মহাকর্ষীয় অদ্বৈত অবস্থান

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
(মহাকর্ষীয় ব্যতিক্রমী বিন্দু থেকে পুনর্নির্দেশিত)
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন
শোয়ার্জশিল্ড কৃষ্ণ গহ্বরের একটি পটভূমি ছায়াপথের লাইন-অফ-সাইটকে অতিক্রম করার ফলে সৃষ্টি হওয়া মহাকর্ষীয় লেন্সিংয়ের একটি এনিমেটেড সিমুলেশন। সঠিক এলাইনমেন্টের সময়ে (সিজিজি) এরকম লেন্সিং পর্যবেক্ষণ করা যায়।

মহাকর্ষীয় অদ্বৈত অবস্থান (ইংরেজি: Gravitational singularity) বা স্থানকাল অদ্বৈত অবস্থান (ইংরেজি: Space-time singularity) বা সংক্ষেপে অদ্বৈত অবস্থান (ইংরেজি: Singularity) হচ্ছে স্থানকালের একটি অবস্থান যেখানে সাধারণ আপেক্ষিকতার কারণে মহাবিশ্বের কোন বস্তুর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অসীম হয়ে যায় (গাণিতিকভাবে), এবং এমনভাবে এটা হয় যে এটি আর স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উপর নির্ভর করে না। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের শক্তি পরিমাপ করার জন্য স্থানকালের নির্দিক স্থিররাশি বক্রতাগুলিকে ব্যবহার করা হয়, যার মধ্যে পদার্থের ঘনত্বের পরিমাপও অন্তর্ভূক্ত। যেহেতু এই পরিমাপগুলো অদ্বৈত অবস্থানগুলির ক্ষেত্রে অসীম হয়ে যায়, তাই স্বাভাবিক স্থানকালের সূত্রগুলো সেক্ষেত্রে আর কাজ করতে পারে না।[১][২]

মহাকর্ষীয় অদ্বৈত অবস্থানকে সাধারণ আপেক্ষিকতার আলোচনায় বিবেচনা করা হয় যেখানে কৃষ্ণগহ্বরের কেন্দ্রে আপাতভাবে ঘনত্ব অসীম হয়ে যায়। জ্যোতির্পদার্থবিদ্যামহাবিশ্বতত্ত্বের আলোচনায় মহাবিষ্ফোরণের সময়কার সর্বপ্রথম দশা হিসেবে মহাকর্ষীয় অদ্বৈত অবস্থানকে বিবেচনা করা হয়। এরকম অদ্বৈত অবস্থানকে গণনা করে পাওয়া যায় বলেই যে এর অস্তিত্ব আসলেই আছে বা ছিল (যেমন মহাবিষ্ফোরণের শুরুতে) তা নিয়ে পদার্থবিজ্ঞানীগণ একমত হতে পারেন নি। এরকম চরম ঘনত্বে কী হবে তা ব্যাখ্যা করার জন্য বর্তমান জ্ঞান যথেষ্ট নয় এটাও অনেকে বলে থাকেন।

সাধারণ আপেক্ষিকতা ভবিষ্যদ্বাণী করে যে কোনও বস্তুর নির্দিষ্ট মাত্রা অতিক্রম করলে (যেমন কোন নক্ষত্র শোয়ার্জশিল্ড ব্যাসার্ধ অতিক্রম করলে) তা কৃষ্ণগহ্বরে পরিণত হবে, আর তার অভ্যন্তরে মহাকর্ষীয় অদ্বৈত অবস্থান (একটি ঘটনা দিগন্ত দ্বারা আবৃত) তৈরি হবে।[৩] পেনরোজ-হকিংয়ের অদ্বৈত অবস্থান তত্ত্বগুলি একটি অদ্বৈত অবস্থানকে সংজ্ঞায়িত করে যার জিওডেসিকগুলোকে মসৃণ পদ্ধতিতে বর্ধিত করা যায় না।[৪] এরকম জিওডেসিকের সমাপ্তিকে অদ্বৈত অবস্থান বলে মনে করা হয়।

