প্রতিসাম্য (জ্যামিতি)

একটি দ্বিপ্রতিসম প্রজাপতির ছবি, যেখানে ছবিটির ডান এবং বাম অংশ একে অপরের প্রতিচ্ছবি।

জ্যামিতিতে কোনো বস্তুর প্রতিসাম্য থাকে যদি কোনো গানিতিক প্রক্রিয়া বা রুপান্তরের (যেমন অনুবাদ, স্কেলিং, ঘূর্ণন বা প্রতিফলন) পর ছবি বা বস্তুটি নিজের উপরেই পতিত হয় (অর্থাৎ, রূপান্তরের পর বস্তুটির অপরিবর্তিত হওয়ার ক্ষমতা আছে)।^[১] অর্থাৎ, প্রতিসাম্যতাকে পরিবর্তিত না হবার ক্ষমতা হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে।^[২] উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তকে কেন্দ্রের সাপেক্ষে ঘুরালে আকার এবং আকৃতির কোন পরিবর্তন হয়না, কারণ ঘুর্ণনের আগে এবং পরে বৃত্তের উপরিস্থিত বিন্দুগুলোকে আলাদা করা যাবেনা। তাই একটি বৃত্তকে ঘুর্ণনের সাপেক্ষে প্রতিসম অথবা ঘূর্ণন প্রতিসাম্য রয়েছে বলা হয়।

একটি জ্যামিতিক বস্তুর কতগুলো প্রতিসাম্য থাকবে তা নির্ভর করে বস্তুটির কতভাবে রুপান্তর সম্ভব এবং রুপান্তরের পরে কোন কোন বৈশিষ্ট্য গুলো অপরিবর্তিত থাকে। কারন পরপর দুটি রূপান্তরুকেও একটি একক রূপান্তর বলা যেতে পারে এবং সংজ্ঞানুসারে প্রত্যেক রূপান্তরেরে একটি বিপরীত রূপান্তর রয়েছে যা পূর্ববর্তী রূপান্তরকে বাতিল করে দেয়। যেসব রূপান্তরের ফলে একটি বস্তুকে প্রতিসাম্য বলা যায়, তারা একত্রে একটি গাণিতিক গ্রুপ গঠন করে, যাকে প্রতিসাম্য গ্রুপ বলা হয়।^[৩]

সাধারণভাবে ইউক্লিডীয় প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

বস্তুতে প্রয়োগ করা রূপান্তরের সবচেয়ে সাধারণ গোষ্ঠীটিকে " আইসোমেট্রিস " এর ইউক্লিডীয় গ্রুপ বলা হয়, যা মহাকাশে দূরত্ব-সংরক্ষণকারী রূপান্তরগুলিকে সাধারণত দ্বি-মাত্রিক বা ত্রি-মাত্রিক (যেমন, সমতল জ্যামিতি বা কঠিন জ্যামিতিতে ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে) বলা হয়। . এই আইসোমেট্রিগুলি এই মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলির প্রতিফলন, ঘূর্ণন, অনুবাদ এবং সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত।^[৪] একটি আইসোমেট্রিক ট্রান্সফর্মেশনের অধীনে, একটি জ্যামিতিক বস্তুকে প্রতিসম বলা হয় যদি, রূপান্তরের পরে, বস্তুটি রূপান্তরের আগে বস্তু থেকে আলাদা করা যায় না।^[৫] একটি জ্যামিতিক বস্তু সাধারণত শুধুমাত্র একটি উপসেট বা সমস্ত আইসোমেট্রির " সাবগ্রুপ " এর অধীনে প্রতিসম হয়। আইসোমেট্রি সাবগ্রুপগুলির প্রকারগুলি নীচে বর্ণনা করা হয়েছে, তারপরে অন্যান্য ধরণের ট্রান্সফর্ম গ্রুপগুলি এবং জ্যামিতিতে সম্ভাব্য অবজেক্ট ইনভেরিয়েন্সের প্রকারগুলি দ্বারা অনুসরণ করা হয়েছে।

