বিষয়বস্তুতে চলুন

ফ্রাক্টাল

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
ফ্রাক্টাল এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, ম্যান্ডেলব্রট সেট, এর সীমারেখার চিত্র
ম্যান্ডেলব্রট সেট

গণিতে, ফ্র্যাক্টাল হ'ল ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রের একটি উপসেট যার জন্য ফ্র্যাক্টাল মাত্রা কঠোরভাবে টপোলজিকাল মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়। ফ্র্যাক্টালগুলি বিভিন্ন স্তরে একই দেখা যায়, যেমন ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্রমাগত প্রশস্তকরণে চিত্রিত হয়েছে।[১][২][৩][৪] সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা স্বানুরূপ[৫], অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। যদি এই প্রতিলিপিটি প্রতিবার মাপে হুবহু একই রকম হয়, যেমন মেনজার স্পঞ্জ, এটিকে অ্যাফাইন স্ব-অনুরূপ বলা হয়।[৬] ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি টপোলজির একটি শাখা।

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

[সম্পাদনা]

গণিতবিদেরা ফ্রাক্টালকে একরকম জ্যামিতিক বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:

  • এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
  • এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
  • এদের টপোগাণিতিক মাত্রা'র চেয়ে হাসডর্ফ মাত্রা-র সংখ্যা বেশি।[৭]
  • এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
  • এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।

ফ্রাক্টালের এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে।[২]

সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: বাস্তব রেখা (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।

ইতিহাস

[সম্পাদনা]

ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।

এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি।

১৯৭৫ সালে বেনোয়া মানডেলব্রট ফ্রাক্টাল নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ফ্রাক্টাস থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।

প্রয়োগ

[সম্পাদনা]

প্রাকৃতিক ঘটনা

[সম্পাদনা]

প্রকৃতিতে পাওয়া আনুমানিক ফ্র্যাক্টালগুলি প্রসারিত, তবে সসীম, স্কেল রেঞ্জগুলির উপর স্ব-সাদৃশ্য প্রদর্শন করে। উদাহরণস্বরূপ, ফ্র্যাক্টাল এবং পাতার মধ্যে সংযোগটি বর্তমানে গাছগুলিতে কতটা কার্বন রয়েছে তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা হচ্ছে।[৮] ফ্র্যাকটাল বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য পরিচিত ঘটনাগুলির মধ্যে রয়েছে:

প্রযুক্তিতে প্রয়োগ

[সম্পাদনা]

