কোণ ত্রিখণ্ডন

নিউসিস পদ্ধতির মাধ্যমে যেকোনো কোণ কে সমত্রিখণ্ডিত করা যায়। চিত্রে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান একটি স্কেল দিয়ে যেকোনো একটি কোণ $\theta >{\frac {3\pi }{4}}$ কে সমত্রিখণ্ডিত করে $\varphi ={\frac {\theta }{3}}$ অংকন করা হয়েছে।

কোণ ত্রিখন্ডন হলো কোনো কোণ কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করা। কেবলমাত্র দুটি সরঞ্জাম: ১) একটি কম্পাস এবং ২) একটি দাগবিহীন রুলার বা স্কেল ব্যবহার করে যেকোনো প্রদত্ত কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করা ছিল প্রাচীন গ্রীক গণিতের একটি ঐতিহাসিক সমস্যা, কেননা কেবলমাত্র এই দুটি সরঞ্জাম ব্যবহার করে গ্রীক গণিতবীদগণ একটি কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করতে ব্যর্থ হয়।

এমনকি, ১৮৩৭ সালে পিয়ের ভনযেল প্রমাণ করেন কেবলমাত্র একটি কম্পাস এবং দাগবিহীন স্কেল ব্যবহার করে প্রদত্ত যেকোনো কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করা অসম্ভব। তবে কিছু বিশেষ কোণ, যেমন একটি ৯০° কোণকে কেবলমাত্র একটি কম্পাস এবং দাগবিহীন স্কেল ব্যবহার করে সমত্রিখণ্ডিত করা যায়।

উল্লেখ্য যে, কেবলমাত্র একটি কম্পাস এবং দাগবিহীন স্কেল ব্যতিত অন্যান্য সরঞ্জাম ব্যবহার করে প্রদত্ত যেকোনো কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করা যায়। যেমন, নিউসিস পদ্ধতির মাধ্যমে একটি দাগকাটা স্কেল ব্যবহার করে একই সাথে স্কেলটিকে ঘুরিয়ে ও স্লাইড করে কোনো কোণকে সমত্রিখণ্ডিত করা যায়, যা কম্পাস এবং দাগবিহীন স্কেল দ্বারা করা যায়না।

দৃষ্টিকোণ এবং অন্যান্য সমস্যার সাথে সম্পর্ক

একটি কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করার পদ্ধতি অনেক আগেই বের করা হয়েছে।

কেবলমাত্র দাগহীন সোজাপ্রান্ত ও কম্পাস কম্পাস ব্যবহার করে গ্রিক গণিতবিদগণ সরলরেখাকে যেকোন সংখ্যক সমানভাগে ভাগ করা, সমান্তরাল রেখা অঙ্কণ, কোণ কোণ দ্বিখণ্ডিত করা, বিভিন্ন বহুভুজ অঙ্কণ করা এবং কোন বহুভুজের সমান বা দ্বিগুণ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গ অঙ্কণ করার কৌশল উদ্ভাবন করেন।

তিনটি সমস্যার সমাধান দুরূহ প্রমাণিত হয়:

• প্রদত্ত যেকোনো কোণ সমান তিন ভাগ করা,
• বর্গকে দ্বিগুণ করা, এবং
• বৃত্তকে বর্গ করা।

সম্ভব না হওয়ার প্রমাণ

কিছু রুলার বা স্কেল। প্রদর্শিত স্কেলগুলো দাগকাটা — একটি আদর্শ স্কেলে দাগকাটা থাকে না।

১৮৩৭ সালে পিয়ের ভনযেল কেনো প্রদত্ত যেকোনো কোণ কে সমত্রিখণ্ডিত করা সম্ভব নয় তার প্রমাণ প্রকাশ করেন। আধুনিক পরিভাষায়, ভ্যানযেলের প্রমাণটি ফীল্ড এক্সটেনশনের ধারণাটি ব্যাবহার করেন যেটি বর্তমানে সাধারণত গ্যালোয়ার তত্ত্বের অন্তর্ভুক্ত। তবে ভ্যানযেল এভারিস্তে গ্যালোয়ার (যার তত্ত্ব ১৮৩০ সালে লিখিত হলেও ১৮৪৬ সালে প্রকাশিত হয়) পূর্বেই তার ফলাফল প্রকাশ করেন এবং তিনি গ্যালোয়ার প্রদত্ত ধারণা ব্যবহার করেননি।

