ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

সহজ ভাষায় ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি হলো, ডিফারেন্সিয়েশন এবং ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া দুইটি একে অপরের বিপরীত।

উপপাদ্য

কোন ফাংশন $f$ এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন $f'$ হয়, তবে,

$\int_{a}^{b} f'(u)\,du = f(a) - f(b)$

আবার, কোন ফাংশন $f$ এর জন্য

${d \over dx} \int_{a}^{x} f(u)\,du = f(x)$

বহুচলকবিশিষ্ট ফাংশনের জন্য

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

গাউসের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো $\mbox{div}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন।

$\int_{R} \mbox{div}\, \mathbf{v} \,dV = \int_{R} \nabla \cdot \mathbf{v} \,dV = \int_{\partial R} \mathbf{v} \cdot \, d\mathbf{A}$

স্টোক্‌সের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো $\mbox{curl}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন।

$\int_{R} \mbox{curl}\, \mathbf{v} \cdot \,dA = \int_{R} \nabla \times \mathbf{v} \cdot \,dA = \int_{\partial R} \mathbf{v} \cdot \, d\mathbf{l}$

ডিফারেন্সিয়াল ফর্মের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

$\int_{R} d\omega = \int_{\partial R} \omega$

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।