তথ্যসূত্র

[সম্পাদনা]
  1. ↑ Mandelbrot, Benoit B. (১৯৮৩)। The Fractal Geometry of Nature (ইংরেজি ভাষায়)। Henry Holt and Company। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৭১৬৭-১১৮৬-৫।
  2. 1 2 Falconer, K. J., 1952- (২০০৩)। Fractal geometry : mathematical foundations and applications (2nd ed সংস্করণ)। Chichester: Wiley। আইএসবিএন ০-৪৭০-৮৭১৩৫-০। ওসিএলসি 53970546। {{বই উদ্ধৃতি}}: |edition=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: সাংখ্যিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক)
  3. ↑ Briggs, John. (১৯৯২)। Fractals : the patterns of chaos : discovering a new aesthetic of art, science, and nature। London: Thames & Hudson। পৃ. ১৪৮। আইএসবিএন ০-৫০০-২৭৬৯৩-৫। ওসিএলসি 27830734।
  4. ↑ Vicsek, Tamás. (১৯৯২)। Fractal growth phenomena (2nd ed সংস্করণ)। Singapore: World Scientific। আইএসবিএন ৯৮১-০২-০৬৬৮-২। ওসিএলসি 25834255। {{বই উদ্ধৃতি}}: |edition=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)
  5. ↑ Boeing, G. (২০১৬)। "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction"। Systems। ৪ (4): ৩৭। ডিওআই:10.3390/systems4040037। সংগ্রহের তারিখ ২ ডিসেম্বর ২০১৬।{{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: পতাকাভুক্ত নয় এমন বিনামূল্যে ডিওআই (লিঙ্ক)
  6. ↑ Gouyet, Jean-François. (১৯৯৬)। Physics and fractal structures। Paris: Masson। আইএসবিএন ০-৩৮৭-৯৪১৫৩-৩। ওসিএলসি 35005596।
  7. ↑ Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (২০০৮)। "Benoît Mandelbrot: In his own words"। Mathematical people : profiles and interviews। Wellesley, MA: AK Peters। পৃ. ২১৪। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৫৬৮৮১-৩৪০-০।
  8. ↑ "Hunting the Hidden Dimensional". Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.
  9. ↑ Sadegh, Sanaz (২০১৭)। "Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork"। Physical Review X। ৭ (1): ০১১০৩১। আরজাইভ:1702.03997। বিবকোড:2017PhRvX...7a1031S। ডিওআই:10.1103/PhysRevX.7.011031। পিএমসি 5500227। পিএমআইডি 28690919।
  10. ↑ Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (২০০৫)। "Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization"। Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (সম্পাদকগণ)। Fractals in biology and medicine। Springer। পৃ. ৫৫–৬৬। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৭৬৪৩-৭১৭২-২।
  11. ↑ Lovejoy, Shaun (১৯৮২)। "Area-perimeter relation for rain and cloud areas"। Science। ২১৬ (4542): ১৮৫–১৮৭। বিবকোড:1982Sci...216..185L। ডিওআই:10.1126/science.216.4542.185। পিএমআইডি 17736252। এস২সিআইডি 32255821।
  12. ↑ Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (২০০০)। Pattern formation in biology, vision and dynamics। World Scientific। পৃ. ৭৮। আইএসবিএন ৯৭৮-৯৮১-০২-৩৭৯২-৯।
  13. ↑ Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (২০০৭)। "Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing"। Earth and Planetary Science Letters। ২৬২ (3–4): ৪১৩। বিবকোড:2007E&PSL.262..413V। ডিওআই:10.1016/j.epsl.2007.07.056। এইচডিএল:2158/257208।
  14. ↑ Sornette, Didier (২০০৪)। Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools। Springer। পৃ. ১২৮–১৪০। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৫৪০-৪০৭৫৪-৬।
  15. ↑ Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (১৯৯৯), "Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation", Nature, ৩৯৯ (6734): ৩১৫, বিবকোড:1999Natur.399..315S, ডিওআই:10.1038/20573, এস২সিআইডি 4361904
  16. ↑ Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (২০০৯)। "Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications"। The Journal of Physiology। ৫৮৭ (15): ৩৯২৯–৪১। ডিওআই:10.1113/jphysiol.2009.169219। পিএমসি 2746620। পিএমআইডি 19528254।
  17. ↑ D. Seekell, B. Cael, E. Lindmark, P. Byström (২০২১)। "The fractal scaling relationship for river inlets to lakes"। Geophysical Research Letters। ৪৮ (9): e২০২১GL০৯৩৩৬৬। বিবকোড:2021GeoRL..4893366S। ডিওআই:10.1029/2021GL093366। আইএসএসএন 0094-8276। এস২সিআইডি 235508504।{{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক)
  18. ↑ D. Seekell, M. L. Pace, L. J. Tranvik, C. Verpoorter (২০১৩)। "A fractal-based approach to lake size-distributions" (পিডিএফ)। Geophysical Research Letters। ৪০ (3): ৫১৭–৫২১। বিবকোড:2013GeoRL..40..517S। ডিওআই:10.1002/grl.50139। এস২সিআইডি 14482711।{{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক)
  19. ↑ B. B. Cael, D. A. Seekell (২০১৬)। "The size-distribution of Earth's lakes"। Scientific Reports। ৬: ২৯৬৩৩। বিবকোড:2016NatSR...629633C। ডিওআই:10.1038/srep29633। পিএমসি 4937396। পিএমআইডি 27388607।
  20. ↑ Addison, Paul S. (১৯৯৭)। Fractals and chaos: an illustrated course। CRC Press। পৃ. ৪৪–৪৬। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৭৫০৩-০৪০০-৯। সংগ্রহের তারিখ ৫ ফেব্রুয়ারি ২০১১।
  21. ↑ Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (২৭ জানুয়ারি ২০০৫)। "Mass fractal dimension and the compactness of proteins"। Physical Review E। ৭১ (1): ০১১৯১২। বিবকোড:2005PhRvE..71a1912E। ডিওআই:10.1103/PhysRevE.71.011912। পিএমআইডি 15697635।