মাত্রা অনুসারে মৌলিক আইসোমেট্রি
	1D		2D		3D		4D
প্রতিফলন	বিন্দু	অ্যাফিন	বিন্দু	অ্যাফিন	বিন্দু	অ্যাফিন	বিন্দু	অ্যাফিন
1	প্রতিফলন		প্রতিফলন		প্রতিফলন		প্রতিফলন
2		অনুবাদ	ঘূর্ণন	অনুবাদ	ঘূর্ণন	অনুবাদ	ঘূর্ণন	অনুবাদ
3				ট্রান্সফ্লেকশন	রোটারফ্লেকশন	ট্রান্সফ্লেকশন	রোটারফ্লেকশন	ট্রান্সফ্লেকশন
4						রোটারি অনুবাদ	ডাবল ঘূর্ণন	রোটারি অনুবাদ
5								ঘূর্ণমান প্রতিস্থাপন

প্রতিফলিত প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

একটি মাত্রায়, প্রতিসাম্যের একটি বিন্দু আছে যার প্রতিফলন ঘটে; দুটি মাত্রায়, প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ রয়েছে (ওরফে, প্রতিসাম্যের রেখা), এবং তিনটি মাত্রায় প্রতিসাম্যের সমতল রয়েছে।^[৬]^[৭] একটি বস্তু বা চিত্র যার জন্য প্রতিটি বিন্দুতে একটি থেকে অন্য একটি ম্যাপিং থাকে, একটি সাধারণ সমতল থেকে এবং বিপরীত দিকে সমান দূরত্বে থাকে তাকে বলা হয় মিরর সিমেট্রিক (আরো জন্য, মিরর ইমেজ দেখুন)।

একটি দ্বি-মাত্রিক চিত্রের প্রতিসাম্যের অক্ষটি এমন একটি রেখা যাতে একটি লম্ব নির্মিত হলে, প্রতিসাম্যের অক্ষ থেকে সমান দূরত্বে লম্বের উপর থাকা যেকোনো দুটি বিন্দু অভিন্ন। এটি সম্পর্কে চিন্তা করার আরেকটি উপায় হল যে যদি আকৃতিটি অক্ষের উপর অর্ধেক ভাঁজ করা হয় তবে দুটি অর্ধেক একে অপরের আয়নার প্রতিচ্ছবি হিসাবে অভিন্ন হবে। উদাহরণ স্বরূপ. একটি বর্গক্ষেত্রে প্রতিসাম্যের চারটি অক্ষ রয়েছে, কারণ এটিকে ভাঁজ করার চারটি ভিন্ন উপায় রয়েছে এবং প্রান্তগুলি একে অপরের সাথে মেলে। আরেকটি উদাহরণ হবে একটি বৃত্তের, যেটির কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে একই কারণে প্রতিসাম্যের অসীম অনেক অক্ষ রয়েছে।^[৮]

যদি T অক্ষরটি একটি উল্লম্ব অক্ষ বরাবর প্রতিফলিত হয়, তবে এটি একই দেখায়। একে কখনও কখনও উল্লম্ব প্রতিসাম্য বলা হয়। এইভাবে কেউ এই ঘটনাটিকে দ্ব্যর্থহীনভাবে এই বলে বর্ণনা করতে পারেন যে "T এর একটি উল্লম্ব প্রতিসাম্য অক্ষ রয়েছে", বা "T এর বাম-ডান প্রতিসাম্য রয়েছে"।

প্রতিফলন প্রতিসাম্য সহ ত্রিভুজগুলি হল সমদ্বিবাহু, এই প্রতিসাম্য সহ চতুর্ভুজগুলি হল কাইট এবং সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েড।^[৯]

প্রতিটি রেখা বা প্রতিফলনের সমতলের জন্য, প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি C _s (আরো জন্য তিনটি মাত্রায় বিন্দু গোষ্ঠী দেখুন), ক্রম দুই (আবর্তন) এর মধ্যে একটি, তাই বীজগণিতিকভাবে সি _2- এর সাথে আইসোমরফিক। মৌলিক ডোমেইন হল একটি অর্ধ-বিমান বা অর্ধ-স্থান।^[১০]

