সাংখ্যিক সমাকলন

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
(সংখ্যাভিত্তিক সংকলন থেকে পুনর্নির্দেশিত)
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন
মানের সাংখ্যিক আসন্ন মান নির্ণয়ে সংখ্যাগত সংকলন প্রয়োগ করা হয়; বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

গাণিতিক বিশ্লেষণে বা বিশ্লেষণ গণিতে সাংখ্যিক সমাকলন বা সাংখ্যিক যোগজীকরণ বা সংখ্যাভিত্তিক সংকলন বা সংখ্যাগত সংকলন হল নির্দিষ্ট যোগজের অর্থাৎ ডেফিনিট ইন্টিগ্রালের সাংখ্যিক মান হিসাবের জন্য অ্যালগরিদম জগতের অন্তর্ভুক্ত এক বৃহৎ পরিবার। আরেকটু যোগ করে বলা যায়, ব্যবকলনী সমীকরণের সাংখ্যিক সমাধান[১] অর্থেও সংখ্যাভিত্তিক সংকলন পদটি ব্যবহার করা হয়। এই নিবন্ধের মূল উদ্দেশ্য ডেফিনিট ইন্টিগ্রালের গণনা। সাংখ্যিক বর্গীকরণ পদটি (numerical quadrature বা সংক্ষেপে quadrature) সংখ্যাভিত্তিক সংকলন'র প্রায় কাছাকাছি প্রতিশব্দ; বিশেষ করে একমাত্রিক ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে সংখ্যাভিত্তিক সংকলন শব্দগুচ্ছের পরিবর্তে কোয়ডরেচার শব্দটি ব্যবহার করা হয়। কিছু লেখক একের অধিক মাত্রার সংখ্যাভিত্তিক সংকলনকে কিউবেচার[২] হিসেবে উল্লেখ করেন, অন্যান্যরা উচ্চমাত্রার সমাকলনকে কোয়ডরেচার হিসেবে উল্লেখ করে থাকেন।

সংখ্যাভিত্তিক সংকলনের মৌলিক সমস্যা হল নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে নির্দিষ্ট যোগজ বা ডেফিনিট ইন্টিগ্রাল এর একটি আসন্ন সমাধান নির্ণয় করা। যদি একটি ছোট সংখ্যার ইন্টিগ্রেশনে প্রাপ্ত f(x) ফালশনটি সরল ফাংশন হয় এবং ইন্টিগ্রেশনের ডোমেইন সীমাবদ্ধ হয় তবে ইন্টিগ্রালটির অনেক সমাধান পাওয়া যাবে।

ইতিহাস[সম্পাদনা]

সর্বপ্রথম ১৯১৫ সালে ডেভিড গিবের[৩] লেখা "অ্যা কোর্স ইন ইন্টারপোলেশন অ্যান্ড নিউমেরিক ইন্টিগ্রেশন" বইয়ে সংখ্যাভিত্তিক সংকলন ধারণাটি নজরে আসে।

কোয়ডরেচার একটি ঐতিহাসিক গাণিতিক টার্ম যার অর্থ ক্ষেত্র গণনা। কোয়ডরেচার-সমস্যাগুলো গাণিতিক বিশ্লেষণের উৎস হিসেবে চলে আসছে। পিথাগোরাসের মতবাদের আলোকে, প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদরা উপলব্ধি করেন যে, কোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা, একই পরিমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট একটি বর্গের জ্যামিতিক গঠন প্রক্রিয়ায় মাধ্যমে করা যায়। এই কারণে এ প্রক্রিয়াটির নাম ছিল কোয়ডরেচার (যার বাংলা অর্থ বর্গীকরণ বা ক্ষেত্রান্তরে তুল্যমান বর্গক্ষেত্র স্থিরীকরণ)। উদাহরণ স্বরূপ: বৃত্তের কোয়ডরেচার, হিপোক্রেটিসের লিউন, পরাবৃত্তের কোয়ডরেচার। এই গঠন অবশ্যই কম্পাস ও সোজাপ্রান্ত'র দ্বারা সম্পাদন করতে হয়; প্রকিয়াটি রুলার ও কম্পাস গঠন বা ধ্রুপদী গঠন নামেও পরিচিত।

প্রাচীন ব্যাবিলনবাসীরা অয়নবৃত্ত বরাবর বৃহস্পতি গ্রহের গতির সমাকলনে ট্রাপিজয়ডাল পদ্ধতি ব্যবহার করত। ব্যাবিলনের জ্যোতির্বিদরা সময়-বেগ লেখচিত্রের মাধ্যমে বৃহস্পতির অবস্থান নির্ণয় করতেন।