মহাবিষ্ফোরণের শুরুতে মহাবিশ্বের প্রাথমিক অবস্থাকেও আধুনিক তত্ত্বগুলো অদ্বৈত অবস্থান হিসেবে বলে পূর্বাভাস দিয়েছে।[৫] এই ক্ষেত্রে মহাবিশ্ব মহাকর্ষীয় পতনের ফলে একটি কৃষ্ণগহ্বরে পরিণত হয় নি। কারণ মহাকর্ষীয় পতনের জন্য বর্তমানে পরিচিত গণনা এবং ঘনত্বের সীমাগুলো সাধারণত তুলনামূলকভাবে স্থির আকারের বস্তু (যেমন নক্ষত্র) উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়, মহাবিষ্ফোরণের মত দ্রুত বর্ধনশীল স্থানের ক্ষেত্রে এগুলোকে একই ভাবে প্রযুক্ত নাও হতে পারে। সাধারণ আপেক্ষিকতা বা কোয়ান্টাম বলবিদ্যা কোনটাই বর্তমানে মহাবিষ্ফোরণের শুরুর মুহূর্তগুলোকে বর্ণনা করতে পারে না।[৬] তবে সাধারণভাবে, কোয়ান্টাম বলবিদ্যা কণাগুলোকে তাদের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের চেয়ে কম স্থান অধিকার করার অনুমতি দেয়না।[৭]

ব্যাখ্যা[সম্পাদনা]

পদার্থবিদ্যার অনেক তত্ত্বে কোনও না কোনও ধরনের গাণিতিক অদ্বৈত বিন্দু রয়েছে। এই তত্ত্বগুলোর সমীকরণগুলো থেকে এই পূর্বাভাস আসে যে, কিছু পরিমাণ ভর অসীম হয়ে যায় বা সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। সাধারণভাবে এটি সেই তত্ত্বগুলোতে কোন কিছু অনুপস্থিত থাকার চিহ্ন, যেমন অতিবেগুনী বিপর্যয়, পুনঃস্বাভাবিকীকরণ, এবং লারমরের সূত্র দ্বারা ভবিষ্যদ্বাণী করা হাইড্রোজেনের অস্থিতিশীলতার ক্ষেত্রে এমনটা দেখা গিয়েছিল।

কিছু তত্ত্ব, যেমন লুপ কোয়ান্টাম গ্র্যাভিটি তত্ত্ব নির্দেশ করে যে অদ্বৈত অবস্থানের অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে।[৮] কিছু ধ্রুপদী ইউনিফাইড ফিল্ড থিওরি যেমন আইনস্টাইন-ম্যাক্সওয়েল-ডিরাক সমীকরণের ক্ষেত্রেও এটি সত্য। এই ধারণাটিকে কোয়ান্টাম মহাকর্ষের প্রভাবের আকারে বর্ণনা করা যায়। এটা অনুসারে একটি সর্বনিম্ন দূরত্ব থাকে, ভরগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব যার চেয়ে কমলেও মহাকর্ষ আর বৃদ্ধি পায় না। অথবা একে অপরের মধ্যে প্রবেশ করা কণা তরঙ্গগুলো মহাকর্ষীয় প্রভাবকে ঢেকে দেয় যার ফলে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বের চেয়ে কম দূরত্বে মহাকর্ষীয় প্রভাব কাজ করে না।

প্রকারভেদ[সম্পাদনা]

বিভিন্ন ধরনের অদ্বৈত অবস্থান রয়েছে। কোন ধরণের তত্ত্ব থেক অদ্বৈত অবস্থানটির ধারণা আসছে তার উপর নির্ভর করে এর বৈশিষ্ট্যগুলো বিভিন্ন হয়। অদ্বৈত বিভিন্ন আকারের হতে পারে যেমন মোচাকার ও বক্র। এই অনুকল্পও রয়েছে যে ঘটনা দিগন্ত ছাড়াও অদ্বৈত অবস্থানের অস্তিত্ব থাকতে পারে, যেখানে ঘটনা দিগন্ত হচ্ছে স্থানকালের সেই অঞ্চল যার ভেতরের কোন ঘটনা তার বাইরের অঞ্চলকে প্রভাবিত করতে পারে না। ঘটনা দিগন্ত ছাড়া অদ্বৈত অবস্থানকে নগ্ন অদ্বৈত অবস্থান বলা হয়।

