কেন্দ্রীয় বল

কেন্দ্রাতিগ বল বা কেন্দ্রাভিগ বল নিবন্ধের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না।

চিরায়ত বলবিদ্যায় কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত কেন্দ্রীয় বল হচ্ছে এমন একটি বল যা বলের কেন্দ্র নামক একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দিকে অথবা এই বিন্দুটি থেকে পরিচালিত হয়।

${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}$

এখানে $\scriptstyle {\vec {\text{ F }}}$ হলো বল, F হলো একটি ভেক্টরকৃত বল ফাংশন (সহজ কথায়, এটি একটি ভেক্টর রাশি), F হলো একটি স্কেলারকৃত বল ফাংশন (স্কেলার রাশি), r হলো অবস্থান ভেক্টর, এর দৈর্ঘ্য হলো ||r|| এবং $\scriptstyle {\hat {\mathbf {r} }}$ = r/||r|| হলো সংশ্লিষ্ট একক ভেক্টর।

সব কেন্দ্রীয় বলক্ষেত্রই সংরক্ষণশীল বা গোলীয় প্রতিসাম্যিক হয় না। তথাপি, একটি কেন্দ্রীয় বল সংরক্ষণশীল হবে যদি এবং কেবল যদি এটি গোলীয় প্রতিসাম্যিক হয় অথবা এটি ঘূর্ণনের বিবেচনায় ইনভ্যারিয়েন্ট (অপরিবর্তনীয়) হয়।

ধর্ম

যেসব কেন্দ্রীয় বল সংরক্ষণশীল তাদেরকে সর্বদা একটি বিভব শক্তির ঋণাত্মক গ্র্যাডিয়েন্টরূপে প্রকাশ করা যায়:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} ){\text{, where }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r$

(উপরের সমাকলনের ঊর্ধ্বসীমা অবাধ বা ইচ্ছামাফিক, যেহেতু যোগাত্মক ধ্রুবককে বর্জনপূর্বক অর্থাৎ উপেক্ষা করে বিভবটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে)।

কোনো সংরক্ষণশীল ক্ষেত্র-তে মোট যান্ত্রিক শক্তি (গতিশক্তি ও বিভবশক্তি) সংরক্ষিত থাকবে:

$E={\frac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\frac {1}{2}}I|\mathbf {w} |^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}$

যেখানে, 'ṙ' সময়ের সাপেক্ষে 'r'-এর অন্তরজকে নির্দের করছে, যা আদতে বেগ, 'I' রাশিটি ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামককে নির্দেশ করছে এবং 'w' নির্দেশ করছে কৌণিক বেগকে। সুতরাং, কেন্দ্রীয় কোনো বলক্ষেত্র-তে কৌণিক ভরবেগ হবে:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}$

কারণ হলো, বল কর্তৃক প্রযুক্ত টর্ক হচ্ছে শূন্য। এর ফলস্বরূপ, বস্তুটি কৌণিক ভরবেগ ভেক্টরের উল্লম্ব এবং মূলবিন্দু (উৎস) ধারণকারী সমতলটির ওপর ভ্রমণ করে এবং এটি কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র মেনে চলে। (যদি কৌণিক ভরবেগ শূন্য হয়, তাহলে বস্তুটি তার ও মূলবিন্দুর সংযোগ রেখা বরাবর ভ্রমণ করবে।)

এটাও দেখানো যেতে পারে যে, যেকোনো কেন্দ্রীয় বলের অধীনে বা প্রভবে গতিশীল রয়েছে এমন একটি বস্তুও কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র মেনে চলে। সে যাইহোক, কেপলারের প্রথম ও তৃতীয় সূত্র নিউটনের সার্বজনীন মহাকর্ষ সূত্রের বিপরীত বর্গীয় প্রকৃতির ওপর নির্ভর করে এবং এই দুটি সচরাচর অন্য কোনো কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয় না।

সংরক্ষণশীল হওয়ার ফলস্বরূপ, এই বিশেষ কেন্দ্রীয় বলক্ষেত্রগুলো অঘূর্ণনশীল। যার মানে হলো, মূলবিন্দু বা উৎসের বাইরে অন্যত্র এই বলের কার্ল শূন্য:

$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} {\text{.}}$

উদাহরণ

মহাকর্ষ বল এবং কুলম্ব বল হলো দুটি সুপরিচিত উদাহরণ, যেখানে বল $F(\mathbf {r} )$ কেবল 1/r²-এর সমানুপাতিক হয়। (একটি আকর্ষণ বলের অনুরূপভাবে) ঋণাত্মক $F(\mathbf {r} )$-যুক্ত এমন একটি বলক্ষেত্রে একটি বস্তু কেপলারের গ্রহীয় গতিসূত্র মেনে চলে।

কোনো স্থানিক ছন্দিত স্পন্দকের বলক্ষেত্রটি কেন্দ্রীয় হবে, যেখানে $F(\mathbf {r} )$ কেবল r-এর সমানুপাতিক ও ঋণাত্মক।

বার্ট্রান্ডের উপপাদ্য অনুসারে, $F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}$এবং $F(\mathbf {r} )=-kr$, এই দুটি হচ্ছে একমাত্র সম্ভাব্য কেন্দ্রীয় বলক্ষেত্র, যেখানে সমস্ত আবদ্ধ কক্ষপথ স্থিতিশীল আবদ্ধ-কক্ষপথ। তথাপি, কয়েকটি আবদ্ধ-কক্ষপথ রয়েছে এমন অন্যান্য বলক্ষেত্রসমূহেরও অস্তিত্ব বিদ্যমান।

টীকা

^ক এই নিবন্ধে পদার্থবিদ জন রবার্ট টেলরের দেওয়া বলের সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়েছে। প্রচলিত অন্য আরেকটি সংজ্ঞা এই বলটির গোলীয় প্রতিসাম্যিক হওয়ার বাধ্যবাধকতাও হাজির করে। যেমন: ${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(||\mathbf {r} ||){\hat {\mathbf {r} }}$

এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত সায়েন্সওয়ার্ল্ড এই সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়েছে।