জ্যামিতিক গড় নির্ণয়ের প্রাচীন পদ্ধতি।

ab বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের একটি কোয়ডরেচার গঠনের জন্য বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন করতে হবে। কে ab জ্যামিতিক গড় বলে। ab এর সমষ্টির সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্ত আঁকা হলে বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দুর সাথে বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু থেকে AC বাহুর লম্বিক দূরত্ব তথা উচ্চতা BH বাহুদ্বয়ের জ্যামিতিক গড়ের সমান হবে; আমরা এ সত্যকে উপর্যুক্ত উদ্দেশ্যে প্রয়োগ করতে পারি।অনুরূপ জ্যামিতিক গঠনের মাধ্যমে সামান্তরিক ও ত্রিভুজ ক্ষেত্রের কোয়ডরেচারের সমাধান করা যায়।

পরাবৃত্তের একটি কর্তিত অংশের ক্ষেত্রফল।

বক্ররেখা-বেষ্টিত চিত্রের ক্ষেত্রে কোয়ডরেচারের সমস্যাগুলো অনেক বেশি দুরূহ। কম্পাস ও সোজাপ্রান্ত (compass and straightedge) প্রয়োগে বৃত্তের কোয়ডরেচারের (quadrature of the circle) অঙ্কন ও সমাধান যে অসম্ভব তা ১৯শ শতাব্দীতেই প্রমাণিত হয়েছে। তবুও কিছু চিত্রের কোয়ডরেচার প্রতিপাদন সম্ভব; যেমন: হিপোক্রেটিসের লিউন। আর্কিমিডিস এর সম্পাদিত গোলকের পৃষ্ঠতলের কোয়ডরেচার ও পরাবৃত্তের ক্ষুদ্র অংশের কোয়ডরেচর, প্রাচীন গাণিতিক বিশ্লেষণগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় অর্জন।

  • একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল গোলকটির একটি বৃহৎ বৃত্তের (great circle) ক্ষেত্রফলের চারগুণের সমান।
  • সরল রেখার দ্বারা কর্তিত পরাবৃত্তের একটি ক্ষুদ্র অংশের ক্ষেত্রফল ঐ অংশের অন্তর্লিখিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের ৪/৩ গুণ।

ফলাফলের প্রমাণের জন্য আর্কিমিডিস ইউডক্সাসের গোলকের Method of exhaustion প্রয়োগ করেছেন।

মধ্যযুগীয় ইউরোপে কোয়ডরেচর বলতে যে কোন পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল নির্ণয়কে বোঝাত। তখন ইনডিভিজুয়াল পদ্ধতিটি বারংবার ব্যবহৃত হত, এটা অপেক্ষাকৃত কম কঠিন ছিল, সেই সাথে এটা ছিল অনেক সহজ ও শক্তিশালী। এর সাহায্যে গ্যালিলিও গ্যালিলিগিলস ডি রোবার্ভাল বৃত্তাকার খিলানের ক্ষেত্রফল বের করেন, গ্রেগোয়ার ডি সেন্ট ভিনসেন্ট একটি অধিবৃত্তের অধীনে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের অনুসন্ধান করেন (ওপাস জিওমেট্রিকাম, ১৬৪৭) এবং আলফনস অ্যান্টনিও ডি সারাসা, ডি সেন্ট ভিনসেন্টের ছাত্র ও ভাষ্যকাররা এই আলোচ্য বিষয়ের সাথে লগারিদমের সম্পর্ক লিপিবদ্ধ করেন।

জন ওয়ালিস এই পদ্ধতির বীজগাণিতিক রূপ দেন: তিনি তার এরিথমেটিকা ইনফিনিটোরাম (১৬৫৬) সিরিজে এটা লেখেন ও এদের মান বের করেন; এটাকেই আমরা এখন ডেফিনিট ইন্টিগ্রাল বলি। আইজাক ব্যারোজেমস গ্রেগরি একধাপ এগিয়ে বীজগাণিতিক বক্ররেখা ও কুণ্ডলীর (spiral বা সর্পিলাকার) কোয়ডরেচারের উন্মেষ ঘটান। ক্রিস্টিয়ান হাইগেনস সফলতার সাথে কিছু সলিড অব রিভোলিউশনের একটি কোয়ডরেচার প্রতিপাদন করেন। সলিড অব রিভোলিউশন হল সমতল বক্ররেখার সমাক্ষীয় ঘূর্ণনে প্রাপ্ত কঠিন আকার।

সেন্ট ভিনসেন্ট ও ডি সারাসার প্রতিপাদিত অধিবৃত্তের কোয়ডরেচার প্রাকৃতিক লগারিদমের এক নতুন ফাংশনের জন্ম দেয়, যা ক্রিটিকালি খুব গুরুত্বপূর্ণ।

ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস উদ্ভাবনের ফলে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য একটি সার্বজনীন পদ্ধতির আবির্ভাব ঘটে। এর ফলশ্রুতিতে কোয়ডরেচার টার্মটি গতানুগতিক হয়ে যায় এবং একে সাম্প্রতিকতম বা আধুনিকতম "computation of a univariate definite integral" শব্দগুচ্ছের প্রতিস্থাপনীয় ধরা হয়।