মোচাকার[সম্পাদনা]

একটি মোচাকার অদ্বৈত অবস্থান তখন দেখা যায় যখন এমন একটি অবস্থান থাকে যার কোনও ডিফেওমরফিজম ইনভ্যারিয়েন্ট রাশির সীমাই অসীম নয়। সেক্ষেত্রে সেই সীমার অবস্থানেও স্থানকাল মসৃণ থাকে না। ফলে স্থানকালকে সেই অবস্থানের চারপাশে শঙ্কু বা মোচা বা কোণকের মত দেখা যায়, যেখানে সেই অদ্বৈত অবস্থান কোণকটির শীর্ষবিন্দুতে অবস্থান করে। এর মেট্রিকও সসীম হতে পারে, সকল ক্ষেত্রেই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করা যায়।

এরকম মোচাকার অদ্বৈত অবস্থানের একটি উদাহরণ হচ্ছে কসমিক স্ট্রিং এবং শোয়ার্জশিল্ড কৃষ্ণগহ্বর[৯]

বক্রতা[সম্পাদনা]

সাধারণ আপেক্ষিকতার সমীকরণগুলোর সমাধান বা মহাকর্ষের অন্যান্য তত্ত্বগুলো (যেমন - অতিমহাকর্ষ সুপারগ্র্যাভিটি) থেকে প্রায়ই এমন অবস্থান পাওয়া যায় যেগুলোর মেট্রিক অসীম হয়ে যেতে পারে। যাই হোক, এই অবস্থানগুলোর অনেকগুলো সম্পূর্ণ মসৃণ, আর সেক্ষেত্রে সেই অসীমগুলো নিছকই সেই বিন্দুতে কোন অনুপযুক্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহারের ফল। একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে একটি অদ্বৈত অবস্থান রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য অবশ্যই সেই অবস্থানে ডিফেওমরফিজম ইনভ্যারিয়েন্ট কোয়ান্টিটিস (অর্থাৎ স্কেলার) অসীম হতে হবে। এই রাশিগুলির প্রত্যেকটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাতেই একই। তাই সেই অসীমগুলো স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাগুলোর পরিবর্তন করলেই বাতিল হবে না।

অঘুর্ণায়মান কৃষ্ণগহ্বর ও এর অদ্বৈত বিন্দুর একটি সরল চিত্র

শোয়ার্জশিল্ড সমাধানের একটি উদাহরণ হচ্ছে অ-ঘূর্ণমান ও আধানহীন কৃষ্ণগহ্বর। কৃষ্ণগহ্বর থেকে দূরের অঞ্চলগুলো নিয়ে কাজ করার উপযোগী স্থানাঙ্কব্যবস্থায় ঘটনা দিগন্তে মেট্রিকের একটি অংশ অসীম হয়ে যায়, কিন্তু ঘটনা দিগন্তের স্থানকাল মসৃণই থাকে। মেট্রিক সম্পূর্ণ মসৃণ এরকম অন্য স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (যেমন ক্রুসকাল স্থানাঙ্ক) ব্যবহার করলে এই মসৃণত্ব সুস্পষ্ট হয়। অন্য দিকে, কৃষ্ণগহ্বরের কেন্দ্রে এরপরও মেট্রিক অসীম থাকে। এই সমাধানগুলো নির্দেশ করে যে এখানে অদ্বৈত অবস্থানের উপস্থিত। এখানে ক্রেটশম্যান স্কেলার রাইনম্যান টেনসরের অর্থাৎ -এর বর্গ হওয়ার দ্বারা অদ্বৈত অবস্থানের অস্তিত্বকে যাচাই করে যাচাই করা যেতে পারে, যেখানে ক্রেটসম্যান স্কেলার একটি ডিফেওমরফিজম ইনভ্যারিয়েন্ট, যার মান অসীম।

