বীজগণিতের ইতিহাস

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

বীজগণিত মূলত পাটিগণিতের মতো কিন্তু চলরাশির গণনা করা হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। তবে ১৯ শতক অবধি বীজগণিত সমীকরণ তত্ত্বের মধ্যেই সীমাবদ্ধ ছিল। উদাহরণস্বরূপ, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য সমীকরণের তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত এবং যা আজকাল বীজগণিতের অন্তর্গত হিসাবে বিবেচিত হয় না (বাস্তবে, সমস্ত গাণিতিক প্রমাণ বাস্তব সংখ্যার পূর্ণতা ব্যবহার করে, যা বীজগণিতিক ধারণা নয়)।

এই নিবন্ধটি সমীকরণ তত্ত্বের ইতিহাস(এখানে যা "বীজগণিত" নামে পরিচিত ) এবং গণিতের পৃথক ক্ষেত্র হিসাবে বীজগণিতের উত্থান বর্ণনা করে।

ব্যুৎপত্তি[সম্পাদনা]

ইংরেজি "Algebra" শব্দটি একটি আরবি শব্দ "আল-জাবর" (আরবি: tr‎, প্রতিবর্ণী. al-jabr‎) থেকে এসেছে যার প্রথম উল্লেখ পাওয়া যায় ৮৩০ খ্রিষ্টাব্দে পার্সিয়ান গণিতজ্ঞ মুহাম্মদ ইবনে মূসা আল খুয়ারিজমি এর লেখা এক নিবন্ধে। নিবন্ধটির নাম "কিতাবুল মুতারার ফা হাসিবুল জাবর ওয়াল মুকাবালাহ" বা "সমাপ্তি ও ভারসাম্য দ্বারা গণনাকার্যের সংক্ষিপ্ত বিবরণ"। এই নিবন্ধটি একঘাত সমীকরণদ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতির উল্লেখ পাওয়া যায়। ঐতিহাসিকদের মতানুসারে "আল-জাবর ও মুক্বাবালাহ শব্দের অর্থ কী তা নির্দিষ্ট নয়, তবে পূর্বের অনুবাদে বর্ণিত বর্ণনার সাথে সাধারণ ব্যাখ্যার মিল রয়েছে। 'আল-জাবর' শব্দের অর্থ সম্ভবত 'পুনরুদ্ধার' বা 'সমাপ্তি'এবং এটি সমীকরণের অন্য দিকে বিয়োগ পদগুলি স্থানান্তরকে বোঝায়; 'মুক্বাবলাহ' শব্দটি 'হ্রাস' বা 'ভারসাম্য' বোঝায় - অর্থাৎ সমীকরণের দুইপাশে একইরকমের পদ গুলি বাতিল করা"[১]। আল-খওয়ারিজমির সময়ের অনেক পরে স্পেনে আরবি প্রভাব পাওয়া যায়, ডন কিহোতে হাড়-পুনরুদ্ধারকারী হিসাবে ব্যবহৃত হয়। আল খওয়ারিজমি "হ্রাস" এবং "ভারসাম্য" অর্থে এই শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন - বিয়োগ পদগুলি সমীকরণের অন্যদিকে স্থানান্তর করা অর্থাৎ সমীকরণের উভয়দিকে একই রকমের পদ গুলি বাতিল করা।[২]

বীজগণিতের আদি ইতিহাস[সম্পাদনা]

