ম্যাট্রিক্স

গণিতে ম্যাট্রিক্স বা বিন্যাসিকা বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ একাধিক সংখ্যার এক ধরনের আয়তাকার বিন্যাসকে বুঝায়।^[১]^[২] যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক প্রয়োজনীয় :

কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায়: আয়তাকারে সারি ও স্তম্ভ–এ বা শুধু সারিতে বা শুধু স্তম্ভ–এ সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠী একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করে।

একটি ম্যাট্রিক্সকে তার সারি (রো) এবং স্তম্ভ (কলাম) সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: $A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$

উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a_1,1, a_1,2 প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে A=[a_m,n] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রকারভেদ

স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম বা স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : ${\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}$

সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : ${\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}$

বর্গ (square) ম্যাট্রিক্স

যে ম্যাট্রিক্সে স্তম্ভ ও সারির সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে । অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [a_ij]এর উপাদানগুলি এমন হয় যে i=j (স্তম্ভ সংখ্যা = সারি সংখ্যা) তবে তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&5&2\end{bmatrix}}$ ।

কর্ণ (diagonal) ম্যাট্রিক্স

যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলোর মুখ্য কর্ণ (অর্থাৎ যে কর্ণে a₁₁ উপাদান রয়েছে) ব্যতীত সকল উপাদানের মান শূন্য (০) হয় তবে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্স [a_ij] এর উপদানগুলি এমন হয় যে a_ij=0, যখন $i\neq \ j$ তখন সেই ম্যাট্রিক্সকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে। ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}$

অভেদক (identity) বা একক ম্যাট্রিক্স (unit)

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শূন্য (০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক (১) হয় তবে তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বা একক ম্যাট্রিক্স বলে। সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সই কর্ণ ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [a_ij]-এর উপাদান এমন হয় যে a_ij=0 যখন $i\neq \ j$ এবং a_ij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে।

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ একক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা হয় I দিয়ে। একক ম্যাট্রিক্স (I) সাথে একক ম্যাট্রিক্স (I) কে যতবার গুন করা হোক না কেন আমারা একক ম্যাট্রিক্স পাবো‌ । I × I=I । একক ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (= স্তম্ভ সংখ্যা) I -এর নিচে সাবস্ক্রিপ্টের দ্বারা নির্দেশ করা হয়, যেমন I_n , n সংখ্যাক সারি এবং স্তম্ভ বিশিষ্ট একটি ম্যাট্রিক্সকে নির্দেশ করে ।^[৩]

শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrices)

যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শূন্য হয় তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স যখন a_ij=0।

যেমন: ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ এটিকে 0_3×2 চিহ্ন দিয়েও অনেক সময় প্রকাশ করা হয়, যেখান 3 সারিসংখ্যা এবং 2 স্তম্ভসংখ্যা ।

প্রতিসম (Symmetric) ম্যাট্রিক্স

যে অশূন্য বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) স্তম্ভ অথবা স্তম্ভ(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স যখন a_ij=a_ji। যেমন: ${\begin{bmatrix}1&3&2\\3&0&6\\2&6&2\end{bmatrix}}$

বিপ্রতিসম (skew symmetric) ম্যাট্রিক্স

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) স্তম্ভ অথবা স্তম্ভ(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সংবলিত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যখন a_ij= −a_ji।

উদাহরণ: ${\begin{bmatrix}8&-3&2\\3&0&-6\\-2&6&0\end{bmatrix}}$

হার্মেশিয়ান (Hermitian) ম্যাট্রিক্স

কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো উপাদানের জটিল মান হলে এর জটিল মানকে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ করলে আবার সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে তাকে হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে।

${\begin{bmatrix}1&3+2i&2\\3-2i&0&-6\\2&-6&2\end{bmatrix}}$

বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স

কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো উপাদানের জটিল মান হলে এর জটিল মানকে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ (সারি(গুলোকে) স্তম্ভ অথবা স্তম্ভ(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত) করলে আবার ঋণাত্মক মানের সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে, তাকে বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে।

${\begin{bmatrix}1&3+2i&2\\-3+2i&0&-6+i\\-2&6+i&2\end{bmatrix}}$

ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত

যোগ

দুইটি m×n ম্যাট্রিক্স A এবং B-এর যোগফল A+B একটি m×n ম্যাট্রিক্স হবে যার উপাদানগুলি হবে A এবং B সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির যোগফল (অর্থাৎ, (A + B)_{i, j} = A_{i, j} + B_{i, j})। উদাহরণঃ

{\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}

গুণন

ম্যাট্রিক্স গুনন বলতে মুলত দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণনকে বুঝায়। এক্ষেত্রে প্রথম ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি সারি দিয়ে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট স্তম্ভকে গুণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ বলা যায় যদি-