অ-ঘূর্ণায়মান কৃষ্ণগহ্বরের ক্ষেত্রে একটি একক বিন্দুতে অদ্বৈত অবস্থান দেখা যায় যাকে "বিন্দু অদ্বৈত অবস্থান" বা "পয়েন্ট সিংগুলারিটি" বলা হয়। কিন্তু একটি ঘুর্ণায়মান কৃষ্ণগহ্বর, যা কার কৃষ্ণগহ্বর নামে পরিচিত তাতে অদ্বৈত অবস্থান একটি রিং বা বলয় আকারে (বৃত্তাকার রেখা) গঠিত হয়, এবং একে "বলয় অদ্বৈত অবস্থান" বা "রিং সিংগুলারিটি" বলে। এরকম অদ্বৈত অবস্থান তাত্ত্বিকভাবে ক্ষুদ্রবিবর বা ওয়ার্মহোলেও পরিণত হয়।[১০]

আরো সাধারণভাবে, একটি স্থানকালকে নিয়মিত বা স্বাভাবিক হিসেবে ধরে নেয়া হয় যদি তার জিওডেসিক অসমাপ্ত হয়ে থাকে, অর্থাৎ অবাধে পতনশীল কণাগুলির গতিবিধি একটি নির্দিষ্ট সময়ের পরে আর নির্ধারণ করা যায় না, সেই নির্দিষ্ট সময়টি হচ্ছে অদ্বৈত অবস্থান। উদাহরণস্বরূপ, একটি অ-ঘূর্ণায়মান কৃষ্ণগহ্বরের ঘটনা দিগন্তের ভেতরে থাকা যেকোন পর্যবেক্ষক একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে কৃষ্ণগহ্বরের কেন্দ্রে পতিত হবে। মহাবিষ্ফোরণের মডেলের চিরায়ত সংস্করণ অনুযায়ী মহাবিশ্ব তার উৎপত্তির মুহূর্তে (t = 0) একটি কার্যকারণগত অদ্বৈত অবস্থান ধারণ করে, যেখানে সকল সময়-সদৃশ জিওডেসিকেরই এই উৎপত্তি-মুহূর্তের অতীতে কোনও রকম সম্প্রসারণ নেই। সেই অনুকল্পিত মুহূর্তের পূর্বে সময়কে এক্সট্রাপোলেট করা হলে দেখা যায় সকল স্থানগত মাত্রার আকার শূন্য এবং ঘনত্ব, তাপমাত্রা ও স্থানকালের বক্রতা অসীম।

নগ্ন অদ্বৈত অবস্থান[সম্পাদনা]

১৯৯০-এর দশকের গোড়ার দিকে ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হত যে, সাধারণ আপেক্ষিকতা একটি ঘটনা দিগন্তের ভেতরে প্রত্যেকটি অদ্বৈত অবস্থানকে লুকিয়ে রাখে। একে মহাজাগতিক বিবাচন অনুকল্প বলা হত।। কিন্তু ১৯৯১ সালে পদার্থবিজ্ঞানী স্টুয়ার্ট শাপিরো এবং সল তেউকোলস্কি ধুলিকণার একটি ঘূর্ণায়মান সমতল নিয়ে কম্পিউটার সিমুলেশন সঞ্চালন করেন যা নির্দেশ করেছিল, সাধারণ আপেক্ষিকতা "নগ্ন" অদ্বৈত অবস্থানের জন্য অনুমতি দেয়। এরকম মডেলে এই বস্তুগুলোকে আসলে কেমন দেখতে হবে তা অজানা। সিমুলেশনটি সঞ্চালনের জন্য যে সরলীকৃত অনুমানগুলি ব্যবহার করা হয়েছে সেগুলোকে বাদ দিলেও এই অদ্বৈত অবস্থানের অস্তিত্ব থাকবে কিনা তাও জানা যায়নি। সরানো হলে একতাবদ্ধতাগুলি এখনও উত্থাপিত হবে কিনা তাও জানা যায় না। কিন্তু এটি অনুমান করা গেছে যে, অদ্বৈত অবস্থানে আলো প্রবেশ করার পর একইভাবে এর জিওডেসিক সমাপ্ত হবে, এরফলে নগ্ন অদ্বৈত অবস্থানও দেখতে কৃষ্ণগহ্বরের মত হবে।[১১][১২][১৩]