সংখ্যাভিত্তিক সংকলনের প্রয়োজনীয়তা[সম্পাদনা]

নিম্নোক্ত কয়েকটি কারণে সংখ্যাভিত্তিক সংকলন করা হয় :

  1. কেবলমাত্র নির্দিষ্ট বিন্দুতে (যেমন: স্যাম্পলিং'র মাধ্যমে প্রাপ্ত বিন্দু) ইন্টিগ্রান্ড f(x) এর মান জানা যায়। এ কারণে এম্বেডেড সিস্টেমে ও অন্যান্য কম্পিউটার অ্যাপ্লিকেশনে সংখ্যাভিত্তিক সংকলন প্রয়োজন হতে পারে।
  2. কোন ইন্টিগ্রান্ডের জন্য একটি সূত্র জানা গেলেও এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়া দুঃসাধ্য কিংবা অসম্ভব হতে পারে। এ ধরনের ইন্টিগ্রান্ডকে এলেমেন্টারি ফাংশন বলে। যেময়: f(x) = exp(−x2) অনুরূপ একটি ইন্টিগ্রান্ড যার অ্যান্টিডেরিভেটিভ (ধ্রুবক নির্ভর এরর ফাংশন) এলেমেন্টারি ফর্মে লেখা সম্ভব নয়।
  3. একটি প্রতীকী অ্যান্টিডেরিভেটিভ পাওয়া গেলেও অ্যান্টিডেরিভেটিভ গণনার চেয়ে সাংখ্যিক আসন্নমান গণনা করা সহজ। যদি অ্যান্টিডেরিভেটিভকে অসীম ধারায় অথবা উৎপাদক আকারে দেওয়া হয়, অথবা অ্যান্টিডেরিভেটিভের মান হিসেবে একটি বিশেষ ফাংশন দ্বারা নির্ধারণ করা হয় (যা পাওয়া সম্ভব নয়) তবে তা নজির হয়ে থাকবে।

একমাত্রিক ইন্টিগ্রাল বা যোগজ নির্ণয়ের পদ্ধতি[সম্পাদনা]

সাধারণভাবে কোন ইন্টিগ্রালের আসন্ন মান নির্ণয়ে ইন্টিগ্রান্ড এর মানসমূহের একত্রিতকরণকে সংখ্যাভিত্তিক সংকলন পদ্ধতি হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে। কোন সেটের যে বিন্দুতে ইন্টিগ্রান্ড এর মান পাওয়া যায় বা যে বিন্দুতে ইন্টিগ্রান্ডের মান নির্ধারিত হয় তাকে যোগজীকরণ বিন্দু বা সমাকলন বিন্দু বা সংকলন বিন্দু বলে। সংকলন বিন্দুগুলোর সসীম সেটে ইন্টিগ্রান্ডের জন্য প্রাপ্ত মানগুলোর ওয়েটেড যোগফল (weighted sum) হতে ইন্টিগ্রাল বা যোগজের আসন্ন মান নির্ণয় করা হয়। প্রয়োগকৃত পদ্ধতি ও আসন্ন মানের বিশুদ্ধতার উপর সংকলন বিন্দুসমূহ ও ওয়েটস (weights) নির্ভর করে।

ইন্টিগ্রান্ড মাননির্ধারণের ফাংশন হিসেবে সন্নিকর্ষ ভুলের আচরণ অনুসন্ধান যে কোন সংখ্যাভিত্তিক সংকলন পদ্ধতির বিশ্লেষণের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। যে পদ্ধতিতে মান নির্ধারনের ক্ষেত্রে ক্ষুদ্র মানের জন্য ক্ষুদ্র ভুল উৎপন্ন হয় তাকে সাধারণত শ্রেয়তর হিহেবেই গণ্য করা হয়। ইন্টিগ্রান্ডের মান নির্ধারণের সংখ্যা কমিয়ে গাণিতিক ক্রিয়ার সংখ্যা কমানো যায়, ফলে মোট রাউন্ড-অফ ভুল কমে যায়। এছাড়াও, প্রতিটি মান নির্ধারণ সময় নেয় এবং ইন্টিগ্রান্ড ইচ্ছামত জটিল হতে পারে।

যদি ইন্টিগ্রান্ড যুক্তিষঙ্গতভাবে শিষ্টাচারপূর্ণ হয় (অন্য কথায়, অংশক্রমে অবিচ্ছিন্ন ও সীমাবদ্ধ রূপান্তর), তবে খুবই ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র প্রবৃদ্ধিতে ইন্টিগ্রান্ডের মান নির্ধারণের মাধ্যমে, ব্রুট ফোর্স ধরনের সংখ্যাভিত্তিক সংকলন করা সম্ভব হবে।