বিন্দু প্রতিফলন এবং অন্যান্য অন্তর্নিহিত আইসোমেট্রি[সম্পাদনা]

2 মাত্রায়, একটি বিন্দুর প্রতিফলন হল একটি 180 ডিগ্রি ঘূর্ণন।

প্রতিফলন প্রতিসাম্যকে $m$ -ডাইমেনশনাল স্পেসের অন্যান্য আইসোমেট্রিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যা আবর্তিত হয়, যেমন

(x 1, ..., x m) \mapsto (- x 1, ..., - x k, x k +1, ..., x m)

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমে। এটি একটি $(m - k)$ -মাত্রিক অ্যাফাইন সাবস্পেস বরাবর স্থান প্রতিফলিত করে।^[১১] যদি $k$ = $m$ , তাহলে এই ধরনের রূপান্তরকে একটি বিন্দুর প্রতিফলন বা একটি বিন্দুর মাধ্যমে একটি বিপরীতমুখী বলা হয়। বিমানে ( $m$ = 2), একটি বিন্দু প্রতিফলন একটি অর্ধ- টার্ন (180°) ঘূর্ণনের সমান; নিচে দেখ. অ্যান্টিপোডাল প্রতিসাম্য হল মূলের মাধ্যমে একটি বিন্দু প্রতিফলন প্রতিসাম্যের একটি বিকল্প নাম।^[১২]

এই ধরনের "প্রতিফলন" অভিযোজন সংরক্ষণ করে যদি এবং শুধুমাত্র $k$ একটি জোড় সংখ্যা হয়।^[১৩] এই $m$ জন্য যে বোঝায়= 3 (পাশাপাশি অন্যান্য বিজোড়ের জন্য $m$ ), একটি বিন্দু প্রতিফলন স্থানের অভিযোজন পরিবর্তন করে, যেমন একটি আয়না-চিত্র প্রতিসাম্য। এটি ব্যাখ্যা করে যে কেন পদার্থবিজ্ঞানে, P- প্রতিসাম্য শব্দটি (P মানে প্যারিটি) বিন্দু প্রতিফলন এবং মিরর প্রতিসাম্য উভয়ের জন্যই ব্যবহৃত হয়। যেহেতু তিনটি মাত্রায় একটি বিন্দুর প্রতিফলন একটি বাম-হাতের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে একটি ডান-হাতের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পরিবর্তন করে, তাই একটি বিন্দুর প্রতিফলনের অধীনে প্রতিসাম্যকে বাম-ডান প্রতিসাম্যও বলা হয়।^[১৪]

আবর্তনশীল প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য হল $m$ -মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের কিছু বা সমস্ত ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে প্রতিসাম্য। ঘূর্ণন হল প্রত্যক্ষ আইসোমেট্রি, যা হল আইসোমেট্রি যা অভিযোজন সংরক্ষণ করে।^[১৫] অতএব, ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের একটি প্রতিসাম্য গোষ্ঠী হল বিশেষ ইউক্লিডীয় গ্রুপ E <sup id="mw7Q">+</sup> (<span about="#mwt102" class="texhtml mvar" data-cx="[{"adapted":true,"partial":false,"targetExists":true,"mandatoryTargetParams":[],"optionalTargetParams":[]}]" data-mw="{"parts":[{"template":{"target":{"wt":"Mvar","href":"./টেমপ্লেট:Mvar"},"params":{"1":{"wt":"m"}},"i":0}}]}" data-ve-no-generated-contents="true" id="mw7g" style="font-style:italic;" typeof="mw:Transclusion">m</span>) এর একটি উপগোষ্ঠী।

