কুলম্বের সূত্র

কুলম্বের ঘর্ষণের সূত্রের জন্য ঘর্ষণ দেখুন।

$q_{1}$ ও $q_{2}$ বিন্দু আধানদ্বয় r দূরত্বে অবস্থান করায় যথাক্রমে ${\boldsymbol {F}}_{1}$ ও ${\boldsymbol {F}}_{2}$ বল অনুভব করে। উভয় বলই বিন্দু আধান্দ্বয়ের মানের গুণফলের সমানুপাতিক এবং দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক। একই চিহ্নবিশিষ্ট আধান পরস্পরকে বিকর্ষণ এবং বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট আধান পরস্পরকে আকর্ষণ করে।

কুলম্বের ইনভার্স-স্কোয়্যার সূত্র বা সংক্ষেপে কুলম্বের সূত্র পদার্থবিজ্ঞানের পরীক্ষণ হতে প্রাপ্ত একটি সূত্র যা দুটি স্থিতিশীল ও তড়ি‍ৎ আধানযু্ক্ত কণাদ্বয়ের মধ্যে ক্রিয়াশীল বল ও এর প্রকৃতিকে ব্যাখ্যা করে। এই বলকে তড়িৎ বল, স্থিরতড়িৎ বল, বা কুলম্ব বলও বলা হয়। যদিও পূর্বেও এই সূত্রটি পরিচিত ছিল, এটি প্রথম প্রকাশিত হয় ১৭৮৫ সালে ফরাসি পদার্থবিদ শার্ল-ওগ্যুস্তাঁ দ্য কুলম্বের দ্বারা। কুলম্বের সূত্রটি তাত্ত্বিক তড়িৎচুম্বকত্বের ধারণা বিকাশে অত্যাবশ্যক ছিল, কিংবা তাত্ত্বিক তড়িৎচুম্বকত্বের সূচনাই এই সূত্র থেকে, কেননা এই সূত্রই কোনো কণায় উপস্থিত তড়িৎ আধানের মান সম্পর্কিত প্রাথমিক আলোচনার পথ খুলে দেয়।

যদি দুটি আধানের আকার তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের তুলনায় কম হয়, তবে আধানদ্বয়কে বিন্দু আধান ধরে কুলম্বের সূত্রটি হলো, দুটি বিন্দু আধানের মাঝে ক্রিয়াশীল আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বলের মান উক্ত বিন্দু আধানদ্বয়ের মানের গুণফলের সমানুপাতিক এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ $q_{1}$ ও $q_{2}$ বিন্দু আধানদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $r$ এবং তাদের মাঝে ক্রিয়াশীল বল ${\boldsymbol {F}}$ হলে,

$$|{\boldsymbol {F}}|\propto {\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}$$

পরবর্তীতে কুলম্ব পরীক্ষণের মাধ্যমে সমানুপাত ধ্রুবকটির মান নির্ণয় করেন, যা কুলম্বের ধ্রুবক নামে পরিচিত, একে $k_{e}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এর মান $8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}}$। কাজেই কুলম্বের সূত্রটিকে লেখা যায়—

$$|{\boldsymbol {F}}|=k_{e}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}$$

এই বলটি ক্রিয়া করবে আধানদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা বরাবর। কুলম্ব আবিষ্কার করেন যে একই চিহ্নবিশিষ্ট আধান পরস্পরকে বিকর্ষণ করে এবং বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট আধান পরস্পরকে আকর্ষণ করে। কয়েকটি পরীক্ষণের পরিপ্রেক্ষিতে তিনি বলেন—

সুতরাং এই তিনটি পরীক্ষণ হতে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় যে – যে বিকর্ষণ বল গোলকদ্বয় – [যাদেরকে] একই প্রকার বিদ্যুতে বিদ্যুতায়িত করা হয়েছিল – একে অপরের ওপর প্রয়োগ করে, দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্কটি মেনে চলে।

ইনভার্স-স্কোয়্যার সূত্র হওয়ায়, কুলম্বের সূত্রটি নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, কিন্তু মহাকর্ষ বল একটি আকর্ষণ বল এবং অপর দিকে স্থিরতড়িৎ বলের ফলে আকর্ষণ-বিকর্ষণ উভয়ই হতে পারে। এছাড়াও, মহাকর্ষ বল অপেক্ষা স্থিরতড়িৎ বল অনেক বেশি শক্তিশালী। কুলম্বের সূত্র হতে গাউসের সূত্র আবার গাউসের সূত্র হতে কুলম্বের সূত্র পাওয়া সম্ভব। একটিমাত্র বিন্দু আধানের ক্ষেত্রে কুলম্বের সূত্র ও গাউসের সূত্র একল সূত্রকে দুটি ভিন্নভাবে প্রকাশ করে। কুলম্বের সূত্রটি অনেক নিখুঁতভাবে পরীক্ষণ করা হয়েছে এবং পর্যবেক্ষণ $10^{-16}{\text{ m}}$ হতে $10^{8}{\text{ m}}$ স্কেল পর্যন্ত সূত্রটিকে নির্ভুল প্রমাণ করেছে।