কার মেট্রিকে অদৃশ্য ঘটনা দিগন্ত থাকে। যেখানে কার মেট্রিকের কৌণিক ভরবেগ () যথেষ্ট বেশি হয় তাহলে সেটি একটি শূন্যস্থানে ঘুর্ণায়মান কৃষ্ণগহ্বর। কার মেট্রিককে বয়ার-লিন্ডকুইস্ট স্থানাঙ্কে পরিবর্তন করে দেখানো যায়,[১৪] ঘটনা দিগন্তের স্থানাঙ্ক (যা ব্যাসার্ধ নয়) হচ্ছে, , যেখানে , এবং । এক্ষেত্রে "অদৃশ্য ঘটনা দিগন্ত" এর অর্থ হচ্ছে, তখন এর জন্য সমাধানগুলো জটিল হয়, অর্থাৎ হয়। যাই হোক, এটি একটি পরিস্থিতিকে নির্দেশ করে যেখানে এর মান কে অতিক্রম করে (বা প্লাংক এককে দাঁড়ায় )। অর্থাৎ, যাকে সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মান ধরা হয় তার সর্বোচ্চ সীমাকে এটি অতিক্রম করে।

একইভাবে, রেইসনার-নর্ডস্ট্রম জ্যামিতি দিয়েও অদৃশ্য ঘটনা দিগন্তকে দেখা যায় যদি আহিত কৃষ্ণগহ্বরের আধান () যথেষ্ট পরিমাণে বেশি থাকে। মেট্রিকে, দেখানো যায় যে,[১৫] তে অদ্বৈত অবস্থান তৈরি হয়, যেখানে এবং হয়। এবং এর বিভিন্ন মানের জন্য সম্ভাব্য তিনটি পরিস্থিতির মধ্যে পরিস্থিতির জন্য উভয় এর মানই জটিল হয়ে যায়। এর অর্থ হল এর প্রত্যেকটি ধনাত্মক মানের জন্য মেট্রিকটি স্বাভাবিক বা নিয়মিত, অন্য কথায় এই অদ্বৈত অবস্থানের কোন ঘটনা দিগন্ত নেই। যাই হোক, এটি এমন একটি পরিস্থিতির ক্ষেত্রেই কেবল সম্ভব যেখানে এর মান কে ছাড়িয়ে যায় (অথাবা প্লাংক এককে হয়)। অর্থাৎ, বাস্তব সম্ভাব্য মানগুলোর সর্বোচ্চ সীমা হিসেবে যে মানকে ধরা হয় এটি সেই মানকেও ছাড়িয়ে যায়। এছাড়াও প্রকৃত জ্যোতির্পদার্থবিজ্ঞানগত কৃষ্ণগহ্বরে উল্লেখযোগ্য পরিমাণে আধান থাকেও না।

এনট্রপি[সম্পাদনা]

স্টিফেন হকিং হকিং বিকিরণ ধারণা নিয়ে আসার আগে, কৃষ্ণগহ্বরে এনট্রপি থাকার প্রশ্ন এড়িয়ে চলা হচ্ছিল। যাই হোক, হকিং বিকিরণের ধারণাটি দেখায় যে, কৃষ্ণগহ্বর শক্তি (সম্ভবত ঋণাত্মক) বিকিরন করে, যা এনট্রপিকে সংরক্ষণ করে এবং তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্রের অসামঞ্জস্যতার সমস্যাগুলোর সমাধান দেয়। এনট্রপি তাপশক্তির সাথে সম্পর্কিত, আর তাই এটি তাপমাত্রার সাথেও সম্পর্কিত। আর শক্তি হারানোর ব্যাপারটি নির্দেশ করে যে কৃষ্ণগহ্বরের অস্তিত্ব সারাজীবন ধরে থাকবে না, বরং এটি ধীরে ধীরে ক্ষয় হতে হতে এক সময় মিলিয়ে যাবে। ছোট কৃষ্ণগহ্বরগুলো গরম হতে থাকে আর বড় কৃষ্ণগহ্বরগুলো ঠাণ্ডা হতে থাকবে।[তথ্যসূত্র প্রয়োজন] সমস্ত পরিচিত কৃষ্ণগহ্বর প্রার্থীগুলো এত বড় যে তাদের তাপমাত্রা মহাজাগতিক পটভূমি বিকিরণের চেয়ে অনেক কম, তাই তারা সকলেই এনট্রপিগত শক্তি অর্জন করতে থাকবে, এবং যতক্ষণ না পর্যন্ত মহাজাগতিক লোহিত বিচ্যুতি এক মিলিয়ন অবধি পৌঁছায় ততক্ষণ পর্যন্ত এটি শক্তি হারানো শুরু করবে না।[কেন?]