A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}\,,

যদি দুটি ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে এদের গুনফল ম্যাট্রিক্স AB হবে A ম্যট্রিক্সের সারি এবং B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভের ডট গুনফলের সমান অর্থাৎ

AB=(a,b,c)\cdot (p,q,r)=ap+bq+cr

গুণ করার নিয়ম

ধরা যাক A এবং B দুইটি ম্যাট্রিক্স। এদের মান যথাক্রমে-

$A={\begin{bmatrix}6&4\\2&5\end{bmatrix}},\;B={\begin{bmatrix}4&8\\2&7\end{bmatrix}}$

১ম ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে ২য় ম্যাট্রিক্সের ১ম স্তম্ভের অনুরুপ ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে এবং গুণফলগুলোকে সমষ্টিবদ্ধ আকারে লিখতে হবে। গুণফলগুলোর সমষ্টি হলো AB ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ১ম ভুক্তি।

(AB)_{1,1}=32

এভাবে ১ম ম্যাট্রিক্সের ২য় ৩য় সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের ১ম স্তম্ভের ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে। গুনফলগুলো হবে AB ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির যথাক্রমে ২য় ও ৩য় ভুক্তি।

গুনন যোগ্যতা

যদি A_m×n একটি m সংখ্যাক সারি এবং n সংখ্যাক স্তম্ভবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং B_p×q একটি p সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক স্তম্ভবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে A এবং B ম্যাট্রিক্স দুটি গুননের যোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি n=p হয়। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্স গুননের যোগ্যতা তখনই অর্জন করে যখন প্রথম ম্যাট্রিক্স এর স্তম্ভ সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হয়।

গুননে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের আকার

যদি A_(m×n) একটি m সংখ্যাক সারি এবং n সংখ্যাক স্তম্ভ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং B_(p×q) একটি p সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক স্তম্ভ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে A এবং B ম্যাট্রিক্সটি গুনন যোগ্য হবে যদি যদি n=p হয় এবং গুনের পর ম্যাট্রিক্স AB পাওয়া গেলে এতে m সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক স্তম্ভ থাকবে। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্সের গুনফল ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হবে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান এবং গুনফল ম্যট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা হবে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান। AB ম্যাট্রিক্সের আকার হবে (m×q) অর্থাৎ এতে m সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক স্তম্ভ থাকবে।^[৪]

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}\,,

ম্যাট্রিক্স দুটির গুনফল

AB={\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \\p\alpha +q\lambda +r\rho &p\beta +q\mu +r\sigma &p\gamma +q\nu +r\tau \\u\alpha +v\lambda +w\rho &u\beta +v\mu +w\sigma &u\gamma +v\nu +w\tau \end{bmatrix}}\,,

এবং

BA={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha a+\beta p+\gamma u&\alpha b+\beta q+\gamma v&\alpha c+\beta r+\gamma w\\\lambda a+\mu p+\nu u&\lambda b+\mu q+\nu v&\lambda c+\mu r+\nu w\\\rho a+\sigma p+\tau u&\rho b+\sigma q+\tau v&\rho c+\sigma r+\tau w\end{bmatrix}}\,.

ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুনন

দুটি ম্যাট্রিক্সের গুন করার পাশাপাশি ম্যাট্রিক্সের সাথে অন্য কোন স্কেলার রাশিকেও গুন করা যায়। কোন ম্যাট্রিক্সকে যদি একটি স্কেলার রাশি দিয়ে গুন করা হয় তবে তা ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের সাথে গুন হয়ে যাবে। অর্থাৎ একটি ৩ টি সারি এবং ৩টি স্তম্ভ বিশিষ্ট A ম্যাট্রিক্স কে যদি $x$ দ্বারা গুন করা হয় তবে তা A ম্যাট্রিক্সের ৯ টি উপাদান বা ভুক্তির(উল্লেখ্য আধুনিক গণিতে উপাদানগুলোকে ভুক্তি নামে নামকরণ করা হয়েছে) সবার সাথে আলাদা আলাদা ভাবে গুন হয়ে যাবে।^[৪]

2A=2{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot a&2\cdot b\\2\cdot c&2\cdot d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot 2&b\cdot 2\\c\cdot 2&d\cdot 2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}2=A2.