ইন্টারপোলেটিং ফাংশনভিত্তিক কোয়ডরেচার সূত্রাবলী[সম্পাদনা]

ইন্টারপোলেটিং[৪] ফাংশন গঠনের মাধ্যমে সহজে-সমাকলনযোগ্য অসংখ্য কোয়ডরেচার সূত্র প্রতিপাদন করা যায়। সাধারণভাবে এই ইন্টারপোলেটিং ফাংশনগুলো বহুপদী। খুব উচ্চ মাত্রার (degree) বহুপদীগুলো বৃহৎ পাল্লায় স্পন্দিত হওয়ার প্রবণতা দেখায়, তাই বাস্তবিক ক্ষেত্রে নিম্ন মাত্রার বহুপদী বিশেষকরে রৈখিক ও দুই মাত্রার (quadratic) বহুপদী ব্যবহৃত হয়।

আয়তক্ষেত্র সূত্রের চিত্রায়ণ।

ইন্টারপোলেটিং ফাংশনটি যদি বিন্দুগামী ধ্রুব ফাংশন (শুন্য মাত্রার বহুপদী) হয়, তবে কোয়ডরেচার নিয়মসমূহের মধ্যে এটা হবে সবচেয়ে সরলতম পদ্ধতি। একেই মধ্যবিন্দু সূত্র বা আয়তক্ষেত্র সূত্র বলে। গাণিতিকভাবে:

ট্রাপিজয়ডাল সূত্রের চিত্রায়ন।

ইন্টারপোলেটিং ফাংশনটি বিন্দুগামী সরল রেখা (অ্যাফাইন ফাংশন, অন্য কথায় এক মাত্রার বহুপদী বা রৈখিক বহুপদী) হলে একে ট্রাপিজয়ডাল সূত্র বলে। গাণিতিকভাবে:

সিম্পসনের সূত্রের চিত্রায়ন।

এই সূত্রগুলোর প্রতিটির ক্ষেত্রে, আমরা ব্যবধিকে সংখ্যক উপব্যবধিতে ভেঙে, প্রত্যেকটি উপব্যবধির জন্য আসন্ন মান গণনা করে প্রাপ্ত সব মান যোগ করে আরও নিঁখুত আসন্ন মান পেতে পারি। এটাকে যৌগিক সূত্র বা সম্প্রসারিত সূত্র বা আবর্তী সূত্র বলে। উদাহরণ স্বরূপ, যৌগিক ট্রাপিজয়ডাল সূত্রকে নিম্নরূপে লেখা যায়:

যেখানে উপব্যবধির আাকার হল:

যখন,

এখানে আমরা সম-দৈর্ঘ্যের উপব্যবধি ব্যবহার করেছি কিন্তু দৈর্ঘ্যের উপব্যবধিও ব্যবহার করা যাবে।

ব্যবধিতে সমদূরত্বের বিন্দুসমূহে মান-নির্ধারিত বহুপদীগুলোর সাথে ইন্টারপোলেশন হতে নিউটন-কোটস সূত্রগুলো পাওয়া যায়, যেমন: আয়তক্ষেত্র সূত্র ও ট্রাপিজয়ডাল সূত্র হল নিউটন-কোটস সূত্র। সিম্পসনের সূত্র আদতে দুই ক্রমের (মাত্রার) বহুপদী ভিত্তিক সমীকরণ এবং এটাও একটা নিউটন-কোটস সূত্র।

সমদূরত্বের বিন্দুযুক্ত কোয়ডরেচার সূত্রগুলোতে nesting'র উপযোগী খুবই সুবিধাজনক বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান। প্রতিটি উপবিভাজিত ব্যবধির সংশ্লিষ্ট সূত্র সকল সাম্প্রতিক বিন্দু ধারণ করে, ফলে ঐ ইন্টিগ্রান্ড মানসমূহকে পুনর্ব্যবহার করা যায়।

যদি ব্যবধিকে ইন্টারপোলেশন বিন্দুসমূহের মধ্যে পরিবর্তন করা হয় তবে অন্য এক ধরনের কোয়ডরেচার সূত্র পাওয়া যাবে, যেমন: গাউসিয়ান কোয়ডরেচার সূত্রসমূহ। সাধারণত গাউসিয়ান কোয়ডরেচার সূত্র নিউটন-কোটস সূত্র অপেক্ষা অধিক নিঁখুত। কোন ফাংশনের সকল প্রকার ডেরিভেটিভ (অন্তরজ) তার ডোমেইনের সর্বত্র পাওয়া গেলে একে স্মুথ ফাংশন বলে। যদি ইন্টিগ্রান্ড একটি স্মুথ ফাংশন হয় অর্থাৎ একে পর্যাপ্ত পরিমাণে ব্যবকলন করা যায় তবে গাউসিয়ান কোয়ডরেচারের ক্ষেত্রে নিউটন-কোটস সূত্রের সমসংখ্যক ফাংশন মান-নির্ধারণ করতে হবে। ক্লিন'শ কার্টিস কোয়ডরেচার পদ্ধতিকে (অর্থাৎ ফেজের কোয়ডরেচার), নেস্ট (nest)[৫] ক্রিয়া প্রদানকারী পরিবর্তনশীল ব্যবধির কোয়ডরেচার পদ্ধতিগুলোর অন্তর্ভুক্ত করা যায়।