আরও দেখুন[সম্পাদনা]

প্রাসঙ্গিক অধ্যয়ন[সম্পাদনা]

  • দি এলিগেন্ট ইউনিভার্স - ব্রায়ান গ্রিন। এই গ্রন্থে লেখক সাধারণের জন্য সহজপাঠ্য করে রজ্জু তত্ত্ব বা স্ট্রিং তত্ত্বকে উপস্থাপন করেছেন, যদিও গ্রন্থের কিছু কিছু প্রসঙ্গ বর্তমানে সেকেলে হয়ে পড়েছে।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

  1. "Blackholes and Wormholes" 
  2. Claes Uggla (২০০৬)। "Spacetime Singularities"Einstein Online2 (1002)। 
  3. Curiel, Erik & Peter Bokulich। "Singularities and Black Holes"Stanford Encyclopedia of Philosophy। Center for the Study of Language and Information, Stanford University। সংগ্রহের তারিখ ২৬ ডিসেম্বর ২০১২ 
  4. Moulay, Emmanuel। "The universe and photons" (PDF)। FQXi Foundational Questions Institute। সংগ্রহের তারিখ ২৬ ডিসেম্বর ২০১২ 
  5. Wald, p. 99
  6. Hawking, Stephen। "The Beginning of Time"Stephen Hawking: The Official WebsiteCambridge University। সংগ্রহের তারিখ ২৬ ডিসেম্বর ২০১২ 
  7. Zebrowski, Ernest (২০০০)। A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe। Piscataway NJ: Rutgers University Press। পৃষ্ঠা 180। আইএসবিএন 978-0813528984 
  8. Rodolfo Gambini; Javier Olmedo; Jorge Pullin (২০১৩)। "Quantum black holes in Loop Quantum Gravity"। Classical and Quantum Gravity31 (9): 095009। arXiv:1310.5996অবাধে প্রবেশযোগ্যdoi:10.1088/0264-9381/31/9/095009বিবকোড:2014CQGra..31i5009G 
  9. Copeland, Edmund J; Myers, Robert C; Polchinski, Joseph (২০০৪)। "Cosmic F- and D-strings"। Journal of High Energy Physics2004 (6): 013। arXiv:hep-th/0312067অবাধে প্রবেশযোগ্যdoi:10.1088/1126-6708/2004/06/013বিবকোড:2004JHEP...06..013C 
  10. If a rotating singularity is given a uniform electrical charge, a repellent force results, causing a ring singularity to form. The effect may be a stable wormhole, a non-point-like puncture in spacetime that may be connected to a second ring singularity on the other end. Although such wormholes are often suggested as routes for faster-than-light travel, such suggestions ignore the problem of escaping the black hole at the other end, or even of surviving the immense tidal forces in the tightly curved interior of the wormhole.
  11. M. Bojowald (২০০৮)। "Loop Quantum Cosmology"Living Reviews in Relativity11 (4)। doi:10.12942/lrr-2008-4পিএমসি 5253914অবাধে প্রবেশযোগ্যবিবকোড:2008LRR....11....4B। ২০১৫-১২-২১ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। 
  12. R. Goswami; P. Joshi (২০০৮)। "Spherical gravitational collapse in N-dimensions"। Physical Review D76 (8): 084026। arXiv:gr-qc/0608136অবাধে প্রবেশযোগ্যdoi:10.1103/PhysRevD.76.084026বিবকোড:2007PhRvD..76h4026G 
  13. R. Goswami; P. Joshi; P. Singh (২০০৬)। "Quantum evaporation of a naked singularity"। Physical Review Letters96 (3): 031302। arXiv:gr-qc/0506129অবাধে প্রবেশযোগ্যdoi:10.1103/PhysRevLett.96.031302PMID 16486681বিবকোড:2006PhRvL..96c1302G 
  14. Hobson, et al., General Relativity an Introduction for Physicists, Cambridge University Press 2007, p. 300-305
  15. Hobson, et al., General Relativity an Introduction for Physicists, Cambridge University Press 2007, p. 320-325