অয়লারের সূত্র

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন

অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা এর জন্য,

যেখানে হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, কাল্পনিক সংখ্যার একক , হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়।

অয়লারে সূত্রে বসিয়ে পাই , , যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত।

প্রমাণ[সম্পাদনা]

টেইলরের ধারার সাহায্যে[সম্পাদনা]

ক্যালকুলাসের সাহায্যে[সম্পাদনা]

প্রমাণ ১ঃ[সম্পাদনা]

ধরা যাক,

কে এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,

যেহেতু ফাংশন এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ, , যেখানে একটি ধ্রুবক।

বসিয়ে,

সুতরাং,

অর্থাৎ (প্রমাণিত)

প্রমাণ ২ঃ[সম্পাদনা]

ধরা যাক,

যেখানে সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে বসালে হয়। শেষ সমীকরণে এবং বসিয়ে পাওয়া যায়।

সুতরাং,

(প্রমাণিত)