গাউসিয়ান কোয়ডরেচার সূত্রগুলো নেস্ট ক্রিয়া দেয় না তবে এর সাথে সম্পর্কযুক্ত গস-ক্রনরড কোয়ডরেচার সূত্রগুলো নেস্ট ক্রিয়া দেয়।

মধ্যবিন্দু সূত্রের সাধারণীকৃত রূপ[সম্পাদনা]

নিচে মধ্যবিন্দু সূত্রের একটি সাধারণীকৃত ফর্মুলা দেওয়া হল:

অথবা,

যেখানে হচ্ছে তম ডেরিভেটিভ বা অন্তরজ। উদাহরণ স্বরূপ: মধ্যবিন্দু সূত্রের সাধারণীকৃত ফর্মুলাটিতে প্রতিস্থাপন করলে আমরা ইনভার্স ট্যানজেন্ট এর নিম্নরূপ একটি সমীকরণ পাব।

যেখানে, হচ্ছে কাল্পনিক একক এবং

যেহেতু প্রতিটি অযুগ্ম এ ইন্টিগ্রান্ডের লব হয়, তাই মধ্যবিন্দু সূত্রের সাধারণীকৃত ফর্মুলাটিকে নিম্নরূপে পুনর্গঠন করা যায়:

ম্যাথমেটিকা কোডের নিম্নলিখিত নমুনা, ইনভার্স ট্যানজেন্ট এবং বিন্দুতে ইহার সংক্ষেপিত (truncated) আসন্নমানের যে পার্থক্যসূচক প্লট তৈরি করে তা হল:

f[theta_, x_] := theta/(1 + theta^2*x^2);

aTan[theta_, M_, nMax_] := 
    2*Sum[(Function[x, Evaluate[D[f[theta, x], {x, 2*n}]]][(m - 1/2)/
        M])/((2*n + 1)!*(2*M)^(2*n + 1)), {m, 1, M}, {n, 0, nMax}];

Plot[{ArcTan[theta] - aTan[theta, 5, 10]}, {theta, -Pi, Pi}, 
 PlotRange -> All]

ব্যবধির বাইরে সংজ্ঞায়িত ফাংশনটির ইন্টিগ্রাল হবে:

সুতরাং, ধরে মধ্যবিন্দু সংকলনের সাধারণীকৃত ফর্মুলাটি প্রয়োগ করা সম্ভব।

অভিযোজিত অ্যালগরিদম[সম্পাদনা]

ডোমেইনের সকল বিন্দুতে f(x) ফাংশনের অনেক ডেরিভেটিভ না থাকলে অথবা ডেরিভেটিভগুলো বৃহৎ হয়ে গেলে গাউসিয়ান কোয়ডরেচার প্রায়ই অপর্যাপ্ত হয়। এই ক্ষেত্রে, নিম্নরূপ একটি অ্যালগরিদম ভাল ফল প্রদান করে:

def calculate_definite_integral_of_f(f, initial_step_size):
    '''
    This algorithm calculates the definite integral of a function
    from 0 to 1, adaptively, by choosing smaller steps near
    problematic points.
    '''
    x = 0.0
    h = initial_step_size
    accumulator = 0.0
    while x < 1.0:
        if x + h > 1.0:
            h = 1.0 - x # At end of unit interval, adjust last step to end at 1.
        if error_too_big_in_quadrature_of_f_over_range(f, [x,x+h]):
            h = make_h_smaller(h)
        else:
            accumulator += quadrature_of_f_over_range(f, [x,x+h])
            x += h
            if error_too_small_in_quadrature_of_over_range(f, [x,x+h]):
                h = make_h_larger(h) # Avoid wasting time on tiny steps.
    return accumulator