ইতিহাস

প্রাচীন ভূ-মধ্যসাগরীয়রা ধারণা করতো যে,রডের আম্বর নিশ্চিত বস্তু,যেটাকে বিড়ালের লোমের সাথে ঘর্ষন করলে পালকের এর মত বস্তুকে আকর্ষণ করে।মিলিটাস শহরের বিজ্ঞানী থেলাস ৬০০ শতাব্দির দিকে স্থির তড়িৎ এর ধারা তৈরী করে পর্যবেক্ষণ করেন এবং তিনি বিশ্বাস করতেন যে ঘর্ষণ অনুষ্ঠিত আম্বর চুম্বকীয়,অন্যভাবে খনিজ পদার্থ চুম্বকীয় কিন্তু যার ঘর্ষণ এর দরকার নেই। থেলাস এর ধারণা ভুল ছিল,সে বিশ্বাস করত যে এই আকর্ষণের কারণ হল চুম্বকীয় প্রভাব। কিন্তু, পরবর্তীতে বিজ্ঞান চুম্বক এবং তড়িৎ এর মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রমাণ করে। ১৬০০ শতাব্দী পর্যন্ত তড়িৎ ছিল সহস্র বছরের কল্পনা, তখন ইংরেজ বিজ্ঞানী উইলিয়াম গিলবা্র্ট তড়িৎ এবং চুম্বকের সতর্কভাবে একটি পরীক্ষা করেছিলেন।

শার্ল-অগুস্তিন দু কুলম্ব

এই পরীক্ষায় তিনি আম্বর এর ঘর্ষণ দ্বারা স্থির তড়িৎ থেকে প্রভাব পার্থক্য করেছিলেন। তিনি ‘ইলেক্ট্রিকাস’ নামক নতুন ল্যাটিন শব্দ আবিষ্কার করেন(আম্বরের অথবা আম্বরের মতো গ্রীক শব্দ আম্বর)।যার মানে ঘর্ষণের পর কোন বস্তুর আকর্ষণী ধর্মকে বূঝায়।এই সমিতি দুটি ইংরেজি শব্দ ইলেক্ট্রিক এবং ইলেক্ট্রিসিটি দেয়। যা ১৬৪৬ সালে থমাস ব্রাউন এর সেউডক্সিয়া এপিদেমিকার (Pseudopodia Epidemica) প্রথম মুদ্রণে প্রকাশ পায়।

