মেট্রিক্স

মেট্রিক্স (ইংরেজি Matrix) একটি গাণিতিক শব্দ ।

মেট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন নম্বরের একধরণের আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাসকে বুঝায় যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ :

1. কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
2. কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা

একটি মেট্রিক্সের গঠন

মেট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায় আয়তাকারে সারি ও কলামে বা শুধু সারিতে বা শুধু কলামে সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠি একটি মেট্রিক্স গঠন করে।

একটি মেট্রিক্স কে তার সারি এবং কলাম সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: $A= \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{1,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix}$

উপরোক্ত মেট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a₁₁, a₁₂ প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n মেট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের মেট্রিক্সকে A=[a_mn] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রকারভেদ

কলাম মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে।

যেমন : $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

সারি মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে।

যেমন : $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

বর্গ(square) মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোন মেট্রিক্স [a_ij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যট্রিক্স বলে।

যেমন : $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

কর্ণ(diagonal) মেট্রিক্স

যদি কোন বর্গ ম্যট্রিক্সের উপাদানগুলোর মধ্যে কর্ণ ব্যাতীত সকল উপাদানের মান শুন্য(০) হয় তবে তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি মেট্রিক্স[a_ij]-এর উপদান এমন হয় যে a_ij=0, যখন $i \neq \ j$ তখন তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

অভেদক(identity) মেট্রিক্স

একটি বর্গ মেট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শুন্য(০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক(1) হয় তবে তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে। সকল অভেদক মেট্রিক্স-ই কর্ণ মেট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো মেট্রিক্স [a_ij]-এর উপাদান এমন হয় যে a_ij=0 যখন $i \neq \ j$ এবং a_ij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে।

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

শূণ্য মেট্রিক্স

যখন কোনো মেট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শুন্য হয় তাকে শুন্য মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_{ij] একটি শুন্য মেট্রিক্স যখন aij=0।}

_{যেমন: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$}

_{প্রতিসম (Symmetric) মেট্রিক্স}

_{যে অশুন্য বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij=aji। যেমন: $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & 6 \\ 2 & 6 & 2 \end{bmatrix}$}

_{স্কিউ(skew) প্রতিসম মেট্রিক্স}

_{যে বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ মেট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সম্বলিত মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে স্কিউ প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij= -aji।}

_{উদাহরণ:$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -6 \\ -2 & 6 & 2 \end{bmatrix}$}

_{হার্মেশিয়ান(hermetian) মেট্রিক্স}

_{$\begin{bmatrix} 1 & 3-2i & 2 \\ 3+2i & 0 & -6 \\ -2 & 6 & 2 \end{bmatrix}$}

_{মেট্রিক্সের বীজগণিত}

_{মূল নিবন্ধ: মেট্রিক্সের বীজগণিত}

_যোগ

_{মূল নিবন্ধ: মেট্রিক্সের যোগ}

_{দুইটি mXn মেট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি mXn মেট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j])। উদাহরণঃ}

_{$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$}

_{স্কেলার গুণন}

_{মূল নিবন্ধ: মেট্রিক্সের গুণন}

_{একটি মেট্রিক্স A এবং একটি রাশি বা সংখ্যা c, স্কেলার গুণন cA গণনা করা হয় স্কেলার রাশি c কে A এর প্রতিটি উপাদান দিয়ে গুণ করে (অর্থ্যাৎ, (cA)[i, j] = cA[i, j] )। উদাহরণঃ}

_{$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$}

_{মেট্রিক্স গূণন}

_{$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$}

_{বহিঃসংযোগ}

• _{সম্পদ বা উপায়}
  • _{Matrix name and history: very brief overview, ualr.edu}
  • _{Introduction to Matrix Algebra: definitions and properties, xycoon.com}
  • _{Matrix Algebra, sosmath.com}
  • _{The Matrix Reference Manual, ইম্পেরিয়াল কলেজ, যুক্তরাজ্য}

• _{অনলাইন মেট্রিক্সের গণক}
  • _{easycalculation.com}
  • _bluebit.gr
  • _{wims.unice.fr}

• _{ফ্রিওয়ার}
  • _{MATRIX 2.1 Excel add-in, foxes}
  • _{MacAnova, ইউনিভার্সিটি অব মিনেসোটা প্ররিসংখ্যানের বিদ্যালয়}