বীজগণিতের উৎপত্তি প্রাচীন ব্যাবিলনীয়দের[৩] কাছে শনাক্ত করা যায়, যারা একটি উন্নত পাটিগণিত ব্যবস্থা তৈরি করেছিল, যার সাহায্যে তারা একটি অ্যালগরিদমিক প্রক্রিয়ায় গণনা করতে সক্ষম হয়েছিল। ব্যাবিলনীয়রা রৈখিক সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অনির্দিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ব্যবহার করে বর্তমানে সমাধান করা সমস্যাগুলির সমাধান করার জন্য সূত্র তৈরি করেছিল। বিপরীতে, এই যুগের বেশিরভাগ মিশরীয়রা, পাশাপাশি গ্রীকচীনা গণিতও খ্রিস্টপূর্ব ১ম সহস্রাব্দে, সাধারণত জ্যামিতিক পদ্ধতি দ্বারা সমীকরণগুলি সমাধান করেছিল। যেমন রিহিন্দ ম্যাথমেটিক্যাল পাপিরাস, ইউক্লিডের উপাদানসমূহ এবং দ্য ম্যাথমেটিকাল আর্টস এর নবম অধ্যায়ে যার উল্লেখ পাওয়া যায় । গ্রীকদের জ্যামিতিক কাজ সূত্রকে সাধারণীকরণের জন্য নির্দিষ্ট সূত্রকে আরও সাধারণ পদ্ধতিতে উল্লেখকরণ ও সমীকরণের সমাধানের বাইরে সূত্রকে সাধারণীকরণের কাঠামো সরবরাহ করেছিল, যদিও মধ্যযুগীয় ইসলামে গণিতের বিকাশ না হওয়া পর্যন্ত এটি উপলব্ধি করা সম্ভব হয়নি।[৪]


প্লেটোর সময়কালে গ্রীক গণিতের ক্ষেত্রে এক বিরাট পরিবর্তন ঘটে গেছে । গ্রীকরা একটি জ্যামিতিক বীজগণিত তৈরি করেছিল যেখানে পদগুলি জ্যামিতিক বস্তুর পক্ষ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হতো, সাধারণত রেখা যেগুলির সাথে অক্ষর যুক্ত ছিল। [৫] দাওফান্তাস (খ্রিস্টীয় তৃতীয় শতাব্দী) ছিলেন আলেকজান্দ্রীয় গ্রীক গণিতবিদ এবং অ্যারিথমেটিকা নামে একাধিক বইয়ের লেখক। এই গ্রন্থগুলি বীজগাণিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার বিষয়ে আলোচনা করে, [৬] এবং সংখ্যা তত্ত্বকে ডায়োফান্তাইন সমীকরণের আধুনিক ধারণার দিকে নিয়ে গেছে।

উপরে আলোচিত পূর্ববর্তী ঐতিহ্যসমূহ ফার্সি গণিতবিদ মুহম্মদ ইবনে মুসা আল-খোয়ারিজমি (সি. ৭৮০-৮৫০) -এর উপর প্রত্যক্ষ প্রভাব ফেলেছিল। পরবর্তীতে, তিনি কমপ্লেশিয়াস বুক অন ক্যালকুলেশন বাই কমপ্লেশন অ্যান্ড ব্যালান্সিং লিখেছিলেন, যা বীজগণিতকে একটি গাণিতিক নিয়ম হিসাবে প্রতিষ্ঠিত করে;যা জ্যামিতি এবং পাটিগণিত থেকে স্বতন্ত্র [৭]

হেলেনিস্টিক গণিতবিদ আলেকজান্দ্রিয়ার নায়ক এবং ডিওফ্যান্টাসের গণিতবিদগণ [৮] পাশাপাশি ব্রহ্মগুপ্তের মতো ভারতীয় গণিতবিদরা মিশর এবং ব্যাবিলনের ঐতিহ্য অব্যাহত রেখেছিলেন, যদিও ডিওফ্যান্টাসের অ্যারিথমেটিকা এবং ব্রহ্মগুপ্তের ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত উচ্চ স্তরে রয়েছে। [৯]  উদাহরণস্বরূপ,৬২৮ খ্রিস্টাব্দে দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য শূন্য ও ঋণাত্মক সমাধানসহ শব্দের মাধ্যমে প্রথম সম্পূর্ণ গাণিতিক সমাধানটি [১০] ব্রহ্মগুপ্ত তাঁর "ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত" গ্রন্থে বর্ণনা করেছিলেন। পরবর্তীতে,ফার্সি ও আরবি গণিতবিদগণ বীজগণিত পদ্ধতিগুলি কঠোর পরিশ্রমের মাধ্যমে উন্নত করেছিলেন। যদিও ডিওফান্টাস এবং ব্যাবিলনীয়রা সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য বেশিরভাগ বিশেষ অ্যাডহক পদ্ধতি ব্যবহার করেছিল, আল-খয়ারিজমির অবদানটি ছিল মৌলিক। তিনি বীজগাণিতিক প্রতীক, ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য ছাড়াই রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করেছিলেন, সুতরাং তাকে বিভিন্ন ধরনের সমীকরণকে আলাদা করতে হয়েছিল।