কুলম্বের টরসন ভারসাম্য

১৮ শতকের শুরুর দিকে বিজ্ঞানীরা সন্দেহ .করেছিল মাধ্যাকর্ষণ শক্তির প্রভাবে তড়িৎ বল দুরত্তের সাথে হ্রাস পায়। যা ড্যানিয়েল বেরনলি এবং আলেক্সান্দ্রো ভোল্টা অন্তর্ভুক্ত করেন। তারা তড়িৎ ধারক এর উভয়পাতের বল পরিমাপ করেন।১৭৫৮ সালে ফ্রেঞ্চ আইপিনাস বিপরীত বর্গীয় সুত্র বের করেন। তড়িৎ চার্জ এর বলয়ের পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে ইংল্যান্ড এর বিজ্ঞানী জোসেফ প্রিস্টলি একটি প্রস্তাব করেন যে,তড়িৎ বল বিপরীত বর্গীয় সূত্র মেনে চলে এবং এটি নিউটন এর সার্বজনীন অভিকর্ষ সূত্রের অনুরুপ,তবে তিনি এ নিয়ে আর বেশি গবেষণা করেননি।পরবর্তীতে ১৭৬৭ সালে তিনি অনুমান করেছিলেন যে, বিপরীত বর্গীয় দুরত্বের কারণে এই বলের চার্জ তারতম্য ঘটে। ১৭৬৯ সালে স্কটিশ পদারথবিদ রবিনসন ঘোষণা করেন যে, তার হিসাব মতে দুটি সমান চিহ্ন এর বলয়ের বিকর্ষণ বলের তারতম্য x-2.06।১৭৭০ এর শুরুর দিকে ইংল্যান্ড এর বিজ্ঞানী হেনরি ক্যাভেন্ডিস চার্জ কাঠামোতে বলের নির্ভরশীলতার জন্য উভয় দূরত্ব এবং চার্জ আবিষ্কার করেছিল কিন্তু প্রকাশ করেন নি। সর্বশেষ, ১৭৮৫ সালে ফরাসি পদার্থবিদ চার্লস অগাস্টটিন দ্যা কুলম্ব তার তড়িৎ এবং চুম্বক সম্পর্কিত প্রথম তিনটি প্রতিবেদন প্রকাশ করেন যেখানে তিনি তার সুত্র প্রদান করেছিলেন।তড়িৎ চুম্বকত্ব তত্তের উন্নতির জন্য এই প্রকাশনা ছিল খুব গুরুত্বপূর্ণ। তিনি চার্জ এর কণার আকর্ষণ এবং বিকর্ষণ বল বের করার জন্য কুণ্ডলী সমতা ব্যবহার করেন।এছাড়া চার্জ কণা দুটির চার্জ এর দূরতের বাস্তানুপাতিক। এই কুণ্ডলীর কাঠামো একটি চিকন সুতা দারা বারের সাথে ঝুলানো থাকে।এই সুতা কুণ্ডলীর সাথে খুবই হালকাভাবে ক্রিয়া করে। কুলম্ব এর পরীক্ষাতে, কুণ্ডলীটি সিল্কের সুতার সাথে এক প্রান্তে একটি ধাতব বল এবং অপর প্রান্তে একটি হালকা রডের সাথে যুক্ত ছিল।এই প্রথম বলটি স্থির তড়িৎ এর চার্জএ চার্জিত ছিল এবং অপর বলটি সমান চার্জএ চার্জিত করে এর নিকট আনা হয়েছিল। চার্জিত বল দুটি একটি নির্দিষ্ট কোণের মাধ্যমে সূক্ষ্ সুতার দারা একে অপরকে প্রতিহত করে,যা যন্ত্রটির উপরের স্কেল থেকে বুঝা যায়।এটা জানতে হলে,মাধমের কোণ তৈরিতে কতটুকু বল লাগবে তা জানতে হবে।কুলম্ব গোলক দুটির মধ্যে বল এবং সমানুপাতিক এবং বাস্তানুপাতিক বের করতে সক্ষম হয়েছিলেন।

গাণিতিক সমীকরণ

$q_{1}$ আধানটি $q_{2}$ আধানটির দরুন $\mathbf {F} _{1}$ বল অনুভব করে এবং অনুরূপভাবে $q_{2}$ আধানটিও $q_{1}$ আধানটির দরুন $\mathbf {F} _{2}$ বল অনুভব করে। যদি $q_{1}q_{2}>0$ তবে আধানদ্বয় পরস্পরকে বিকর্ষণ করবে (যেমনটি চিত্রে দেখা যাচ্ছে) এবং যদি $q_{1}q_{2}$<0 হয় তবে আধানদ্বয় পরস্পরকে আকর্ষণ করবে (অর্থাৎ চিত্রের বিপরীত ঘটনাটি ঘটবে)।

শূন্য মাধ্যমে $\mathbf {r_{1}}$ অবস্থানে $q_{1}$ আধানের দরুন $q_{2}$ আধানের ওপর ক্রিয়াশীল বল ${\textbf {F}}_{2}$ এবং $\mathbf {r_{2}}$ অবস্থানে $q_{2}$ আধানের দরুন $q_{1}$ আধানের ওপর ক্রিয়াশীল বল ${\textbf {F}}_{1}$ হলে, কুলম্বের সূত্রানুসারে— $$\mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}$$ যেখানে $\varepsilon _{0}$ হলো ইলেকট্রিক কনস্ট্যান্ট, $\mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}}$ হলো সরণ ভেক্টর, এবং $\mathbf {{\hat {r}}_{12}}$ হলো একক ভেক্টর যার দিক $q_{2}$ হতে $q_{1}$ এর দিকে।

আবার, নিউটনের তৃতীয় সূত্রমতে— $$\mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{21} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}$$

