বীজগাণিতিক টপোলজি

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
একটি টরাস, বীজগণিতীয় টপোলজিতে যেসব বিষয় সবচেয়ে বেশি অধ্যয়ন করা হয় সেগুলোর মধ্যে একটি

বীজগাণিতিক টপোলজি হল গণিতের একটি শাখা যেখানে টপোলজিকাল স্পেস অধ্যয়নের জন্য বিমূর্ত বীজগণিত থেকে বিভিন্ন বিষয়াদি অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এটির মূল লক্ষ্য হল বীজগণিতের অপরিবর্তনগুলো (ইনভ্যারিয়েন্ট) খুঁজে বের করা যা হোমোমরফিজম পর্যন্ত টপোলজিকাল স্পেসকে শ্রেণীবদ্ধ করে। যদিও বেশিরভাগ ক্ষেত্রে হোমোটোপি সমতুল্য পর্যন্ত শ্রেণীবদ্ধ করা হয়।

যদিও বীজগণিতীয় টপোলজি প্রাথমিকভাবে টপোলজিকাল সমস্যাগুলো নিয়ে আলোচনার জন্য বীজগণিতকে ব্যবহার করে, আবার বীজগাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য টপোলজি ব্যবহার করাও অনেক ক্ষেত্রে সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, বীজগণিতীয় টপোলজি প্রমাণ করে, একটি মুক্ত গোষ্ঠীর যেকোনো উপগোষ্ঠী আবার নিজেই একটি মুক্ত গোষ্ঠী

প্রধান শাখাসমূহ[সম্পাদনা]

বীজগাণিতিক টপোলজিতে অধ্যয়ন করা হয় এমন কিছু বিষয় নীচে উল্লেখ করা হলো:

হোমোটোপি গ্রুপ[সম্পাদনা]

গণিতে টপোলজিকাল স্পেস শ্রেণীবদ্ধ করতে বীজগাণিতিক টপোলজিতে হোমোটোপি গ্রুপ ব্যবহার করা হয়। প্রথম এবং সবচেয়ে সহজ হোমোটোপি গ্রুপ হল মৌলিক গ্রুপ, যা একটি স্থানের লুপ সম্পর্কে তথ্য লিপিবদ্ধ করে। হোমোটোপি গ্রুপগুলো টপোলজিক্যাল স্পেসের মৌলিক আকৃতি বা খাদ সম্পর্কে তথ্য লিপিবদ্ধ করে।

হোমোলজি[সম্পাদনা]

বীজগাণিতিক টপোলজি এবং বিমূর্ত বীজগণিতে হোমোলজি ( গ্রীক ὁμός homos "অভিন্ন" থেকে) হচ্ছে একটি সাধারণ পদ্ধতি যা একটি প্রদত্ত গাণিতিক বস্তু যেমন একটি টপোলজিকাল স্পেস বা একটি গোষ্ঠীর সাথে অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ বা মডিউলগুলোর একটি ক্রম যুক্ত করে। [১]

কোহোমোলজি[সম্পাদনা]

হোমোলজি তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক টপোলজিতে কোহোমোলজি হল একটি সাধারণ শব্দ যা কোচেন কমপ্লেক্সে সংজ্ঞায়িত অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলোর একটি ক্রম। অর্থাৎ, কোহোমোলজিকে কোচেন, কোসাইকেল এবং কোবাউন্ডারির বিমূর্ত অধ্যয়ন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়। কোহোমোলজিকে এমন একটি টপোলজিকাল স্পেসে বীজগাণিতিক পরিবর্তনগুলো যুক্ত করার একটি পদ্ধতি হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে হোমোলজির চেয়ে আরও পরিমার্জিত বীজগাণিতিক কাঠামো রয়েছে। হোমোলজি তৈরি করবার বীজগাণিতিক দ্বৈতকরণ থেকে কোহোমোলজির উদ্ভব হয়। কম বিমূর্তভাবে সংজ্ঞায়িত করলে, মৌলিক অর্থে কোচেনগুলো হোমোলজি তত্ত্বের চেইনগুলোতে "পরিমাণ" নির্ধারণ করে।

বহুভাঁজ[সম্পাদনা]