কিছু অ্যালগরিদমের বিস্তারিত বিবরণের জন্য সতর্ক চিন্তার দরকার পড়ে। অনেক ক্ষেত্রেই, একটি ব্যবধির বাইরে f(x) ফাংশনের জন্য কোয়ডরেচারের ভুল অনুমান করা কঠিন নয় বরং সুস্পষ্ট। একটি জনপ্রিয় সমাধান হল: কোয়ডরেচারের দুটি পৃথক সূত্র প্রয়োগ করে তাদের পার্থক্যকে কোয়ডরেচারের ভুলের আনুমানিক পরিমাণ হিসেবে ব্যবহার করা। অন্য সমস্যাটি হল কোনটি “অতি বৃহৎ” বা “অতি ক্ষুদ্র” তা নির্ণয় করা। “অতি বৃহৎ” এর জন্য একটি “স্থানীয় নির্ণায়ক” হবে এমন, কোয়ডরেচার ভুলটি t.h অপেক্ষা বৃহৎ হওয়া উচিৎ নয়। এখানে t একটি বাস্তব সংখ্যা এবং একে আমরা সার্বজনীন ভুল হিসেবে ধরতে আগ্রহী। পুনরায়, যদি h ইতিমধ্যেই ক্ষুদ্র হয়ে থাকে ও কোয়ডরেচার ভুলটি স্পষ্টতই বৃহৎ হয়, তবে h কোয়ডরেচার ভুলকে ক্ষুদ্র করতে কার্যকর নাও হতে পারে। একটি “সার্বজনীন নির্ণায়ক” হবে এমন, সকল ব্যবধির ভুলগুলোর যোগফল t অপেক্ষা ক্ষুদ্র হওয়া উচিৎ নয়। যেহেতু আসন্নমান গণনা করার পর ভুলের গণনা করা হয়, তাই এই ধরনের ভুল বিশ্লেষণকে সাধারণত পোস্টেরিওরি বলে।

অ্যালেক্সান্ড্রা ইলমার ফরসিথ এবং অন্যান্য কয়েকজন অভিযোজিত কোয়ডরেচারের জন্য হিউরিস্টিকস নিয়ে আলোচনা করেন।

এক্সট্রাপোলেশন পদ্ধতি[সম্পাদনা]

নিউটন-কোটস জাতীয় কোয়ডরেচার সূত্রের নির্ভুলতা সাধারণত মানবিন্দুসমূহের (evaluation point) একটি ফাংশন। সচরাচর, মানবিন্দুর সংখ্যা বাড়ানো হলে, অথবা সমতুল্যভাবে প্রক্রিয়ার প্রতিটি ধাপের প্রস্থ হ্রাস করা হলে ফলাফল আরও নিঁখুত হবে। এই প্রশ্নের উদয় হওয়া স্বাভাবিক যে, যদি আমরা ধাপমূহের প্রস্থ শুন্যের কাছাকাছি বিবেচনা করি তাহলে কী ফলাফল পাব। ধারাবাহিক ত্বরণ পদ্ধতি (series acceleration method, যেমন: রিচার্ডসন এক্সট্রাপোলেশন) ব্যবহার করে দুই বা ততোধিক অশুন্য ধাপের মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফলের এক্সট্রাপোলেটিং করে আমরা এই প্রশ্নের উত্তর পেতে পারি। এক্সট্রাপোলেশন ফাংশন বহুপদী অথবা মূলদ ফাংশন হতে পারে। স্টোয়ার ও বুলিরশ্ এক্সট্রাপোলেশন পদ্ধতির আরও বিস্তৃত বর্ণনা দিয়েছেন। QUADPACK লাইব্রেরিতে এ পদ্ধতির বাস্তবায়ন ঘটেছে। QUADPACK হচ্ছে একমাত্রিক ফাংশনসমূহের সংখ্যাভিত্তিক সংকলনের জন্য FORTRAN 77 লাইব্রেরি।

সংরক্ষণশীল ভুল প্রাক্কলন[সম্পাদনা]

ধরা যাক, সীমার বাইরে ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ-প্রথম-অন্তরজ বিদ্যমান। অন্য কথায়:

এখন, ফাংশনটির গড়মান উপপাদ্য বা মধ্যমান উপপাদ্য বা Mean Value Theorem হবে:

...... ....... ...... ....... (i)

যেখানে, এবং

এর ভিত্তিতে

(i) নং সমীকরণ এর উভয় পক্ষকে এর সাপেক্ষে হতে এ সমাকলন করে ও অ্যাবসলিউট মান বা মডুলাস মান বা পরম মান নিয়ে পাই ———

উপরন্তু ইন্টিগ্রান্ড এ অ্যাবসলিউট মান বসিয়ে এবং একটি ঊর্ধ্বসীমায় পদটিকে এ প্রতিস্থাপন করে আমরা ডানপক্ষের ইন্টিগ্রালের আসন্নীকরণ করে পাই ———

....... ...... ...... ...... (ii)