পাদটীকা

↑ Anton (1987, p. 23)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 56)
↑ "Khan Academy"। www.khanacademy.org (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ৩০ ডিসেম্বর ২০২৪।
1 2 http://www.mathwarehouse.com/algebra/matrix/multiply-matrix.php

তথ্যসূত্র

Anton, Howard (১৯৮৭), Elementary Linear Algebra (5th সংস্করণ), New York: Wiley, আইএসবিএন ০-৪৭১-৮৪৮১৯-০
Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (১৯৯২), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৫৪০-৫৪৮১৩-৩
Artin, Michael (১৯৯১), Algebra, Prentice Hall, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮৯৮৭১-৫১০-১
Association for Computing Machinery (১৯৭৯), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, আইএসবিএন ৯৭৮-০-০৭-০৫৯৩৭৬-৩
Baker, Andrew J. (২০০৩), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৮৫২৩৩-৪৭০-৩
Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (১৯৯৭), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮৯৮৭১-৩৬১-৯
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (১৯৭৩), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., আইএসবিএন ০-৩৯৫-১৪০১৭-X
Bretscher, Otto (২০০৫), Linear Algebra with Applications (3rd সংস্করণ), Prentice Hall
Bronson, Richard (১৯৮৯), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, আইএসবিএন ৯৭৮-০-০৭-০০৭৯৭৮-৬
Brown, William C. (১৯৯১), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮২৪৭-৮৪১৯-৫
Coburn, Nathaniel (১৯৫৫), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, ওসিএলসি 1029828
Conrey, J. Brian (২০০৭), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৬৯৯৬৪-৮
Fraleigh, John B. (১৯৭৬), A First Course In Abstract Algebra (2nd সংস্করণ), Reading: Addison-Wesley, আইএসবিএন ০-২০১-০১৯৮৪-১
Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (১৯৮৩), Game Theory, MIT Press
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (২০০১), Elliptic partial differential equations of second order (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৫৪০-৪১১৬০-৪
Godsil, Chris; Royle, Gordon (২০০৪), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, খণ্ড ২০৭, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৫২২০-৮
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (১৯৯৬), Matrix Computations (3rd সংস্করণ), Johns Hopkins, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮০১৮-৫৪১৪-৯
Greub, Werner Hildbert (১৯৭৫), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯০১১০-৭
Halmos, Paul Richard (১৯৮২), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, খণ্ড ১৯ (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯০৬৮৫-০, এমআর 0675952
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (১৯৮৫), Matrix Analysis, Cambridge University Press, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৩৮৬৩২-৬
Householder, Alston S. (১৯৭৫), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications, এমআর 0378371
Krzanowski, Wojtek J. (১৯৮৮), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, খণ্ড ৩, The Clarendon Press Oxford University Press, আইএসবিএন ৯৭৮-০-১৯-৮৫২২১১-৯, এমআর 0969370
Itõ, Kiyosi, সম্পাদক (১৯৮৭), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd সংস্করণ), MIT Press, আইএসবিএন ৯৭৮-০-২৬২-০৯০২৬-১, এমআর 0901762
Lang, Serge (১৯৬৯), Analysis II, Addison-Wesley
Lang, Serge (১৯৮৭a), Calculus of several variables (3rd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৬৪০৫-৮
Lang, Serge (১৯৮৭b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৬৪১২-৬
টেমপ্লেট:Lang Algebra
Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (১৯৯৯), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st সংস্করণ), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮৯৮৭১-৪২৫-৮
Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (১৯৯৯), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, আইএসবিএন ৯৭৮-০-২৬২-১৩৩৬০-৯
Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (১৯৭৮), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, আইএসবিএন ৯৭৮-০-০৭-০৯৬৬১২-৩
Mirsky, Leonid (১৯৯০), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৪৮৬-৬৬৪৩৪-৭
Nering, Evar D. (১৯৭০), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd সংস্করণ), New York: Wiley, এলসিসিএন 76-91646
Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (২০০৬), Numerical Optimization (2nd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, পৃ. ৪৪৯, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৩০৩০৩-১
Oualline, Steve (২০০৩), Practical C++ programming, O'Reilly, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫৯৬-০০৪১৯-৪
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (১৯৯২), "LU Decomposition and Its Applications", Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (পিডিএফ) (2nd সংস্করণ), Cambridge University Press, পৃ. ৩৪–৪২, ৬ সেপ্টেম্বর ২০০৯ তারিখে মূল থেকে (পিডিএফ) আর্কাইভকৃত, সংগ্রহের তারিখ ১০ অক্টোবর ২০১৪
Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (২০০২), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪০২০-০৬৬৪-৭
Reichl, Linda E. (২০০৪), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৮৭৮৮-০
Rowen, Louis Halle (২০০৮), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮২১৮-৪১৫৩-২
Šolin, Pavel (২০০৫), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৪৭১-৭৬৪০৯-০
Stinson, Douglas R. (২০০৫), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৫৮৪৮৮-৫০৮-৫
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (২০০২), Introduction to Numerical Analysis (3rd সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৫৪৫২-৩
Ward, J. P. (১৯৯৭), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, খণ্ড ৪০৩, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৭৯২৩-৪৫১৩-৮, এমআর 1458894
Wolfram, Stephen (২০০৩), The Mathematica Book (5th সংস্করণ), Champaign, IL: Wolfram Media, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৫৭৯৫৫-০২২-৬
Bohm, Arno (২০০১), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, আইএসবিএন ০-৩৮৭-৯৫৩৩০-২
Burgess, Cliff; Moore, Guy (২০০৭), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, আইএসবিএন ০-৫২১-৮৬০৩৬-৯
Guenther, Robert D. (১৯৯০), Modern Optics, John Wiley, আইএসবিএন ০-৪৭১-৬০৫৩৮-৭
Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (১৯৮০), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, আইএসবিএন ০-০৭-০৩২০৭১-৩
Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (১৯৯৭), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, আইএসবিএন ০-৫২১-৫৫৫০৬-X
Schiff, Leonard I. (১৯৬৮), Quantum Mechanics (3rd সংস্করণ), McGraw–Hill
Weinberg, Steven (১৯৯৫), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, আইএসবিএন ০-৫২১-৫৫০০১-৭
Wherrett, Brian S. (১৯৮৭), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, আইএসবিএন ০-১৩-৩৬৫৪৬১-৩
Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (২০০৬), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪০২০-৪৫৩০-১
A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
Bôcher, Maxime (২০০৪), Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৪৮৬-৪৯৫৭০-৫, reprint of the 1907 original edition
Cayley, Arthur (১৮৮৯), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, খণ্ড I (১৮৪১–১৮৫৩), Cambridge University Press, পৃ. ১২৩–১২৬^{[স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ]}
Dieudonné, Jean, সম্পাদক (১৯৭৮), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann
Hawkins, Thomas (১৯৭৫), "Cauchy and the spectral theory of matrices", Historia Mathematica, ২: ১–২৯, ডিওআই:10.1016/0315-0860(75)90032-4, আইএসএসএন 0315-0860, এমআর 0469635
Knobloch, Eberhard (১৯৯৪), "From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations", The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, খণ্ড ১৫, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, পৃ. ৫১–৬৬, এমআর 1308079
Kronecker, Leopold (১৮৯৭), Hensel, Kurt (সম্পাদক), Leopold Kronecker's Werke, Teubner^{[স্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ]}
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (১৯৮৭), The Historical Development of Quantum Theory (1st সংস্করণ), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৬২৮৪-৯
Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (১৯৯৯), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd সংস্করণ), Oxford University Press, আইএসবিএন ৯৭৮-০-১৯-৮৫৩৯৩৬-০
Weierstrass, Karl (১৯১৫), Collected works, খণ্ড ৩, ১১ অক্টোবর ২০০৮ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভকৃত, সংগ্রহের তারিখ ১০ অক্টোবর ২০১৪

