উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
সাধারণ ক্যালকুলাসের উদাহরণ সমাকলন বা যোগজীকরণ (Integration) হচ্ছে সমাকলনবিদ্যার (integral calculus) মৌলিক অংশ। অবকলন (differentiation) এর কতগুলো খুব সহজ সূত্র রয়েছে, যার মাধ্যমে অবকলন করে জটিল ফাংশনগুলোর সাধিত পদ খুব সহজে বের করা যায়, যা সমাকলন বা যোগজীকরণ (Integration)-এ হয় না। এজন্য কিছু পরিচিত রাশি ব্যবহার হয়ে থাকে। এখানে কিছু বহুল প্রচলিত অনির্দিষ্ট সমাকল (ইংরেজি : indefinite integral) এর তালিকা তুলে ধরা হল;
মূলদ অপেক্ষকের সূত্র [ সম্পাদনা ]
∫
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int \,{\rm {d}}x=x+C}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
if
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
লগ্যারিদমিক সূত্র [ সম্পাদনা ]
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}
ত্রিকোণমিতিক সূত্র [ সম্পাদনা ]
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
ln
|
sec
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
cos
x
d
x
=
ln
|
cos
x
−
cot
x
|
+
C
{\textstyle \int \cos {x}\,dx=\ln {\left|\cos {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
sin
n
x
{\displaystyle \sin ^{n}x}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
বিপরীত ত্রিকোণামিতিক সূত্র [ সম্পাদনা ]
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
sin
−
1
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
cos
−
1
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
sec
−
1
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+C}
হাইপারবোলিক সূত্র [ সম্পাদনা ]
∫
sinh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
∫
sech
2
x
d
x
=
tanh
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}
বিপরীত হাইপারবোলিক সূত্র [ সম্পাদনা ]
∫
arsinh
x
d
x
=
x
arsinh
x
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arcosh
x
d
x
=
x
arcosh
x
−
x
+
1
x
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x+1}}\,{\sqrt {x-1}}+C}
∫
artanh
x
d
x
=
x
artanh
x
+
ln
(
x
2
−
1
)
2
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,x^{2}-1\right)}{2}}+C}
∫
arcoth
x
d
x
=
x
arcoth
x
+
ln
(
1
−
x
2
)
2
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}+C}
∫
arsech
x
d
x
=
x
arsech
x
−
2
arctan
1
−
x
1
+
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x-2\,\arctan {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C}
∫
arcsch
x
d
x
=
x
arcsch
x
+
artanh
1
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C}
যেক্ষেত্রে অপেক্ষকের দ্বিতীয় অবকল অপেক্ষকের সমানুপাতি সেইরূপ অপেক্ষকের গুণফল [ সম্পাদনা ]
∫
cos
a
x
e
b
x
d
x
=
e
b
x
a
2
+
b
2
(
a
sin
a
x
+
b
cos
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}
∫
sin
a
x
e
b
x
d
x
=
e
b
x
a
2
+
b
2
(
b
sin
a
x
−
a
cos
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}
∫
cos
a
x
cosh
b
x
d
x
=
1
a
2
+
b
2
(
a
sin
a
x
cosh
b
x
+
b
cos
a
x
sinh
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}
∫
sin
a
x
cosh
b
x
d
x
=
1
a
2
+
b
2
(
b
sin
a
x
sinh
b
x
−
a
cos
a
x
cosh
b
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
টেমপ্লেট:AS ref Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (১৯৮৭) [1945]। Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea, সম্পাদকগণ। Taschenbuch der Mathematik 1 । Ziegler, Viktor কর্তৃক অনূদিত। Weiß, Jürgen (23 সংস্করণ)। Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig)। আইএসবিএন 3-87144-492-8 । Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (২০১৫) [October 2014]। Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo, সম্পাদকগণ। Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. । আইএসবিএন 978-0-12-384933-5 । এলসিসিএন 2014010276 । Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (১৯৮৮–১৯৯২) [1981−1986 (Russian)]। Integrals and Series (English ভাষায়)। 1–5 । Queen, N. M. কর্তৃক অনূদিত (1 সংস্করণ)। (Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press । আইএসবিএন 2-88124-097-6 । Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas . Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, আইএসবিএন ১-৫৮৪৮৮-৯৫৬-X / 9781584889564.
Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. আইএসবিএন ১-৫৮৪৮৮-২৯১-৩ . (Many earlier editions as well.)
Meyer Hirsch [de ] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln Meyer Hirsch [de ] , Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae Integraltafeln ]David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899) সমাকলনের তালিকা [ সম্পাদনা ] ওপেন সোর্স প্রোগ্রাম [ সম্পাদনা ] 
[math.CA]।