বহুভাঁজ হল একটি টপোলজিক্যাল স্থান যা প্রতিটি বিন্দুর কাছাকাছি ইউক্লিডীয় স্থানের অনুরূপ। উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে সমতল, গোলক এবং টরাস। এগুলোকে তিনটি মাত্রায় উপলব্ধি করা যায়, তবে ক্লেইন বোতল এবং বাস্তব প্রজেক্টিভ প্লেন যা তিনটি মাত্রায় এম্বেড করা যায় না, তবে চারটি মাত্রায় এম্বেড করা যেতে পারে। সাধারণত, বীজগণিতের টপোলজির ফলাফল বৈশ্বিক, বহুগুণগুলির অ-পার্থক্যের দিকে ফোকাস করে; উদাহরণস্বরূপ পয়েনকেয়ার দ্বৈততা

গিঁট তত্ত্ব[সম্পাদনা]

নট তত্ত্ব হল গাণিতিক গিঁটের বিষয়ে অধ্যয়ন। জুতার ফিতা এবং দড়িতে দৈনন্দিন জীবনে প্রদর্শিত গিঁটগুলি দ্বারা অনুপ্রাণিত হলেও, একজন গণিতজ্ঞের গিঁট আলাদা হয় যে প্রান্তগুলি সংযুক্ত থাকে যাতে এটি পূর্বাবস্থায় ফেরানো যায় না। সুনির্দিষ্ট গাণিতিক ভাষায়, একটি গিঁট হল ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের একটি বৃত্তের এমবেডিং, . দুটি গাণিতিক গিঁট সমান হয় যদি একটিকে বিকৃতির মাধ্যমে অন্যটিতে রূপান্তরিত করা যায় নিজের উপর (একটি পরিবেষ্টিত আইসোটোপি হিসাবে পরিচিত); এই রূপান্তরগুলি একটি গিঁটযুক্ত স্ট্রিংয়ের ম্যানিপুলেশনের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ যা স্ট্রিংটি কাটা বা স্ট্রিংটিকে নিজের মাধ্যমে পাস করা জড়িত নয়।

কমপ্লেক্স[সম্পাদনা]

একটি সিমপ্লিসিয়াল 3-কমপ্লেক্স।

সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স হল একটি নির্দিষ্ট ধরণের টপোলজিক্যাল স্পেস, যা বিন্দু, রেখার অংশ, ত্রিভুজ এবং তাদের এন -ডাইমেনশনাল কাউন্টারপার্টস একসাথে যুক্ত করে নির্মিত হয় (চিত্র দেখুন)। আধুনিক সরল হোমোটোপি তত্ত্বে বর্ণিত একটি সিমপ্লিসিয়াল সেটের অন্যান্য বিমূর্ত ধারণার সাথে সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সগুলোকে মিলিয়ে ফেলা উচিত নয়। একটি সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সের পূর্ণরূপে সমন্বিত প্রতিরূপ হল একটি বিমূর্ত সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স

CW কমপ্লেক্স হল এক ধরনের টপোলজিকাল স্পেস যা জেএইচসি হোয়াইটহেড হোমোটোপি তত্ত্বের চাহিদা মেটাতে প্রবর্তন করেছে। স্পেসগুলির এই শ্রেণিটি বিস্তৃত এবং সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্সের তুলনায় কিছু ভাল শ্রেণীগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, কিন্তু তারপরও একটি সমন্বিত প্রকৃতি বজায় রাখে যা গণনা করার অনুমতি দেয় (প্রায়শই অনেক ছোট কমপ্লেক্সের সাথে)।

বীজগাণিতিক পরিবর্তনের পদ্ধতি[সম্পাদনা]

এই বিষয়টিকে পূর্বে কম্বিনেটরিয়াল টপোলজি বলা হতো, যেখানে আলোচনা করা হয় যে একটি এক্স স্পেস কীভাবে সরল স্পেস থেকে তৈরি করা হয় [২] (এই ধরনের নির্মাণের জন্য আধুনিক মানক সরঞ্জাম হল CW কমপ্লেক্স )। ১৯২০ এবং ১৯৩০-এর দশকে, বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলো থেকে তাদের চিঠিপত্রের সন্ধান করে টপোলজিকাল স্পেসগুলো নিয়ে তদন্তের উপর ক্রমবর্ধমান জোর দেওয়া হয়েছিল, যার ফলে এটির নাম পরিবর্তন করে বীজগাণিতিক টপোলজি রাখা হয়েছিল। [৩] কম্বিনেটরিয়াল টপোলজি নামটি এখনও কখনও কখনও স্থানগুলোর বিকারের উপর ভিত্তি করে একটি অ্যালগরিদমিক পদ্ধতির উপর জোর দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়। [৪]

বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে, কেউ একজন স্পেস এবং গোষ্ঠীর মধ্যে একটি চিঠিপত্র খুঁজে পায় যা স্থানগুলোর হোমোমরফিজম (বা আরও সাধারণ অর্থে হোমোটোপি ) এর সম্পর্ককে গুরুত্ব দেয়। এটি টপোলজিকাল স্পেস সম্পর্কে বিবৃতিগুলোকে গোষ্ঠীগুলোর বিবৃতিগুলোতে পুনঃস্থাপন করে ফেলে, যেগুলোর অনেকগুলোর পরিচালনাযোগ্য কাঠামো রয়েছে, যা প্রায়শই এই বিবৃতিগুলোকে প্রমাণ করা সহজ করে তোলে। দুটি প্রধান উপায়ে এটি করা যেতে পারে তা হল মৌলিক গোষ্ঠীগুলোর মাধ্যমে, বা আরও সাধারণভাবে হোমোটোপি তত্ত্ব, এবং হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপের মাধ্যমে। মৌলিক গোষ্ঠীগুলো আমাদের টপোলজিকাল স্পেসের গঠন সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য দেয়, তবে এগুলো প্রায়শই ননবেলিয়ান হয় এবং এগুলো নিয়ে কাজ করাও কিছুটা কঠিন। একটি (সীমিত) সিমপ্লিসিয়াল জটিলতার মৌলিক গোষ্ঠীর একটি সসীম উপস্থাপনা থাকা সম্ভব।

অন্যদিকে, হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপগুলো, আবেলিয়ান এবং অনেক গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে সসীমভাবে তৈরি করা যায়। চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলো সম্পূর্ণরূপে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় এবং এগুলো নিয়ে কাজ করা বেশ সহজ।

বিভাগ তত্ত্বে সেট করা[সম্পাদনা]

সাধারণভাবে বীজগাণিতিক টপোলজির সকল গঠনই কার্যকারীবিভাগ, চালক এবং প্রাকৃতিক রূপান্তরের ধারণা এখানে উদ্ভূত হয়েছে। মৌলিক গোষ্ঠী, হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলো কেবল অন্তর্নিহিত টপোলজিকাল স্পেসের পরিবর্তন নয়, এই অর্থে যে দুটি টপোলজিকাল স্পেস যেগুলো হোমোমরফিক সম্পর্কিত গ্রুপে রয়েছে, তাদের সম্পর্কিত মরফিজমগুলিতেও মিল রয়েছে - স্পেসগুলোর একটি ক্রমাগত ম্যাপিং গ্রুপ হোমোমরফিজমকে তৈরি করে। সংশ্লিষ্ট গোষ্ঠী, এবং এই হোমোমরফিজমগুলো ম্যাপিংয়ের অ-অস্তিত্ব (বা, আরও গভীরভাবে, অস্তিত্ব) দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

বিভিন্ন ধরনের কোহোমোলজি নিয়ে কাজ করা প্রথম গণিতবিদদের একজন ছিলেন জর্জেস ডি রহ্যাম। বহুগুণে সংজ্ঞায়িত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সমাধানযোগ্যতা বের করতে যে কেউ ডি রহ্যাম কোহোমোলজি বা চেক বা শেফ কোহোমোলজির মাধ্যমে মসৃণ বহুগুণগুলোর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করতে পারেন। ডি রহ্যাম দেখিয়েছিলেন যে এই সমস্ত পদ্ধতিগুলো পরস্পর সম্পর্কিত ছিল এবং একটি বন্ধ, ভিত্তিক বহুগুণের জন্য, সরল হোমোলজির মাধ্যমে প্রাপ্ত বেটি সংখ্যাগুলো আসলে একই বেটি সংখ্যা ছিল যেগুলো ডি রাম কোহোমোলজির মাধ্যমে পাওয়া যায়। এটি ১৯৫০ এর দশকে আরও প্রসারিত হয়, যখন স্যামুয়েল আইলেনবার্গ এবং নরম্যান স্টেনরড এই পদ্ধতির সাধারণীকরণ করেছিলেন। তারা হোমোলজি এবং কোহোমোলজিকে একটি নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধ সাপেক্ষে প্রাকৃতিক রূপান্তর এর মাধ্যমে সজ্জিত চালক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন (যেমন, শূন্যস্থানের একটি দুর্বল সমতা হোমোলজি গ্রুপগুলোর একটি আইসোমরফিজমের দিকে অগ্রসর হয়), এটি যাচাই করে যে সমস্ত বিদ্যমান (কো) হোমোলজি তত্ত্বগুলো এই স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বগুলোকে সন্তুষ্ট করে এবং প্রমাণ করে যে এই ধরনের একটি স্বতঃসিদ্ধকরণ ওই তত্ত্বটিকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করতে পারে।