যেখানে বীজগণিতকে সমীকরণ তত্ত্বের সাথে সম্পৃক্ত করা হয়েছে,সেখানে গ্রীক গণিতবিদ ডিওফ্যান্টাস ঐতিহ্যগতভাবে "বীজগণিতের জনক" হিসাবে পরিচিতি পেয়েছেন এবং যেখানে সমীকরণগুলি পরিচালনা ও সমাধানের নিয়মগুলির সাথে সম্পৃক্ত , সেখানে ফার্সি গণিতবিদ আল-খোয়ারিজমিকে "বীজগণিতের জনক" হিসাবে বিবেচনা করা হয় । [১১] [১২] [১৩][১৪] [১৫] [১৬]কে (সাধারণ অর্থে) "বীজগণিতের জনক" হিসাবে পরিচিত হওয়ার অধিক অধিকারপ্রাপ্ত তা নিয়ে এখন বিতর্ক রয়েছে। আল-জাবরের মধ্যে পাওয়া বীজগণিতটি অ্যারিথমেটিকাতে পাওয়া বীজগণিতের তুলনায় কিছুটা বেশি প্রাথমিক এবং অ্যারিথমেটিকা বাকবিতণ্ডিত, যেখানে আল-জাবর সম্পূর্ণরূপে আলংকারিক । [১৭] যারা আল-খুয়ারিজমিকে সমর্থন করেন তারা এই বিষয়টির দিকে ইঙ্গিত করেন যে তিনি " পক্ষান্তর " এবং "ভারসাম্য"র পদ্ধতিগুলি চালু করেছিলেন (সমীকরণের এক দিক থেকে অন্য দিকে পদের স্থানান্তর, অর্থাৎ, সমীকরণ এর বিপরীত দিকে একই পদের বাতিলকরণ) যা 'আল-জাবর' শব্দটি দ্বারা মূলত বোঝানো হয়েছে, [১৮] এবং তিনি দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার একটি বিস্তৃত ব্যাখ্যা দিয়েছেন,[১৯]এছাড়া তাঁর বীজগণিত আর মাথাব্যথার কারণ ছিল না " সমস্যার একটি সিরিজ পুনঃমীমাংসা করার সাথে , কিন্তু একটি বর্ণনামূলক বর্ণনা যা আদি পদের সমন্বয়ে গঠিত হয়,যেখানে সকল বিন্যাস সমীকরণ গঠনের জন্য সকল নিয়ম কানুন অবশ্যই দিবে,যা অতঃপর স্পষ্টভাবে অধ্যয়নের সত্য বস্তু গঠন করে"। তিনি একটি সমীকরণের স্বার্থে সমীকরণটি অধ্যয়নও করেছিলেন এবং "সাধারণ পদ্ধতিতে, কারণ এটি কোনও সমস্যার সমাধান করার ক্ষেত্রে কেবল উত্থিত হয় না, তবে এটি একটি অসীম শ্রেণীর সমস্যার সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য বিশেষভাবে কাজে আসে"।