বহিঃসংযোগ

Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৫৫৬০৮-০১০-৪
MacTutor: Matrices and determinants ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৮ মার্চ ২০১৫ তারিখে
Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors
Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, আইএসবিএন ৯৭৮-০-৬১৫-২৫১২৬-৪
The Matrix Cookbook (PDF), সংগ্রহের তারিখ ২৪ মার্চ ২০১৪
Brookes, Mike (২০০৫), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসেম্বর ২০০৮
SimplyMath (Matrix Calculator)
Matrix Calculator (DotNumerics), ৪ সেপ্টেম্বর ২০১৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভকৃত, সংগ্রহের তারিখ ১০ অক্টোবর ২০১৪
Xiao, Gang, Matrix calculator, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসেম্বর ২০০৮
Online matrix calculator, ১২ ডিসেম্বর ২০০৮ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভকৃত, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসেম্বর ২০০৮
Online matrix calculator (ZK framework), ১২ মে ২০১৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভকৃত, সংগ্রহের তারিখ ২৬ নভেম্বর ২০০৯
Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, সংগ্রহের তারিখ ১০ ডিসেম্বর ২০০৮, a freeware package for matrix algebra and statistics
Online matrix calculator, সংগ্রহের তারিখ ১৪ ডিসেম্বর ২০০৯
Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৫ অক্টোবর ২০১৪ তারিখে

টেমপ্লেট:Linear algebra

[1] Anton (1987, p. 23)

[2] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 56)

[3] "Khan Academy"। www.khanacademy.org (ইংরেজি ভাষায়)। সংগ্রহের তারিখ ৩০ ডিসেম্বর ২০২৪।

[mathwarehouse.com-4] 1 2 http://www.mathwarehouse.com/algebra/matrix/multiply-matrix.php

[১]

[২]

[৩]

[৪]