একটি কম্পাস এবং স্কেলের সাহায্যে নির্দিষ্ট মাপের কোনো কোণ $\theta$ অংকন করা যাবে যদি এবং কেবল যদি এমন দুটি রেখাংশ অংকন করা যায় যাদের দৈর্ঘ্যের অনুপাত $\cos \theta$ হয়। ত্রিকোণমিতির সূত্রানুযায়ী, $\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}$।

অর্থাৎ, একক দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ দেওয়া থাকলে, কোনো কোণের এক-তৃতীয়াংশের সমান পরিমাপের কোণ অংকন করতে হলে আরেকটি রেখাংশ অংকন করতে হবে যার দৈর্ঘ্য হবে একটি ত্রিঘাত বহুপদীর মূল। এই বৈশিষ্ট্যের কারণে কোনো কোণ কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করার জ্যামিতিক সমস্যাটিকে একটি বীজগাণিতিক সমস্যায় মাধ্যমে সমাধান করা সম্ভব হয়েছে।

কিছু কম্পাস।

প্রত্যেক মূলদ সংখ্যা অংকন সম্ভব। প্রত্যেক অমূলদ সংখ্যা যা আরেকটি সংখ্যা হতে কেবলমাত্র একটি ধাপে অংকন করা সম্ভব তা হবে একটি দ্বিঘাত বহুপদীর মূল যার সহগ হবে সেই সংখ্যাগুলো দ্বারা গঠিত ফীল্ডের উপাদান। সুতরাং, যে সকল সংখ্যা দুই বা ততোধিক ধাপ অনুসরণ করে অংকন করা সম্ভব তা হবে $2^{n}$ মাত্রা বিশিষ্ট কোনো বহুপদীর মূল যেখানে $n$ শূন্য বা কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা। এই শর্তানুযায়ী, $60^{\circ }$কোণ অংকন করা সম্ভব কিন্তু এর এক-তৃতীয়াংশ $20^{\circ }$কোণ অংকন করা সম্ভব নয়, কারণ— $60^{\circ }$কোণ কে সমত্রিখণ্ডিত করা সম্ভব হলে $\mathbb {Q}$ (সকল মূলদ সংখ্যার সেট) এর ওপর $\cos 20^{\circ }$এর মিনিমাল বহুপদীর মাত্রা হবে $2^{n}$। $\cos 20^{\circ }=t$ ধরলে $\cos 60^{\circ }=4t^{3}-3t$ বা $4t^{3}-3t={\frac {1}{2}}$ অর্থাৎ $8t^{3}-6t-1=0,$ সুতরাং বহুপদীটি হলো $P(t)=8t^{3}-6t-1$। যেহেতু $t,P(t)$ এর একটি উৎপাদক সেহেতু $t$ এর মিনিমাল বহুপদীটি $P(t)$ এর একটি উৎপাদক। আবার, যেহেতু $P(t)$ এর মাত্রা $3$ সেহেতু যদি এটিকে $\mathbb {Q}$ এর ওপর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় তাহলে এর একটি মূল হবে মূলদ এবং মূলদ মূল উপপাদ্য অনুযায়ী তা হবে $\pm 1,\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{4}}$ অথবা $\pm {\frac {1}{8}}$ এর কোনো একটি, কিন্তু এর একটিও উক্ত বহুপদীটির উৎপাদক নয়। সুতরাং, $P(t)$ কে $\mathbb {Q}$ এর ওপর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়না এবং $t=\cos 20^{\circ }$এর মিনিমাল বহুপদীর মাত্রা $3$ যা $2^{n}$ আকারের নয়। তাই $60^{\circ }$কোণ কে সমত্রিখণ্ডিত করাও সম্ভব নয়।

