দ্বিঘাত সমীকরণ

কার্তেসীয় সমতলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফ।

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের সূত্র

গণিতশাস্ত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণ হল দুই মাত্রার বহুপদী সমীকরণ যার সাধারণ রূপ:

$ax^{2}+bx+c=0$

এখানে x একটি চলক এবং a, b ও c ধ্রুবক যেখানে a এর মান শুন্য হতে পারে না। কারণ a শূণ্য হলে এটি একটি একঘাত সমীকরণে রূপ নেবে। দ্বিপদ সমীকরণের ইংরেজি প্রতিশব্দ কোয়াড্রেটিক এসেছে ল্যাটিন শব্দ কোয়াড্রেটাস (quadratus) থেকে যার অর্থ বর্গ।

দ্বিঘাত সমীকরণে শুধুমাত্র একটি অজানা রাশি বা চলক থাকে। তাই একে একচলক সমীকরণ বলে। এই সমীকরণে শুধুমাত্র x এর দ্বিতীয় ঘাত থাকে। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী।

দ্বিঘাত সমীকরণ মধ্যপদ বিশ্লেষণ (ইংরেজিতে factoring, factorising, factorizing বা middle-term নামে পরিচিত) এর মাধ্যমে, বর্গ পূর্ণ করার মাধ্যমে, মূল নির্ণয় সূত্রের সাহায্যে অথবা লেখচিত্রাঙ্কনের সাহায্যে। দ্বিঘাত সমীকরণের মত গাণিতিক সমস্যার সমাধান মানুষ ২০০০ খ্রিস্টপূর্বেও করেছে বলে জানা যায়।

ইতিহাস

• ভূমিকা ( Introduction )*

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই হলে তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ(second degree or quadratic equation)বলে।একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল a⋅x2+b⋅x+c=0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি।a,b হল যথাক্রমে x2,xএর সহগ এবং cকে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

যে দ্বিঘাত সমীকরণে b=0 হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় a⋅x2+c=0 তাকে বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।অন্যভাবে যে দ্বিঘাত সমীকরণে b≠0 হয় অর্থাৎ সমীকরণের সাধারণ আকার হয় a⋅x2+b⋅x+c=0 তাকে মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।যেমন x2−16=0,9x2−25=0হল বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ কিন্তু 2x2+3x+5=0 হল মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ।

উপপাদ্য(Theorem)

উপপাদ্য ১৷a⋅x2+b⋅x+c=0(a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ α হলে a⋅x2+b⋅x+c রাশিমালার একটি উৎপাদক হবে (x−α) বিপরীতক্রমে a⋅x2+b⋅x+c রাশিমালার একটি উৎপাদক (x−α) হলে a⋅x2+b⋅x+c=0 সমীকরণের একটি বীজ হবে α ।

প্রমাণ: প্রশ্নানুযায়ী α হল a⋅x2+b⋅x+c=0 সমীকরণের একটি বীজ।

a⋅α2+b⋅α+c=0 এখন

a⋅x2+b⋅x+c=(a⋅x2+b⋅x+c)−(a⋅α2+b⋅α+c)=a(x2−α2)+b(x−α)=a(x+α)(x−α)+b(x−α)=(x−α){a(x+α)+b} অতএব (x−α) হল a⋅x2+b⋅x+c রাশিমালার উৎপাদক।

বিপরীতক্রমে যদি a⋅x2+b⋅x+c রাশিমালার একটি উৎপাদক (x−α)হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি

a⋅x2+b⋅x+c=(x−α)(px+q),(p≠0) যেখানে pও qহল ধ্রুবক।

উপরের সমীকরণে x=α বসিয়ে পাই।

a⋅α2+b⋅α+c=(α−α)(pα+q)⇒a⋅α2+b⋅α+c=0⋅(pα+q)⇒a⋅α2+b⋅α+c=0 অতএব প্রমাণিত α হল a⋅x2+b⋅x+c=0এই সমীকরণের একটি বীজ।

সমাধান

এই সূত্রের প্রমাণটি হল—

$ax^{2}+bx+c=0$
$\implies x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}=0$ [a দিয়ে ভাগ]
$\implies x^{2}+{\frac {b}{a}}*x=-{\frac {c}{a}}$
$\implies x^{2}+2*x*{\frac {b}{2a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}=({\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {c}{a}}$;[উভয়পক্ষে $({\frac {b}{2a}})^{2}$ যোগ]
$\implies (x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$
$\implies x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$;[ বর্গমূল]
$\implies x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ [ প্রমাণিত]

উদাহরণ ও প্রয়োগ

বহুল পরিচিত গোল্ডেন রেশিও $x^{2}-x-1=0$ এই দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করে পাওয়া যায়।

বৃত্ত এবং অন্যান্য কনিক যেমন উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত, পরাবৃত্তের সমীকরণ দুই চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

আরও দেখুন

• সরলরৈখিক সমীকরণ
• পরাবৃত্ত