সমস্ত বিন্দু সম্পর্কে সমস্ত ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে প্রতিসাম্য বলতে সমস্ত অনুবাদের ক্ষেত্রে অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য বোঝায় (কারণ অনুবাদগুলি হল স্বতন্ত্র বিন্দুগুলির ঘূর্ণনের রচনা),^[১৬] এবং প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি সম্পূর্ণ E ⁺ ( $m$ )। এটি বস্তুর জন্য প্রযোজ্য নয় কারণ এটি স্থানকে একজাত করে তোলে, তবে এটি ভৌত আইনের জন্য প্রযোজ্য হতে পারে।

একটি বিন্দু সম্পর্কে ঘূর্ণন সম্পর্কিত প্রতিসাম্যের জন্য, কেউ সেই বিন্দুটিকে উত্স হিসাবে নিতে পারে। এই ঘূর্ণনগুলি বিশেষ অর্থোগোনাল গ্রুপ SO( $m$ ) গঠন করে, যা নির্ধারক সহ $m \times m$ অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে 1. $m$ জন্য = 3, এটি ঘূর্ণন গ্রুপ SO(3)।^[১৭]

একটু ভিন্নভাবে বাক্যাংশ করলে, একটি বস্তুর ঘূর্ণন গোষ্ঠী হল E ⁺ ( $m$ ) এর মধ্যে থাকা প্রতিসাম্য গোষ্ঠী, অনমনীয় গতির গ্রুপ;^[১৮] অর্থাৎ পূর্ণ প্রতিসাম্য গোষ্ঠী এবং অনমনীয় গতির গোষ্ঠীর ছেদ। চিরাল বস্তুর জন্য, এটি সম্পূর্ণ প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর মতোই।

পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মগুলি SO(3)-অপরিবর্তনীয় যদি তারা মহাশূন্যের বিভিন্ন দিককে আলাদা না করে। নোথারের উপপাদ্যের কারণে, একটি ভৌত ব্যবস্থার ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ আইনের সমতুল্য।^[১৯] আরও তথ্যের জন্য, ঘূর্ণনশীল পরিবর্তন দেখুন।

অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য সহ একটি ফ্রিজ প্যাটার্ন

অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য অনুবাদের একটি পৃথক বা অবিচ্ছিন্ন গ্রুপের অধীনে একটি বস্তুকে অপরিবর্তনীয় ছেড়ে দেয় $\scriptstyle T_{a}(p)\;=\;p\,+\,a$ .^[২০] ডানদিকের দৃষ্টান্তটি তীর বরাবর অনুবাদের দ্বারা উত্পন্ন চারটি সমান পদচিহ্ন দেখায়। যদি পায়ের ছাপের রেখাটি উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হয়, তবে তাদের একটি পৃথক অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য থাকবে; যে কোনো অনুবাদ যা একটি পদচিহ্ন অন্যটির উপর ম্যাপ করে পুরো লাইন অপরিবর্তিত থাকবে।

গ্লাইড প্রতিফলন প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

2D তে, একটি গ্লাইড প্রতিফলন প্রতিসাম্য (3D তে একটি গ্লাইড সমতল প্রতিসাম্যও বলা হয়, এবং সাধারণভাবে একটি ট্রান্সফ্লেকশন) মানে হল যে একটি লাইন বা সমতলে একটি প্রতিফলন লাইন বরাবর বা সমতলে একটি অনুবাদের সাথে মিলিত হয়, ফলে একই বস্তু (যেমন পায়ের ছাপের ক্ষেত্রে)।^[২]^[২১] দুটি গ্লাইড প্রতিফলনের সংমিশ্রণে অনুবাদ ভেক্টরের দ্বিগুণ সহ একটি অনুবাদ প্রতিসাম্য তৈরি হয়। গ্লাইড প্রতিফলন এবং সংশ্লিষ্ট অনুবাদ সমন্বিত প্রতিসাম্য গোষ্ঠী হল ফ্রিজ গ্রুপ p11g, এবং অসীম চক্রীয় গ্রুপ Z এর সাথে আইসোমরফিক।

