সোনালী অনুপাত

সোনালী অনুপাত বা স্বর্গীয় অনুপাত কে $\varphi$$\varphi$ বা 'ফাই'(phi) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর মান ১.৬১৮০৩৩৯৮৯ (প্রায়)। এটি একটি অমূলদ সংখ্যা। ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে এ অনুপাতের সম্পর্ক রয়েছে।

সংজ্ঞার্থ

দুইটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটির সাপেক্ষে ঐ দুইটি সংখ্যার যোগফলের অনুপাত যদি ক্ষুদ্রতর সংখ্যার সাপেক্ষে বৃহত্তর সংখ্যার অনুপাতের সমান হয় তবে সংখ্যা দুইটি সোনালী অনুপাতে বিরাজমান।

গাণিতিক রূপ

a এবং b দুইটি সংখ্যার মধ্যে সোনালী অনুপাত বজায় থাকলে:-

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi$${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi$

যেখানে a বৃহত্তর সংখ্যা এবং b ক্ষুদ্রতর সংখ্যা।

মান নির্ণয়

সংজ্ঞার্থানুসারে,

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

বাম পাশের হর ও লবকে b দ্বারা ভাগ করে পাই,

${\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}={\frac {a}{b}}$${\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}={\frac {a}{b}}$

a/b কে φ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

${\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi$${\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi$

উভয় পাশে φ দ্বারা গুন করলে নিম্নের সমীকরণটি পাওয়া যায় :

$\varphi +1=\varphi ^{2}$$\varphi +1=\varphi ^{2}$

অথবা

$\varphi ^{2}-\varphi -1\ =\ 0.$$\varphi ^{2}-\varphi -1\ =\ 0.$

উপোরোক্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার সমাধান হচ্ছে :

$\varphi ={1\pm {\sqrt {5}} \over 2}.$$\varphi ={1\pm {\sqrt {5}} \over 2}.$ (দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র অনুযায়ী)

যেহেতু φ ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং

$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\ \approx \ 1.618033989.$$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\ \approx \ 1.618033989.$

ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে সম্পর্ক

n-তম ফিবোনাচ্চি রাশিটি যদি F_n হয়, তাহলে সোনালি অনুপাত $\,\phi$$\,\phi$ ও F_n এর সম্পর্ক হবে নিম্নরূপ:

F_n ≤ $\,\phi ^{n-1}$$\,\phi ^{n-1}$

যেখানে n হলো যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

সোনালী অনুপাত এবং ফিবোনাচ্চি রাশিমালার মধ্যে নিম্নোক্ত সম্পর্কটি বিদ্যমান:

F_n = $\,{\frac {\phi ^{n}+\phi _{c}^{n}}{\sqrt {5}}}$$\,{\frac {\phi ^{n}+\phi _{c}^{n}}{\sqrt {5}}}$

যেখানে, $\,\phi _{c}$$\,\phi _{c}$ হলো সোনালী অনুপাতের যুগল, এর মান $\,1-\phi$$\,1-\phi$;