  22. ↑ Takayasu, H. (১৯৯০)। Fractals in the physical sciences। Manchester: Manchester University Press। পৃ. ৩৬। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৭১৯০-৩৪৩৪-৩।
  23. ↑ Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (১ এপ্রিল ২০১৫)। "Edges of Saturn's Rings are Fractal"। SpringerPlus। ৪, ১৫৮: ১৫৮। ডিওআই:10.1186/s40064-015-0926-6। পিএমসি 4392038। পিএমআইডি 25883885।{{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: পতাকাভুক্ত নয় এমন বিনামূল্যে ডিওআই (লিঙ্ক)
  24. ↑ Meyer, Yves; Roques, Sylvie (১৯৯৩)। Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992। Atlantica Séguier Frontières। পৃ. ২৫। আইএসবিএন ৯৭৮-২-৮৬৩৩২-১৩০-০। সংগ্রহের তারিখ ৫ ফেব্রুয়ারি ২০১১।
  25. ↑ Ozhovan M. I., Dmitriev I. E., Batyukhnova O. G. Fractal structure of pores of clay soil. Atomic Energy, 74, 241–243 (1993).
  26. ↑ Sreenivasan, K. R.; Meneveau, C. (১৯৮৬)। "The Fractal Facets of Turbulence"। Journal of Fluid Mechanics। ১৭৩: ৩৫৭–৩৮৬। বিবকোড:1986JFM...173..357S। ডিওআই:10.1017/S0022112086001209। এস২সিআইডি 55578215।
  27. ↑ de Silva, C. M.; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (২০১৩)। "Multiscale Geometry and Scaling of the Turbulent–Nonturbulent Interface in High Reynolds Number Boundary Layers"। Phys. Rev. Lett.। ১১১ (6039): ১৯২–১৯৬। বিবকোড:2011Sci...333..192A। ডিওআই:10.1126/science.1203223। পিএমআইডি 21737736। এস২সিআইডি 22560587।
  28. ↑ Singh, Chamkor; Mazza, Marco (২০১৯), "Electrification in granular gases leads to constrained fractal growth", Scientific Reports, ৯ (1), Nature Publishing Group: ৯০৪৯, আরজাইভ:1812.06073, বিবকোড:2019NatSR...9.9049S, ডিওআই:10.1038/s41598-019-45447-x, পিএমসি 6588598, পিএমআইডি 31227758
  29. ↑ Falconer, Kenneth (২০১৩)। Fractals, A Very Short Introduction। Oxford University Press।
  30. ↑ Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (১৯৯৯)। "Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae"। Fractals। ৭ (1): ৭৯–৮৪। ডিওআই:10.1142/S0218348X99000098।
  31. ↑ Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (২০১২)। "Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors"। Proceedings of ISPSD: ৩৪১। ডিওআই:10.1109/ISPSD.2012.6229091। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪৫৭৭-১৫৯৬-৯।
  32. ↑ Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। ৬ (9): e২৪৭৯১। আরজাইভ:1104.4682। বিবকোড:2011PLoSO...624791C। ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমসি 3176775। পিএমআইডি 21949753।{{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: পতাকাভুক্ত নয় এমন বিনামূল্যে ডিওআই (লিঙ্ক)
  33. ↑ "Applications"। ১২ অক্টোবর ২০০৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভকৃত। সংগ্রহের তারিখ ২১ অক্টোবর ২০০৭।
  34. ↑ Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (১৯৮৯)। "Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria"। Mayo Clinic Proceedings। ৬৪ (4): ৪০৯–৪১৪। ডিওআই:10.1016/s0025-6196(12)65730-9। পিএমআইডি 2716356।
  35. ↑ Landini, Gabriel (২০১১)। "Fractals in microscopy"। Journal of Microscopy। ২৪১ (1): ১–৮। ডিওআই:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x। পিএমআইডি 21118245।
  36. ↑ Cheng, Qiuming (১৯৯৭)। "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis"। Mathematical Geology। ২৯ (7): ৯১৯–৯৩২। ডিওআই:10.1023/A:1022355723781।
  37. ↑ Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। ৬ (9): e২৪৭৯১। আরজাইভ:1104.4682। বিবকোড:2011PLoSO...624791C। ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমসি 3176775। পিএমআইডি 21949753।{{সাময়িকী উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: পতাকাভুক্ত নয় এমন বিনামূল্যে ডিওআই (লিঙ্ক)
  38. ↑ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (২০০৬)। "Fractal analysis of Mesoamerican pyramids"। Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences। ১০ (1): ১০৫–১২২। পিএমআইডি 16393505।
  39. ↑ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (২০০৫)। "The Broken Past: Fractals in Archaeology"। Journal of Archaeological Method and Theory। ১২: ৩৭। ডিওআই:10.1007/s10816-005-2396-6।
  40. ↑ Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A.। "An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents" (পিডিএফ)। Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: ৯৩–৯৮। আইএসবিএন ৯৭৮-৯৮৮-১৭-০১২৫-১।
  41. ↑ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (২০০৯)। Meyers, Robert A. (সম্পাদক)। Encyclopedia of Complexity and Systems Science (ইংরেজি ভাষায়)। New York, NY: Springer New York। পৃ. ৩৭০০–৩৭২০। ডিওআই:10.1007/978-0-387-30440-3_218। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৭৫৮৮৮-৬।

বহিঃসংযোগ

[সম্পাদনা]

উইন্ডোজ জেনারেটর প্রোগ্রামস

[সম্পাদনা]
'https://bn.wikipedia.org/w/index.php?title=ফ্রাক্টাল&oldid=8842231' থেকে আনীত