প্রয়োগ[সম্পাদনা]

বীজগাণিতিক টপোলজির সর্বোত্তম কিছু প্রয়োগ:

উল্লেখযোগ্য মানুষ[সম্পাদনা]

গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য[সম্পাদনা]

আরও দেখুন[সম্পাদনা]

মন্তব্য[সম্পাদনা]

  1. Fraleigh (1976)
  2. Fréchet, Maurice; Fan, Ky (২০১২), Invitation to Combinatorial Topology, Courier Dover Publications, পৃষ্ঠা 101, আইএসবিএন 9780486147888 .
  3. Henle, Michael (১৯৯৪), A Combinatorial Introduction to Topology, Courier Dover Publications, পৃষ্ঠা 221, আইএসবিএন 9780486679662 .
  4. Spreer, Jonathan (২০১১), Blowups, slicings and permutation groups in combinatorial topology, Logos Verlag Berlin GmbH, পৃষ্ঠা 23, আইএসবিএন 9783832529833 .

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  • Allegretti, Dylan G. L. (২০০৮), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem  (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
  • Bredon, Glen E. (১৯৯৩), Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 139, Springer, আইএসবিএন 0-387-97926-3 .
  • Brown, R. (২০০৭), Higher dimensional group theory, ২০১৬-০৫-১৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২০২২-০৮-১৭  (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
  • Brown, R.; Razak, A. (১৯৮৪), "A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces", Arch. Math., 42, পৃষ্ঠা 85–88, এসটুসিআইডি 122228464, ডিওআই:10.1007/BF01198133 . "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
  • Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (২০০২), "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space", Theory Appl. Categories, 10 (2), পৃষ্ঠা 71–93 .
  • Brown, R.; Higgins, P.J. (১৯৭৮), "On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces", Proc. London Math. Soc., S3-36 (2), পৃষ্ঠা 193–212, ডিওআই:10.1112/plms/s3-36.2.193 . "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
  • Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (২০১১), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15, European Mathematical Society, arXiv:math/0407275অবাধে প্রবেশযোগ্য, আইএসবিএন 978-3-03719-083-8, ২০০৯-০৬-০৪ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা  This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
  • Fraleigh, John B. (১৯৭৬), A First Course In Abstract Algebra (2nd সংস্করণ), Reading: Addison-Wesley, আইএসবিএন 0-201-01984-1 
  • Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (১৯৮১), Algebraic Topology: A First Course, Revised editionবিনামূল্যে নিবন্ধন প্রয়োজন, Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, আইএসবিএন 9780805335576 . A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
  • Hatcher, Allen (২০০২), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, আইএসবিএন 0-521-79540-0 . A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
  • Higgins, Philip J. (১৯৭১), Notes on categories and groupoids, Van Nostrand Reinhold, আইএসবিএন 9780442034061 
  • Maunder, C. R. F. (১৯৭০), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, আইএসবিএন 0-486-69131-4 .
  • tom Dieck, Tammo (২০০৮), Algebraic Topology, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, আইএসবিএন 978-3-03719-048-7 
  • van Kampen, Egbert (১৯৩৩), "On the connection between the fundamental groups of some related spaces", American Journal of Mathematics, 55 (1), পৃষ্ঠা 261–7, জেস্টোর 51000091 

আরও পড়ুন[সম্পাদনা]

টেমপ্লেট:টপোলজি