এখানে আসন্নীকরণের জন্য Supremum ব্যবহার করা হয়েছে। এরপর থেকে যদি কোয়ডরেচার সূত্র দ্বারা ইন্টিগ্রালকে আসন্নীকরণ করা হয় তবে ভুলের পরিমাণ (ii) নং সমীকরণের ডানপক্ষ অপেক্ষা বৃহৎ হবে না। এই নির্দিষ্ট আসন্নমানের ভুল পদটির (error term) জন্য, ঊর্ধ্বসীমায় ইন্টিগ্রালটিকে রেইম্যান যোগফলের জন্য একটি ভুল বিশ্লেষণে (error analysis) রূপান্তর করা যায়। (উল্লেখ্য যে, উদাহরণের জন্য আমরা যে ভুল নির্ণয় করেছি, এটা তারই অবিকল রূপ)। অধিক পরিমাণে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এবং কোয়ডরেচারের সামান্য পরিবর্তনের (tweaking) মাধ্যমে, আমরা f ফাংশনের জন্য টেইলর ধারা (অবশেষসহ অংশক্রমে যোগ) প্রয়োগ করে একই ধরনের ভুল বিশ্লেষণ (error analysis) করতে পারি। যদি f এর ডেরিভেটিভগুলো সহজলভ্য হয়, তবে এই ভুল-বিশ্লেষণ থেকে ভুলের একটি যথাযথ ঊর্ধ্বসীমা পাওয়া যাবে।

কম্পিউটার প্রুফস ও প্রতিপাদিত হিসাব উৎপাদনে ব্যবধি পাটীগণিতের সাথে এই সংকলন পদ্ধতিটির সমন্বয় করা যেতে পারে।

অসীম ব্যবধির বাইরের যোগজ বা ইন্টিগ্রাল[সম্পাদনা]

কোন সেটের প্রান্তদ্বয়ের কোনটিই বাস্তব সংখ্যা না হলে একে আনবাউন্ডেড (unbounded) ব্যবধি বলে। আনবাউন্ডেড ব্যবধির বাইরে আসন্নীকরণ সংকলনের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। এ ধরনের আসন্নীকরণের কৌশলগুলো বিশেষত কোয়ডরেচার সূত্রগুলো থেকে উদ্ভুত। যেমন: সমস্ত বাস্তব সংখ্যার ইন্টিগ্রাল বা যোগজের জন্য গস-হারমাইট কোয়ডরেচার, ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ইন্টিগ্রালের জন্য গস-লগিয়ার কোয়ডরেচার। মন্টি কার্লো পদ্ধতি পদ্ধতিও ব্যবহার করা যেতে পারে। এছাড়াও সসীম ব্যবধির চলক পরিবর্তনেও আসন্নীকরণ করা যায়। যেমন: সম্ভবপর রূপান্তরের মাধ্যমে হোল লাইনের জন্য:

এবং সম্ভবপর রূপান্তরের মাধ্যমে অর্ধ-অসীম ব্যবধির জন্য:

বহুমাত্রিক ইন্টিগ্রাল[সম্পাদনা]

উপরে শুধু একমাত্রিক ইন্টিগ্রাল বা যোগজের হিসাবের জন্য কোয়ডরেচার সূত্র বা বর্গীকরণ সূত্র আলোচনা করা হয়েছে। বহুমাত্রিক যোগজের হিসাবের ক্ষেত্রে একটি প্রক্রিয়া হল: বহুমাত্রিক ইন্টিগ্রালটিকে ফুবিনির উপপাদ্য[৬] প্রয়োগ করে পুনরাবৃত্ত একমাত্রিক ইন্টিগ্রালে প্রকাশ করা। এই প্রক্রিয়ায় ইন্টিগ্রালের মাত্রার সংখ্যা বৃদ্ধিতে ফাংশনের মান সূচকীয় হারে বৃদ্ধি পায়। জানা মতে এ পর্যন্ত তিনটি পদ্ধতি তথাকথিত মাত্রার অভিশাপ[৭] (curse of dimensionality) বাঁধা অতিক্রম করেছে।

এ এইচ স্ট্রাউড তার অ্যাপ্রক্সিমেট ক্যালকুলেশন অব মাল্টিপল ইন্টিগ্রালসএ ওয়েটিং ফাংশনসমূহের (weight function বা weighing function) বহুমাত্রিক কিউবেচার সংকলনের সূত্র তৈরির অনেক অতিরিক্ত কৌশল বর্ণনা করেছেন। [৮]

মন্টি কার্লো[সম্পাদনা]

বহুমাত্রিক ইন্টিগ্রালে সহজে মন্টি কার্লো পদ্ধতি ও কোয়েসি-মন্টি কার্লো পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। একমাত্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে, সম সংখ্যক ফাংশন-মানের জন্য পুনরাবৃত্ত-সমাকলনের তুলনায় এ পদ্ধতি দুটো বৃহত্তর নির্ভুলতা দিতে পারে।

মেট্রোপলিস-হ্যাস্টিংস অ্যালগরিদম ও গিবস স্যাম্পলিং তথাকথিত মার্কভ চেইন মন্টি-কার্লো অ্যালগরিদমের অন্তর্ভুক্ত। কার্যকর বহুসংখ্যক মন্টি কার্লো পদ্ধতির এক বৃহৎ সংগ্রহই হল এই মার্কভ চেইন মন্টি-কার্লো অ্যালগরিদম।

স্পার্স গ্রিড বা পাতলা ঝাঁঝরি[সম্পাদনা]

