গাণিতিক আরোহ বিধি

ছবিটিতে একটি জনপ্রিয় খেলা (Domino's) এর মাধ্যমে গাণিতিক আরোহ বিধি বোঝানোর চেষ্টা করা হয়েছে।‌‌ এখানে প্রথম ডমিনোজটি ঠেললেই পারস্পরিক চাপে পরপর ডমিনোজ গুলি পড়তে থাকে। তেমন‌ই গাণিতিক আরোহ বিধি তে প্রথম সংখ্যার জন্য বিবৃতিটি সত্য প্রমাণ করে তারপর একটি অনির্দিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রে বিবৃতিটিকে সত্য কল্পনা করা হয়। এরপর এটির সাহায্যে ঠিক তার পরের সংখ্যাটির জন্য ঐ বিবৃতিটি প্রমাণ করতে হয়, যা এই খেলার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ।

গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য $P(n)$ এর জন্য (যেখানে $n$ কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $P$ কোন ফাংশন ( $n$ সম্পর্কে))

$P(0)$ সত্য

এবং

যদি $P(m)$ সত্য হয় তবে $P(m+1)$ সত্য (যেখানে $m$ কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা)

তবে $P(n)$ সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য (যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো কেবলমাত্র এইভাবে গঠন করা যায়)।

প্রমাণ এবং উদাহরণ

এখানে আমরা একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ প্রমাণ করব। প্রামাণ্য রূপ:-

ধরি S ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি উপসেট, যার নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য গুলি আছে:-

(a). 1∈ S

(b). যখন k∈ S, তখন (k+1)∈ S

তাহলে S সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট।

প্রমাণ:-

ধরি T এমন সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট যারা S এ নেই। ধরি T অশূন্য সেট। সুসামঞ্জস্য নীতি অনুযায়ী T এর তাহলে একটি ন্যূনতম পদ থাকবে। ধরি পদটি a। যেহেতু 1∈S, a>1 আর তাই 0<a-1<a। a,T এর ন্যূনতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই (a-1), Tতে নেই, আর সেইকারণেই S এ আছে। প্রশ্নমতে, S এ (a-1)+1 ও আছে, যা T তে a এর উপস্থিতির বিরোধী। তাই আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি T সেটটি শূন্য সেট এবং S সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট।

উদাহরণ:-

আমরা দেখাতে চাই যে যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ এর জন্য $1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}$