যেসব কোণ কে সমত্রিখণ্ডিত করা সম্ভব

কিছু কোণ ত্রিখণ্ডিত করা যায়, যেমন, স্কেল ও কম্পাস দিয়ে অংকন করা যায় এমন যেকোনো কোণ $\theta$ এর জন্য প্রদত্ত কোণ $3\theta$ মাপবিশিষ্ট হলে প্রদত্ত কোণ নিয়ে কাজ না করে সরাসরি $\theta$ এর সমান কোণ অংকন করে উক্ত কোণকে ত্রিখণ্ডিত করা যায়। আবার কিছু কোণ অংকন করা সম্ভব নয় কিন্তু ত্রিখণ্ডিত করা সম্ভব (যদিও ত্রিখণ্ডিত কোণটিও অংকন করা সম্ভব নয়), ${\frac {3\pi }{7}}$ হলো এমন একটি কোণ, উক্ত মাপের সমান পাঁচটি কোণ মিলে একটি পূর্ণবৃত্ত ও কাঙ্ক্ষিত ${\frac {\pi }{7}}$ কোণ উৎপন্ন করে।

যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $N$ এর জন্য ${\frac {2\pi }{N}}$ মাপবিশিষ্ট কোণকে ত্রিখণ্ডিত করা যাবে যদি ও কেবল যদি $N,{\text{ }}3$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য না হয়। এছাড়া, ${\frac {2\pi }{N}}$ মাপবিশিষ্ট কোণকে অংকন করা সম্ভব হবে যদি ও কেবল যদি $N,{\text{ }}2$ এর কোনো সূচক হয় অথবা $2$ এর কোনো সূচকের সাথে এক বা একাধিক ভিন্ন ভিন্ন ফার্মা সংখ্যার গুণফল হয়।

বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য

উপপাদ্য: $\theta$ মাপবিশিষ্ট একটি কোণকে ত্রিখণ্ডিত করা যাবে যদি ও কেবল যদি $q(t)=4t^{3}-3t-\cos \theta$ বহুপদীটিকে $\mathbb {Q} (\cos \theta )$ ফীল্ড এক্সটেনশনটির মধ্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, যেখানে $\mathbb {Q}$ সকল মূলদ সংখ্যার সেট।

উপরোক্ত $60^{\circ }$কোণের সমত্রিখণ্ডনের অসম্ভবতার প্রমাণের অনুরূপ এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করা যায়।

অন্যান্য সংখ্যকবার ভাগ করা

যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $N$ এর জন্য ${\frac {2\pi }{N}}$ মাপবিশিষ্ট কোণকে স্কেল ও কম্পাসের মাধ্যমে সমান $n$ ভাগে বিভক্ত করা যাবে যদি ও কেবল যদি $n,{\text{ }}2$ এর কোনো সূচক হয় অথবা $2$ এর কোনো সূচকের সাথে এক বা একাধিক ভিন্ন ভিন্ন ফার্মা সংখ্যার গুণফল হয়, যার কোনোটি দ্বারা $N$ নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। কোনো কোণকে সমান তিনভাগ করার ক্ষেত্রে $n=3$ (যা একটি ফার্মা মৌলিক সংখ্যা) যার কারণে পূর্বোক্ত শর্তে $N,{\text{ }}3$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতে পারবে না।

গ্রিক কর্মপন্থার বাইরে কোণ ত্রিখন্ডিত করার উপায়

দাগাঙ্কিত রুলারের সাহায্যে

কোণ ত্রিখণ্ডিত করবার একটি পন্থা হল গ্রিক পদ্ধতির "কিছুটা" পরিবর্তন করে দাগাংকিত রুলার ব্যবহার। আর্কিমিডিস প্রথম এ পদ্ধতির সাহায্যে কোণ তিনভাগ করেন।

এই প্রমাণটি জ্যামিতির নিম্নোক্ত উপপাদ্য মেনে তৈরিকৃত (ডানে):