অপর ফার্সি গণিতবিদ ওমর খৈয়ামকে বীজগাণিতিক জ্যামিতির ভিত্তি শনাক্ত করার জন্য সম্মানিত করা হয় এবং তিনি ঘন সমীকরণের সাধারণ জ্যামিতিক সমাধান আবিষ্কার করেছিলেন।তাঁর গ্রন্থ ট্রিটাইজ অন ডেমোনস্টেশনস অফ প্রবলেমস অফ অ্যালজেবরা (১০৭০)এ বীজগণিতের নীতিমালা রচনা করেন, যা ফার্সি গণিতের অংশ যা শেষ পর্যন্ত ইউরোপে স্থানান্তরিত হয়েছিল। [২০] তবুও আরেক ফার্সি গণিতবিদ শারাফ আল দিন আল তুসি ঘন সমীকরণের বিভিন্ন ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক এবং সংখ্যাসূচক সমাধান খুঁজে পেয়েছিলেন । [২১]তিনি একটি ফাংশনের ধারণাও বিকাশ করেছিলেন।ভারতীয় গণিতবিদ মহাবীর এবং দ্বিতীয় ভাষ্কর ফারসি গণিতবিদ আল-কারাজি, [২২] এবং চীনা গণিতবিদ চু শি-চিয়ে, ঘনের বিভিন্ন ঘটনা সমাধান , দ্বিঘাত সমীকরণ, কুইন্টিক এবং উচ্চতর-পর্যায়ের বহুপদী সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাগত একটা পদ্ধতি ব্যবহার করেন।১৩তম শতকে, একটি ঘন সমীকরণ গণিতবিদ ফিবোনাচ্চি দ্বারা সমাধান ইউরোপীয় বীজগণিতে রেনেসাঁ শুরুর একটি প্রতিনিধি। আবু আল-আসান ইবন আলি-আল-কালাসাদি (১৪১২-১৪৮৬) "বীজগণিতে প্রতীকবাদের প্রবর্তনের দিকে প্রথম পদক্ষেপ গ্রহণ করেছিলেন"।তিনি ∑ n 2, ∑ n 3 গণনা করেছিলেন এবং বর্গমূল নির্ধারণের জন্য ক্রমাগত আনুমানিক পদ্ধতিটি ব্যবহার করেছিলেন।[২৩]

বীজগণিতের আধুনিক ইতিহাস[সম্পাদনা]

ইতালিয়ান গণিতবিদ জিরোলামো কার্দানো ১৫৪৫ সালে রচিত তাঁর গ্রন্থ আরস ম্যাগনা-তে ঘন এবং দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান প্রকাশ করেছিলেন।

১৬শ শতাব্দীর শেষের দিকে নতুন বীজগণিত নিয়ে ফ্রান্সোইস ভিয়েটের কাজ আধুনিক বীজগণিতের দিকে গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ ছিল। ১৬৩৭ সালে, র‍্যনে দেকার্ত স্থানাঙ্ক জ্যামিতি আবিষ্কার করেন এবং আধুনিক বীজগাণিতিক চিহ্ন প্রবর্তন করে লা জিওম্যাট্রি প্রকাশ করেছিলেন।বীজগণিতের আরও বিকাশের আরেকটি মূল ঘটনা হল ঘন এবং দ্বিঘাত সমীকরণগুলির সাধারণ বীজগাণিতিক সমাধান,যা ১৬তম শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে বিকশিত হয়েছিল।নির্ণায়কের ধারণাটি ১৭তম শতাব্দীতে জাপানি গণিতবিদ সেকি কোওয়া বিকাশ করেছিলেন এবং ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে এক সাথে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের উদ্দেশ্যে দশ বছর পরে গটফ্রাইড লাইবনিজ স্বাধীনভাবে তার অনুসরণ করেছিলেন। জোসেফ-লুই ল্যাঞ্জরেজ বিন্যাস অধ্যয়ন করেছিলেন,তিনি তার ১৭৭০-এর গবেষণাপত্র " রেফ্লেকশনস সুর লা রিসুলিউশন অ্যালজেব্রিক ডেস অ্যাকুয়েশনস "বাংলায় "বীজগাণিতিক সমীকরণ সমাধানের জন্য নিবেদিত" যেখানে তিনি ল্যাঞ্জরেজ রেসলভেন্টস প্রবর্তন করেছিলেন।পাওলো রুফিনি প্রথম ব্যক্তি ছিলেন যিনি বিন্যাসের গ্রুপ তত্ত্বটি বিকাশ করেছিলেন এবং তাঁর পূর্বসূরীদের মতো বীজগণিত সমীকরণ সমাধানের প্রসঙ্গেও তিনি অবদান রেখেছিলেন।

