অন্তরকলন

অন্তরকলন (ইংরেজি: Differential Calculus) বা অবকলন গণিতশাস্ত্রের এমন একটি শাখা যাতে কোন রাশির অন্য কোন রাশির সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। অর্থাৎ ক্রমবর্ধমান বা ক্রমহ্রাসমান দুটি রাশি, যাদের মধ্যে ফাংশনাল সম্পর্ক রয়েছে, তাদের একের সাপেক্ষে অপরের পরিবর্তনের হার নিরূপণ এবং এর তাৎপর্য নির্ণয় অন্তরকলনের মূল উদ্দেশ্য।

একটি বাস্তব ভেরিয়েবলের বাস্তব ফাংশনের জন্য, কোনও বিন্দুতে ঐ ফাংশনের অন্তরকলজ (ইংরেজি: Derivative) লেখচিত্রটির স্পর্শকের নতির সমান।

একটি ফাংশনের অন্তরকলজ খুঁজে বের করার পদ্ধতিকে অন্তরকলন (ইংরেজি: Differentiation) বলা হয়।

আবিষ্কার

অনেক আগে থেকেই অন্তরকলনের কিছু বিষয় সম্পর্কে ভারতীয় গণিতবিদদের ধারণা ছিল। ভাস্করাচার্য, কেরলের মাধবাচার্য প্রমুখ রোলের উপপাদ্য,পাই এর মান, সাইন এর অসীম শ্রেণী প্রভৃতি আবিষ্কার করেন। তবে তারা কখনও একে পরিমাপের একটি স্বতন্ত্র পদ্ধতি হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করতে পারেননি; কারণ তারা অভ্যাসবশতই কিছু পদ্ধতি প্রয়োগ করতেন যেগুলো ছিল গণিতের সাধারণ পদ্ধতির বিশেষ প্রয়োগ। পরবর্তীকালে দুইটি রাশির একটির সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তনের জন্য অন্যটির পরিবর্তন অর্থাৎ একটির সাপেক্ষে অন্যটির পরিবর্তনের হার নিয়ে অনেকেই বিশদ চিন্তাভাবনা করেন। এভাবেই একসময় বক্ররেখা বেষ্টিত কোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ঘনবস্তুর আয়তন প্রভৃতি নির্ণয়ের জন্য সমাকলন পদ্ধতির প্রয়োগ শুরু হয়। আর এই প্রায়োগিক আবিষ্কারের অংশীদার যৌথভাবে ইংরেজ বিজ্ঞানী স্যার আইজাক নিউটন এবং জার্মান বিজ্ঞানী গট‌ফ্রিড লাইব‌নিৎস। সপ্তদশ শতাব্দীর শেষ ভাগে এই আবিষ্কারের ঘটনা ঘটে এবং নিউটন এবং লাইব‌নিৎস পরস্পর স্বাধীনভাবে এটি আবিষ্কার করেন। এজন্য দীর্ঘদিন পর্যন্ত নিউটন ও লাইব‌নিৎস সমর্থকদের মধ্যে এ আবিষ্কার নিয়ে দ্বন্দ্ব্ব্ব্ব ছিল।

তবে নিউটনের এ আবিষ্কার সম্বন্ধে কথিত আছে যে তিনি একদিন একটি আপেল গাছের নিচে বসে ছিলেন। এমন সময় গাছ হতে একটি আপেল তার পড়ে যায় আর তিনি লক্ষ্য করেন যে আপেল যখন পড়তে থাকে তখন তার গতিবেগ ধীরে ধীরে বাড়তে থাকে।

ব্যবহার

যদি রাশি y রাশি x এর একটি অপেক্ষক হয়, তাহলে অন্তরকলনের সাহায্যে x এর কোন মানের জন্যে y এর মান সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন, তা নির্ণয় করা যায়। পদার্থ-বিজ্ঞানে বহু ক্রিয়া সময়ের উপর নির্ভরশীল। এগুলির জন্য যে সমীকরণ, সেগুলি সমধান করতে অন্তরকলনের প্রয়োজন।

সহজ একটি ক্ষেত্রে, y=f(x)=mx+b,বাস্তব সংখ্যার m ও b, এবং নতি হবে m=Δy/Δx

যেখানে চিহ্ন Δ হল (গ্রিক বর্ণ Delta এর বড়হাতের অক্ষর) জন্য "ঐ ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের" একটি সংক্ষেপ।যখন Δx ০ এর দিকে যায় তখন একে dy/dx আকারে প্রকাশ করা হয়।

একটি বিন্দু a তে একটি ফাংশন f এর অন্তরকলজ হবে-

$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

উদাহরণ

ফাংশন f(x)=x² এর x= 3 এ ,অন্তরকলনযোগ্য এবং তার অন্তরকলজ হয় 6.

$f'(3)= \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6.$

সন্ততা এবং অন্তরকলন

একটি ফাংশনের অন্তরকলজ থাকার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হল ফাংশনটি সন্তত হবে কিন্তু এই শর্ত পর্যাপ্ত নয়।

উচ্চতর অন্তরকলজ

একটি ফাংশনের অন্তরকলজকে পুনরায় অন্তরকলন করলে দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ পাওয়া যায়; তাকে f′′(x) রূপে প্রকাশ করা হয়। অনুরূপে উচ্চতর অন্তরকলজগুলি পাওয়া যায়।

অন্তরকলজ বের করার নিয়ম

• যদি f(x) একটি ধ্রুবক হয় , তাহলে

$f' = 0. \,$

• যোগের নিয়ম

$(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,$ α ও β বাস্তব সংখ্যা

• গুণের নিয়ম

$(fg)' = f 'g + fg' \,$

• ভাগের নিয়ম

$\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ ;g ≠ 0

• চেইন নিয়ম

যদি $f(x) = h(g(x))$ হয় তবে

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,$

কয়েকটি সূত্র

দেখুন অন্তরকলন সূচী

আরও দেখুন

• সমাকলন
• অন্তরকলন সূচী

---