১২)। Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik আইএসবিএন 9780429075889 । ↑ [Boardman, Michael (2004), "The Egg-Drop Numbers", Mathematics Magazine, 77 (5): 368–372, doi:10.2307/3219201, JSTOR 3219201, MR 1573776, it is well known that there is no closed form (that is, direct formula) for the partial sum of binomial coefficients. "The Egg-Drop Numbers"]। Mathematics Magazine । ↑ see induction developed in eq (7) p. 1389 in Aupetit, Michael (2009), "Nearly homogeneous multi-partitioning with a deterministic generator", Neurocomputing, 72 (7–9): 1379–1389, doi:10.1016/j.neucom.2008.12.024, ISSN 0925-2312. । ↑ ক খ Farhi, Bakir (2007-8)। "Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequences of integers" । Journal of Number Theory (ইংরেজি ভাষায়)। 125 (2): 393–411। ডিওআই :10.1016/j.jnt.2006.10.017 । ↑ Spencer, Joel H.,। Asymptopia আইএসবিএন 9781470409043 । ওসিএলসি 865574788 । ↑ Flum, Jörg; Grohe, Martin (২০০২)। STACS 2002 আইএসবিএন 9783540432838 । ↑ Munarini, Emanuele (2011), "Riordan matrices and sums of harmonic numbers", Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 5 (2): 176–200, doi:10.2298/AADM110609014M, MR 2867317. ।
![{\displaystyle {\binom {n}{k+1}}=[(n-k){\tbinom {n}{k}}]\div (k+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7493c60e006cd806fe5986a17b4aa373ba4f237d)
+{\frac {[{\binom {n}{k}}{\bmod {(}}k+1)](n-k)}{(k+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5870223fc7d0bdf5fc34132f25d17364a43e2e1)