গোলক

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
Sphere.jpg

বৃত্তকে এর ব্যাসের চারপাশে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকেই গোলক বা সুষম গোলক বলে। \,r ব্যাসার্ধের একটি গোলকের আয়তন হবে (4π\,r^3)/3 এবং এর পৃষ্ঠদেশের ক্ষেত্রফল হবে 4π\,r^2। কার্তেসীয় স্থাণাঙ্ক ব্যাবস্থায় কেন্দ্র মূল-বিন্দুতে অবস্থিত এমন \,r ব্যাসার্ধের কোন গোলকের সমীকরণ হবে: \,x^2 + y^2 + z^2 = r^2

গোলকের আয়তন[সম্পাদনা]

৩ মাত্রার একটি গোলক ভিতরে আয়তন (অর্থাৎ একটি বল-এর আয়তন)-এর সূত্র দেওয়া হলো

\!V = \frac{4}{3}\pi r^3

যেখানে R হল গোলকের ব্যাসার্ধ এবং π হল ধ্রুবক পাই. This formula was first derived by Archimedes, who showed that the volume of a sphere is 2/3 that of a circumscribed cylinder. (This assertion follows from Cavalieri's principle.) In modern mathematics, this formula can be derived using integral calculus, e.g. disk integration to sum the volumes of an infinite number of circular disks of infinitesimal thickness stacked centered side by side along the x axis from x = 0 where the disk has radius r (i.e. y = r) to x = r where the disk has radius 0 (i.e. y = 0).

At any given x, the incremental volume (δV) is given by the product of the cross-sectional area of the disk at x and its thickness (δx):

\!\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.

The total volume is the summation of all incremental volumes:

\!V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.

In the limit as δx approaches zero[১] this becomes:

\!V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 dx.

At any given x, a right-angled triangle connects x, y and r to the origin, hence it follows from Pythagorean theorem that:

\!r^2 = x^2 + y^2.

Thus, substituting y with a function of x gives:

\!V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2)dx.

This can now be evaluated:

\!V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=-r}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi r^3.

সুতরাং গোলকের আয়তন হল:

\!V = \frac{4}{3}\pi r^3. এই সূত্রটি অনির্বাণ বর্মন-এর জন্য।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. Pages 141, 149.E.J. Borowski, J.M. Borwein। Collins Dictionary of Mathematicsআইএসবিএন 0-00-434347-6