মূলত রাশিয়ান গণিতবিদ সার্জি এ. স্মলাইক (Sergey A. Smolyak) উচ্চমাত্রার কোয়ডরেচারের জন্য এই সাংখ্যিক কৌশলগুলোর উন্নয়ন ঘটান। পদ্ধতিটি সর্বদাই একমাত্রিক কোয়ডরেচার সূত্র ভিত্তিক, কিন্তু এটা ইউনিভ্যারিয়েটিভ ফলাফলগুলোর অধিকতর জটিল এক সমন্বয় ঘটায়। গণিতে এক চলকবিশিষ্ট রাশি, সমীকরণ, ফাংশন ও বহুপদীকে ইউনিভ্যারিয়েটিভ (univariate) বলে। যাই হোক, কোয়ডরেচার বিন্দুর ওয়েটস (weights) ধনাত্মক হওয়ার শর্তে টেন্সর-উৎপাদ-সূত্র সকল কিউবেচার বিন্দুর ধনাত্মক হওয়ার নিশ্চয়তা দিলেও স্মলাইকের সূত্র ওয়েটসের ধনাত্মক হওয়ার কোন নিশ্চয়তা দেয় না।

বেইজিয়ান কোয়ডরেচার[সম্পাদনা]

বেইজিয়ান কোয়ডরেচার (Bayesian Quadrature) হল ইন্টিগ্রাল গণনার সাংখ্যিক সমস্যার সমাধানের পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি ; এ পদ্ধতিটি সম্ভাব্যতাভিত্তিক নিউমেরিকস এ ব্যর্থ। গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার উত্তরকালীন পরিবর্তন হিসেবে প্রাপ্ত ইন্টিগ্রালের অনিশ্চয়তার সমাধানের পূর্ণ কৌশল এ পদ্ধতি থেকে পাওয়া যেতে পারে। এছাড়াও এটা জানা যে, এ পদ্ধতি থেকে খুব দ্রুত মানের অভিসৃতি হার (convergence rate) পাওয়া যায় যা কোয়ডরেচার বিন্দুর সংখ্যা nএর সূচকীয় হার অপেক্ষা বড় হতে পারে।[৯]

ব্যবকলনী সমীকরণের সাথে সম্পর্ক[সম্পাদনা]

আমরা ইন্টিগ্রাল : এর মান নির্ণয় সমস্যাটিকে ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য প্রয়োগ করে ইনিশিয়াল ভ্যালু প্রোবলেম তথা সাধারণ ব্যবকলন সমীকরণ এ রূপান্তর করতে পারি। এর সাপেক্ষে উপরের ইন্টিগ্রালটির তথা ফাংশনটির উভয় পক্ষকে ব্যবকলন বা অন্তরীকরণ করে পাওয়া যাবে——

সাধারণ ব্যবকলন সমীকরণের জন্য রাঞ্জি-কুট্টা পদ্ধতি[১০] প্রয়োগ করে সমস্যাটিকে নতুন ভাবে লেখা যায় ও ইন্টিগ্রালের মান বের করা যায়। উপরের ব্যবকলন সমীকরণে চতুর্থ ক্রমের রাঞ্জি-কুট্টা প্রয়োগ করলে সিম্পসনের সূত্র পাওয়া যাবে।

F ' (x) = ƒ(x) ব্যবকলন সমীকরণের একটি বিশেষ রূপ রয়েছে; এর ডান পক্ষে শুধু নির্ভরশীল চলক (x) আছে, তবে অনির্ভরশীল চলক (F) নহে। এটা তত্ত্বটিকে ও অ্যালগরিদমকে যথেষ্ট পরিমাণে সরলীকরণ করে। ইন্টিগ্রালের মান নির্ণয়ের সমস্যাকে এভাবে এর নিজস্ব উপায়ে সর্বোত্তম আলোচনা করা যেডে পারে।

আরও দেখুন[সম্পাদনা]

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

বহিঃসংযোগ[সম্পাদনা]

  1. ব্যবকলনী সমীকরণের সাংখ্যিক সমাধান
  2. কোয়ডরেচার ও কিউবেচার
  3. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Q)"jeff560.tripod.com। সংগ্রহের তারিখ ৩১ মার্চ ২০১৮ 
  4. ইন্টারপোলেশন
  5. নেস্ট
  6. Fubini's theorem
  7. মাত্রার অভিশাপ
  8. Stroud, A. H. (১৯৭১)। Approximate Calculation of Multiple Integrals। Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc.। 
  9. Briol, François-Xavier; Oates, Chris J.; Girolami, Mark; Osborne, Michael A. (2015-06-08). "Frank-Wolfe Bayesian Quadrature: Probabilistic Integration with Theoretical Guarantees". arXiv:1506.02681 [stat.ML].
  10. রাঞ্জি-কুট্টা উইকিপিডিয়া