1. কোন সরলরেখার ওপর অবস্থিত কোণগুলোর সমষ্টি হয় 180°,
2. কোন ত্রিভুজের অন্তর্গত তিন কোণের সমষ্টি 180°, এবং,
3. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহুদ্বয় তৃতীয় বাহুর সাথে সমান কোণ তৈরি করে।

কোণa কে সমত্রিখণ্ডিত করা হবে

ডানের চিত্রে দিকে লক্ষ করে দেখুন; a কোণটি B বিন্দুর বাঁয়ে অবস্থিত। আমরা a কে ত্রিখণ্ডিত করবো।

প্রথমত, একটি রুলারে AB দূরত্বে দাগ কাটা আছে। রেখাটিকে বর্দ্ধিত করে কোণটিকে ছেদ করানো হয় এবং AB ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কণ করা হল।

রুলারটিকে A বিন্দুতে ধরা হল, এবং তারপর সরিয়ে C বিন্দুতে একটি ও D বিন্দুতে একটি দাগ এমনভাবে কাটা হল যেন CD = AB হয়। BC ব্যাসার্ধ অঙ্কণ করা হল। BCD ত্রিভুজের দুই বাহু সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

তাহলে, AB, BC, এবং CD রেখাংশ সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট।

এখন: ত্রিভুজ ABC এবং BCD সমদ্বিবাহু, ফলে উপপাদ্য তিন অনুযায়ী তাদের দুটি কোণ সমান। ছবিটি পুনরায় আঁকা হল, এবং কোণগুলো চিহ্নিত করা হল।

পুনরায়, কোণ a কে দাগাংকিত রুলার ব্যবহার করে সমদ্বিখণ্ডিত করা হল।

অনুমিতি: AD একটি প্রদত্ত রেখা, এবং AB, BC, এবং CD প্রত্যেকেই সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট,

উপসংহার: কোণ $b=(1/3)a$.

প্রমাণ:

ধাপসমূহ:

1. উপপাদ্য 1 অনুযায়ী, চিত্রে, $e+c=180$°.
2. ত্রিভুজ BCD এ, উপপাদ্য 2 অনুযায়ী, $e+2b=180$°.
3. উপরিউক্ত সমীকরণদ্বয় হতে পাই, $c=2b$.
4. 2 নং উপাপদ্যনুযায়ী, $d+2c=180$°, thus $d=180$°$-2c$, ফলে, $d=180$°$-4b$.
5. উপপাদ্য 1 অনুসারে, $a+d+b=180$°, তাই $a+(180$°$-4b)+b=180$°.

এখন, $a-3b=0$, or $a=3b$, প্রমাণিত।

আরও দেখুন

• দ্বিখন্ডন
• নির্মাণযোগ্য সংখ্যা
• নির্মাণযোগ্য বহুভুজ
• ঘনকে দ্বিগুণ করা
• ইউক্লিডীয় জ্যামিতি
• গ্যালোয়া তত্ত্ব
• জ্যামিতির ইতিহাস
• ছেদন তত্ত্ব
• জ্যামিতির বিষয়বস্তুর তালিকা
• মোরলের ত্রিকন্ডক তত্ত্ব
• নিউসিস নির্মাণ
• কোয়াড্রাট্রিক্স
• বৃত্তকে বর্গ করা
• টমাহক (জ্যামিতিক আকৃতি)

বহিঃসংযোগ

• MathWorld site
• Geometric problems of antiquity, including angle trisection
• Some history
• One link of marked ruler construction
• Another, mentioning Archimedes
• A long article with many approximations & means going outside the Greek framework
• Geometry site ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১২ জানুয়ারি ২০১০ তারিখে

ত্রিখণ্ডনের অন্যান্য উপায়

• Trisecting via (Archived 2009-10-25) the limacon of Pascal; see also Trisectrix
• Trisecting via an Archimedean Spiral
• Trisecting via the Conchoid of Nicomedes
• sciencenews.org site on using origami
• Hyperbolic trisection and the spectrum of regular polygons ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ৮ এপ্রিল ২০১০ তারিখে