মেট্রিক্স

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

মেট্রিক্স (ইংরেজি Matrix) একটি গাণিতিক শব্দ ।

মেট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন নম্বরের একধরণের আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাসকে বুঝায় যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ :

  1. কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
  2. কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
একটি মেট্রিক্সের গঠন

মেট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায় আয়তাকারে সারি ও কলামে বা শুধু সারিতে বা শুধু কলামে সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠি একটি মেট্রিক্স গঠন করে।

একটি মেট্রিক্স কে তার সারি এবং কলাম সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: 
A=  \begin{bmatrix}
   a_{1,1} & a_{1,2}  & \cdots & a_{1,n} \\
   a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{1,n} \\
   \cdots & \cdots & \cdots \\
   a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} 
  \end{bmatrix}

উপরোক্ত মেট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a11, a12 প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n মেট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের মেট্রিক্সকে A=[amn] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রকারভেদ[সম্পাদনা]

কলাম মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে।

যেমন : 
 \begin{bmatrix}
 1 \\
 2 \\
 3
 \end{bmatrix}

সারি মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে।

যেমন : 
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3
 \end{bmatrix}

বর্গ(square) মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে মেট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোন মেট্রিক্স [aij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যট্রিক্স বলে।

যেমন : 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}

কর্ণ(diagonal) মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যদি কোন বর্গ ম্যট্রিক্সের উপাদানগুলোর মধ্যে কর্ণ ব্যাতীত সকল উপাদানের মান শুন্য(০) হয় তবে তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি মেট্রিক্স[aij]-এর উপদান এমন হয় যে aij=0, যখন i \neq \ j তখন তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। 
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 3
  \end{bmatrix}

অভেদক(identity) মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

একটি বর্গ মেট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শুন্য(০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক(1) হয় তবে তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে। সকল অভেদক মেট্রিক্স-ই কর্ণ মেট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো মেট্রিক্স [aij]-এর উপাদান এমন হয় যে aij=0 যখন i \neq \ j এবং aij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে।


  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}

শূণ্য মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যখন কোনো মেট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শুন্য হয় তাকে শুন্য মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি শুন্য মেট্রিক্স যখন aij=0।

যেমন: 
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0  \\
    0 & 0 
  \end{bmatrix}

প্রতিসম (Symmetric) মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে অশুন্য বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij=aji। যেমন: 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    3 & 0 & 6 \\
    2 & 6 & 2
  \end{bmatrix}

স্কিউ(skew) প্রতিসম মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

যে বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ মেট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সম্বলিত মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে স্কিউ প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij= -aji

উদাহরণ:
  \begin{bmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    3 & 0 & -6 \\
    -2 & 6 & 2
  \end{bmatrix}

হার্মেশিয়ান(hermetian) মেট্রিক্স[সম্পাদনা]


  \begin{bmatrix}
    1 & 3-2i & 2 \\
    3+2i & 0 & -6 \\
    -2 & 6 & 2
  \end{bmatrix}

স্কিউ হার্মেশিয়ান মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

মেট্রিক্সের বীজগণিত[সম্পাদনা]

যোগ[সম্পাদনা]

দুইটি mXn মেট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি mXn মেট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j])। উদাহরণঃ


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}

স্কেলার গুণন[সম্পাদনা]

একটি মেট্রিক্স A এবং একটি রাশি বা সংখ্যা c, স্কেলার গুণন cA গণনা করা হয় স্কেলার রাশি c কে A এর প্রতিটি উপাদান দিয়ে গুণ করে (অর্থ্যাৎ, (cA)[i, j] = cA[i, j] )। উদাহরণঃ

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}

মেট্রিক্স গূণন[সম্পাদনা]


  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}

র‌্যাংক[সম্পাদনা]

অনুরাশি(minor)[সম্পাদনা]

সারি ও কলামের সমন্ম এ ম্যাট্রিক্স তৈরী হয়

সহগুণক(cofactor)[সম্পাদনা]

মেট্রিক্সের বিপরীত[সম্পাদনা]

ট্রান্সপোজ[সম্পাদনা]

অনুবন্ধী মেট্রিক্স[সম্পাদনা]

বহিঃসংযোগ[সম্পাদনা]