রোটার প্রতিফলন প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

3D তে, একটি ঘূর্ণন প্রতিফলন, রোটার প্রতিফলন বা অনুপযুক্ত ঘূর্ণন হল একটি অক্ষের উপর একটি ঘূর্ণন যা সেই অক্ষের লম্ব একটি সমতলে প্রতিফলনের সাথে মিলিত হয়।^[২২] রোটার প্রতিফলনের সাথে যুক্ত প্রতিসাম্য গোষ্ঠীগুলির মধ্যে রয়েছে:

যদি ঘূর্ণন কোণে 360° সহ কোন সাধারণ ভাজক না থাকে, তাহলে প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি বিচ্ছিন্ন নয়।
যদি রোটোর প্রতিফলনের একটি 2 n -গুণ ঘূর্ণন কোণ থাকে (180°/ n কোণ), প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি ক্রম 2 _n এর S 2 n (প্রতিসম গোষ্ঠীগুলির সাথে বিভ্রান্ত হবেন না, যার জন্য একই স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়; বিমূর্ত গ্রুপ হল C _2n)। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে n = 1, একটি বিপরীত, কারণ এটি অক্ষ এবং সমতলের উপর নির্ভর করে না। এটা শুধুমাত্র বিপরীত বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়.
গ্রুপ C _nh (360°/ n কোণ); বিজোড় n এর জন্য, এটি একটি একক প্রতিসাম্য দ্বারা উত্পন্ন হয়, এবং বিমূর্ত গ্রুপটি C _{2 n}, জোড় n এর জন্য। এটি একটি মৌলিক প্রতিসাম্য নয় কিন্তু একটি সংমিশ্রণ।

আরও তথ্যের জন্য, তিনটি মাত্রায় বিন্দু গ্রুপগুলি দেখুন।

হেলিকাল প্রতিসাম্য[সম্পাদনা]

3D জ্যামিতি এবং উচ্চতর, একটি স্ক্রু অক্ষ (বা ঘূর্ণমান অনুবাদ) হল একটি ঘূর্ণন এবং ঘূর্ণন অক্ষ বরাবর একটি অনুবাদের সমন্বয়।^[২৩]

ফ্র্যাক্টাল
প্রতিসম সম্পর্ক

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

↑ Martin, G. (১৯৯৬)। Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry। Springer। পৃষ্ঠা 28।
↑ ^ক ^খ "Symmetry | Thinking about Geometry | Underground Mathematics"। undergroundmathematics.org। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১২-০৬।
↑ Miller, Willard Jr. (১৯৭২)। Symmetry Groups and Their Applications। Academic Press। ওসিএলসি 589081। ২০১০-০২-১৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৯-০৯-২৮।
↑ "Higher Dimensional Group Theory"। ২০১২-০৭-২৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৩-০৪-১৬।
↑ "2.6 Reflection Symmetry"। CK-12 Foundation। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১২-০৬।
↑ "Symmetry - MathBitsNotebook(Geo - CCSS Math)"। mathbitsnotebook.com। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১২-০৬।
↑ Cowin, Stephen C.; Doty, Stephen B. (২০০৭)। Tissue Mechanics। Springer। পৃষ্ঠা 152। আইএসবিএন 9780387368252।
↑ Caldecott, Stratford (২০০৯)। Beauty for Truth's Sake: On the Re-enchantment of Education। Brazos Press। পৃষ্ঠা 70।
↑ Bassarear, Tom (২০১১)। Mathematics for Elementary School Teachers (5 সংস্করণ)। Cengage Learning। পৃষ্ঠা 499।
↑ Johnson, N. W. Johnson (২০১৮)। "11: Finite symmetry groups"। Geometries and Transformations। Cambridge University Press।
↑ Hertrich-Jeromin, Udo (২০০৩)। Introduction to Möbius Differential Geometry। Cambridge University Press।
↑ Dieck, Tammo (২০০৮)। Algebraic Topology। European Mathematical Society। পৃষ্ঠা 261। আইএসবিএন 9783037190487।
↑ William H. Barker, Roger Howe Continuous Symmetry: From Euclid to Klein (Google eBook) American Mathematical Soc
↑ W.M. Gibson; B.R. Pollard (১৯৮০)। Symmetry principles in elementary particle physics। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 120–122। আইএসবিএন 0-521-29964-0।
↑ Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2005) Natural Biodynamics World Scientific
↑ Singer, David A. (১৯৯৮)। Geometry: Plane and Fancy। Springer Science & Business Media।
↑ Joshi, A. W. (২০০৭)। Elements of Group Theory for Physicists। New Age International। পৃষ্ঠা 111ff।
↑ Hartshorne, Robin (২০০০)। Geometry: Euclid and Beyond। Springer Science & Business Media।
↑ Kosmann-Schwarzbach, Yvette (২০১০)। The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century। Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences। Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-87867-6।
↑ Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.
↑ Martin, George E. (১৯৮২), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, পৃষ্ঠা 64, আইএসবিএন 9780387906362 .
↑ Robert O. Gould, Steffen Borchardt-Ott (2011)Crystallography: An Introduction Springer Science & Business Media
↑ Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)