সমীকরণ সমাধানে আগ্রহ , প্রাথমিকভাবে গ্যালোয়া তত্ত্ব এবং গঠনমূলক বিষয়ের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করার কারণে ১৯তম শতাব্দীতে বিমূর্ত বীজগণিত উন্নতি সাধন করেছিল। [২৪] জর্জ পিইকক্ গণিত এবং বীজগণিত মধ্যে অচলিত চিন্তাধারা প্রতিষ্ঠাতা করেছিলেন। অগাস্টাস ডি মরগান তার প্রস্তাবিত যুক্তির সিস্টেমে রিলেশনাল বীজগণিত আবিষ্কার করেছিলেন। জোসিয়াহ উইলার্ড গিবস ত্রি-মাত্রিক স্থানের ভেক্টরগুলির একটি বীজগণিত বিকাশ করেছিলেন এবং আর্থার কেলি ম্যাট্রিক্সের একটি বীজগণিত বিকাশ করেছিলেন (এটি একটি অনিয়মিত বীজগণিত)।

বীজগণিতের বিভিন্ন পর্যায়[সম্পাদনা]

আরও পড়ুন বীজগণিতের সময়রেখা

বীজগাণিতিক প্রতীক[সম্পাদনা]

বীজগণিত সর্বদাই চলকের ব্যবহার করে নি যা গণিতে এখন সর্বব্যাপী; পরিবর্তে, এটির তিনটি স্বতন্ত্র পর্যায় রয়েছে। প্রতীকী বীজগণিতের বিকাশের পর্যায়গুলি নিম্নরূপ[২৫]:

  • আলঙ্কারিক বীজগণিত, এক্ষেত্রে সমীকরণগুলি সম্পূর্ন বাক্যে লেখা হত। উদাহরণস্বরূপ, x + 1 = 2 সমীকরণের আলঙ্কারিক রূপ "জিনিস যোগ এক সমান দুই" অথবা সম্ভবত "জিনিস যোগ ১ সমান ২ "। প্রাচীন ব্যাবিলনীয়রা অলঙ্কৃত বীজগণিত এর প্রচলন করে এবং তা ষোড়শ শতাব্দী পর্যন্ত আধিপত্য বজায় রেখেছে।
  • সিঙ্কোপাইট বীজগণিত, এক্ষেত্রে কিছু প্রতীক এর ব্যবহার হলেও এতে প্রতীকী বীজগণিতের সমস্ত বৈশিষ্ট্য থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, এমন একটি বিধিনিষেধ থাকতে পারে যে সমীকরণের একপাশে কেবল একবার বিয়োগ ব্যবহার করা যেতে পারে, যা প্রতীকী বীজগণিতে ণেই। ডিওফ্যান্টাসের অ্যারিথমেটিকাতে (খ্রিস্টীয় তৃতীয় শতাব্দী) প্রথম সিঙ্কপ্যাটেড বীজগণিত সম্প্ররকে ধারণা পাওয়া যায় এবং পরে ব্রহ্মগুপ্তের ব্রহ্মা স্পূত সিদ্ধন্তে (সপ্তম শতক) লক্ষ করা যায়।
  • প্রতীকী বীজগণিত, এক্ষেত্রে সম্পূর্ণ প্রতীকবাদ ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে প্রাথমিক পদক্ষেপগুলি বেশ কয়েকজন ইসলামিক গণিতবিদ যেমন ইবনে আল-বান্না (১৩ তম-১৪ শ শতাব্দী) এবং আল-কালাসাদির (১৫ শতকের) কাজগুলিতে দেখা যায়। যদিও সম্পুর্নভাবে প্রতীকী বীজগণিতের স্থাপনা করেন ফ্রান্সোইস ভাইয়েট (১৬ শ শতাব্দী)। পরবর্তীকালে, রেনা ডেকার্টে (১৭ শ শতাব্দী) আধুনিক স্বরলিপি প্রবর্তন করেছিলেন (উদাহরণস্বরূপ, এক্স-এর ব্যবহার) এবং জ্যামিতির(কার্টেসিয়ান জ্যামিতি) বিভিন্ন সমস্যাগুলি বীজগাণিতিক সমীকরণ রূপে প্রকাশ করে সমাধান করা যেতে পারে সে ব্যাপারে তিনি প্রথম পথ দেখান।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. Boyer, Carl Benjamin (১৯৯১)। A History of Mathematics। John Wiley & Sons, Inc., ISBN। পৃষ্ঠা 299আইএসবিএন 978-0-471-54397-8 
  2. Jeffrey A. Oaks, Haitham M. Alkhateeb, Simplifying equations in Arabic algebra, Historia Mathematica, 34 (2007), 45-61, আইএসএসএন 0315-0860, [১]
  3. Struik, Dirk J. (১৯৮৭)। A Concise History of Mathematicsবিনামূল্যে নিবন্ধন প্রয়োজন। New York: Dover Publications। আইএসবিএন 978-0-486-60255-4 
  4. See Boyer 1991.
  5. See Boyer 1991, Europe in the Middle Ages, p. 258: "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII–IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."
  6. Cajori, Florian (২০১০)। A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching। পৃষ্ঠা 34। আইএসবিএন 978-1-4460-2221-4। ২০২১-০২-২১ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০২০-১০-১৫ 
  7. Roshdi Rashed (নভেম্বর ২০০৯)। Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra। Saqi Books। আইএসবিএন 978-0-86356-430-7 
  8. "Diophantus, Father of Algebra"। ২০১৩-০৭-২৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-১০-০৫ 
  9. "History of Algebra"। ২০১৪-১১-১১ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৪-১০-০৫ 
  10. Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
  11. Corona, Brezina (ফেব্রুয়ারি ৮, ২০০৬)। Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra। Rosen Pub Group। আইএসবিএন 978-1404205130 
  12. See Boyer 1991, page 181: "If we think primarily of the matter of notations, Diophantus has good claim to be known as the 'father of algebra', but in terms of motivation and concept, the claim is less appropriate. The Arithmetica is not a systematic exposition of the algebraic operations, or of algebraic functions or of the solution of algebraic equations".
  13. See Boyer 1991, page 230: "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations...In this sense, then, al-Khwarizmi is entitled to be known as 'the father of algebra'".
  14. See Boyer 1991, page 228: "Diophantus sometimes is called the father of algebra, but this title more appropriately belongs to al-Khowarizmi".
  15. See Gandz 1936, page 263–277: "In a sense, al-Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because al-Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".
  16. Cifoletti, G. C. (১৯৯৫)। "La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle": 1385–1416। 
  17. See Boyer 1991, page 228.
  18. See Boyer 1991, The Arabic Hegemony, p. 229: "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation".
  19. See Boyer 1991, The Arabic Hegemony, p. 230: "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions".
  20. Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers। পৃষ্ঠা 92। 
  21. ও'কনর, জন জে.; রবার্টসন, এডমুন্ড এফ., "বীজগণিতের ইতিহাস", ম্যাকটিউটর গণিতের ইতিহাস আর্কাইভ, সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয় 
  22. See Boyer 1991, The Arabic Hegemony, p. 239: "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered),"
  23. "Al-Qalasadi biography"www-history.mcs.st-andrews.ac.uk। ২০১৯-১০-২৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৭-১০-১৭ 
  24. "The Origins of Abstract Algebra ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২০১০-০৬-১১ তারিখে". University of Hawaii Mathematics Department.
  25. (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.180) "It has been said that three stages of in the historical development of algebra can be recognized: (1) the rhetorical or early stage, in which everything is written out fully in words; (2) a syncopated or intermediate state, in which some abbreviations are adopted; and (3) a symbolic or final stage. Such an arbitrary division of the development of algebra into three stages is, of course, a facile oversimplification; but it can serve effectively as a first approximation to what has happened""