সোনালী অনুপাত

সোনালী অনুপাত বা স্বর্গীয় অনুপাত কে $\varphi$ বা 'ফাই'(phi) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর মান ১.৬১৮০৩৩৯৮৯ (প্রায়)। এটি একটি অমূলদ সংখ্যা। ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে এ অনুপাতের সম্পর্ক রয়েছে।

সংজ্ঞার্থ

দুইটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটির সাপেক্ষে ঐ দুইটি সংখ্যার যোগফলের অনুপাত যiopjiphy7 wowzaa!!!;)দি ক্ষুদ্রতর সংখ্যার সাপেক্ষে বৃহত্তর সংখ্যার অনুপাতের সমান হয় তবে সংখ্যা দুইটি সোনালী অনুপাতে বিরাজমান।

গাণিতিক রূপ

a এবং b দুইটি সংখ্যার মধ্যে সোনালী অনুপাত বজায় থাকলে:-

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

যেখানে a বৃহত্তর সংখ্যা এবং b ক্ষুদ্রতর সংখ্যা।

মান নির্ণয়

সংজ্ঞার্থানুসারে,

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

বাম পাশের হর ও লবকে b দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}} = \frac{a}{b}$

a/b কে φ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

$\frac{\varphi+1}{\varphi} = \varphi$

উভয় পাশে φ দ্বারা গুন করলে নিম্নের সমীকরণটি পাওয়া যায় :

$\varphi+1 = \varphi^2$

অথবা

$\varphi^2 - \varphi - 1 \ = \ 0.$

উপোরোক্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার সমাধান হচ্ছে :

$\varphi = {1 \pm \sqrt{5} \over 2}.$ (দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র অনুযায়ী)

যেহেতু φ ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং

$\varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}\ \approx\ 1.618 033 989 .$

ফিবোনাচ্চি রাশিমালার সাথে সম্পর্ক

n-তম ফিবোনাচ্চি রাশিটি যদি F_n হয়, তাহলে সোনালি অনুপাত $\,\phi$ ও F_n এর সম্পর্ক হবে নিম্নরূপ:

F_n ≤ $\,\phi ^{n-1}$

যেখানে n হলো যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

সোনালী অনুপাত এবং ফিবোনাচ্চি রাশিমালার মধ্যে নিম্নোক্ত সম্পর্কটি বিদ্যমান:

F_n = $\,\frac{\phi^{n} + \phi_c^{n}}{\sqrt{5}}$

যেখানে, $\,\phi_c$ হলো সোনালী অনুপাতের যুগল, এর মান $\,1-\phi$;