[1] Martin, G. (১৯৯৬)। Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry। Springer। পৃষ্ঠা 28।

[:0-2] ক ^খ "Symmetry | Thinking about Geometry | Underground Mathematics"। undergroundmathematics.org। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১২-০৬।

[3] Miller, Willard Jr. (১৯৭২)। Symmetry Groups and Their Applications। Academic Press। ওসিএলসি 589081। ২০১০-০২-১৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৯-০৯-২৮।

[Higher_dimensional_group_theory'-4] "Higher Dimensional Group Theory"। ২০১২-০৭-২৩ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৩-০৪-১৬।

[5] "2.6 Reflection Symmetry"। CK-12 Foundation। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১২-০৬।

[:1-6] "Symmetry - MathBitsNotebook(Geo - CCSS Math)"। mathbitsnotebook.com। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১২-০৬।

[7] Cowin, Stephen C.; Doty, Stephen B. (২০০৭)। Tissue Mechanics। Springer। পৃষ্ঠা 152। আইএসবিএন 9780387368252।

[8] Caldecott, Stratford (২০০৯)। Beauty for Truth's Sake: On the Re-enchantment of Education। Brazos Press। পৃষ্ঠা 70।

[9] Bassarear, Tom (২০১১)। Mathematics for Elementary School Teachers (5 সংস্করণ)। Cengage Learning। পৃষ্ঠা 499।

[10] Johnson, N. W. Johnson (২০১৮)। "11: Finite symmetry groups"। Geometries and Transformations। Cambridge University Press।

[11] Hertrich-Jeromin, Udo (২০০৩)। Introduction to Möbius Differential Geometry। Cambridge University Press।

[12] Dieck, Tammo (২০০৮)। Algebraic Topology। European Mathematical Society। পৃষ্ঠা 261। আইএসবিএন 9783037190487।

[13] William H. Barker, Roger Howe Continuous Symmetry: From Euclid to Klein (Google eBook) American Mathematical Soc

[Gibson1980-14] W.M. Gibson; B.R. Pollard (১৯৮০)। Symmetry principles in elementary particle physics। Cambridge University Press। পৃষ্ঠা 120–122। আইএসবিএন 0-521-29964-0।

[15] Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2005) Natural Biodynamics World Scientific

[16] Singer, David A. (১৯৯৮)। Geometry: Plane and Fancy। Springer Science & Business Media।

[17] Joshi, A. W. (২০০৭)। Elements of Group Theory for Physicists। New Age International। পৃষ্ঠা 111ff।

[18] Hartshorne, Robin (২০০০)। Geometry: Euclid and Beyond। Springer Science & Business Media।

[Noether-19] Kosmann-Schwarzbach, Yvette (২০১০)। The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century। Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences। Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-87867-6।

[20] Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.

[21] Martin, George E. (১৯৮২), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, পৃষ্ঠা 64, আইএসবিএন 9780387906362 .

[22] Robert O. Gould, Steffen Borchardt-Ott (2011)Crystallography: An Introduction Springer Science & Business Media

[23] Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]

[১৩]

[১৪]

[১৫]

[১৬]

[১৭]

[১৮]

[১৯]

[২০]

[২১]

[২২]

[২৩]