দুইয়ের অধিক আধানের ক্ষেত্রে

সুপারপজিশন নীতির মাধ্যমে কুলম্বের সূত্রটিকে দুই বা ততোধিক যেকোনো সংখ্যক বিন্দু আধানের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যায়। কতগুলো বিন্দু আধানের একটি সিস্টেমে কোনো একটি বিন্দু আধান যে বল অনুভব করবে তা হবে অন্যান্য সকল বিন্দু আধানগুলোর ফলে ঐ বিন্দু আধানের ওপর ক্রিয়াশীল বলসমূহের ভেক্টর সমষ্টি। এই বলটি হবে উক্ত বিন্দু আধানটি বাদে ঐ অবস্থানের ইলেকট্রিক ফীল্ড ভেক্টরের সমান্তরাল। $n$ সংখ্যক আধানের একটি সিস্টেমে $\mathbf {r}$ অবস্থানে থাকা কোনো বিন্দু আধান $q$ সিস্টেমটির দরুন যে বল $\mathbf {F}$ অনুভব করবে তা হলো— $$\mathbf {F} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{q_{i}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{i}}{|\mathbf {r} _{i}|^{2}}}$$ যেখানে $q_{i}$ হলো $i$-তম আধান, $\mathbf {r} _{i}$ এর থেকে $\mathbf {r}$ অবস্থানের ভেক্টর, এবং $\mathbf {{\hat {r}}_{i}}$ হলো একক ভেক্টর যার দিক $\mathbf {r} _{i}$ এর দিকে।

আধানের নিরবিচ্ছিন্ন বিন্যাসের ক্ষেত্রে

এই ক্ষেত্রে রৈখিক উপরিপাতন এর নীতি ব্যবহৃত হয়। ধারাবাহিক চার্জ বণ্টনের ক্ষেত্রে,এক খণ্ড চার্জ অঞ্চলের উপর যে পরিমান চার্জ বহন করে তা অসীম যোগফলের সমান $dq$ ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র চার্জ এর মত আচারন করে।সাধারনত রৈখিক চার্জ বণ্টনের ক্ষেত্রে,পৃষ্ঠ অথবা আয়তনের সাহায্য পরিমাপ সংক্রান্ত।

রৈখিক চার্জ বণ্টনের ক্ষেত্রে (প্রায় ভাল চার্জ এর একটা তার)যেখানে $\lambda ({\boldsymbol {r'}})$প্রতিটি দৈর্ঘ্য এককে চার্জ দেয় ${\boldsymbol {r'}}$ এবং $dl'$ হল ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র চার্জ দৈর্ঘ্য

$dq=\lambda ({\boldsymbol {r'}})dl'$.

পৃষ্ঠীয় চার্জ বণ্টনের ক্ষেত্রে(একটি সমান্তরাল বর্তনীতে প্রায় ভাল চার্জ)যেখানে $\sigma ({\boldsymbol {r'}})$প্রতি একক চার্জ দেয় এবং অবস্থান ${\boldsymbol {r'}}$।$dA'$ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র চার্জ আয়তন :

$dq=\sigma ({\boldsymbol {r'}})\,dA'.$

চার্জ এর আয়তন বণ্টনের ক্ষেত্রে(চার্জ ভারি বস্তুর মধ্যে)যেখানে $\rho ({\boldsymbol {r'}})$প্রতি একক আয়তনে চার্জ দেয় এবং অবস্থান ${\boldsymbol {r'}}$, $dV'$ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র চার্জ আয়তন হল

$dq=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.$

একটি ছোট চার্জ $q'$ এর অবস্থান ${\boldsymbol {r}}$ হলে শূনের মধ্যে বল :${\boldsymbol {F}}={q' \over 4\pi \varepsilon _{0}}\int dq{{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}} \over |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|^{3}}.$

কুলম্বের ধ্রুবক

কুলম্বের সূত্রে সমানুপাতিক ধ্রুবকটিকে $k_{\text{e}}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যা এমকেএস (MKS) পদ্ধতিতে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত— $$k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=10^{-7}c^{2}$$ যেখানে $\varepsilon _{0}$ ইলেকট্রিক কনস্ট্যান্ট এবং $c$ শূন্য মাধ্যমে আলোর বেগ। কোডাটা (CODATA) ২০২২ অনুযায়ী $\varepsilon _{0}$ এর মান ব্যাবহার করে কুলম্ব ধ্রুবকের দশমিক মান হবে,

$$k_{\text{e}}=8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}}$$

শর্ত ও সীমাবদ্ধতা

কুলম্বের সূত্রটি প্রযোজ্য হওয়ার জন্য তিনটি শর্ত হলো—

1. আধানগুলো গোলীয় প্রতিসমভাবে বিন্যস্ত হতে হবে (যেমন: বিন্দু আধান, চার্জিত ধাতুর গোলক, ইত্যাদি)।
2. প্রত্যেকটি আধান ভিন্ন অবস্থানে থাকবে, কোনো দুইটি আধান একই অবস্থানে কিংবা একটি আধান অন্য আধানের সম্পূর্ণরূপে বা আংশিকভাবে ভিতরে থাকতে পারবে না।
3. আধানগুলোকে কোনো জড় প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে স্থির হতে হবে।

শেষোক্ত শর্তটি ইলেকট্রোস্ট্যাটিক অ্যাপ্রক্সিমেশন নামে পরিচিত। যখন কোনো আধান বা চার্জিত কণা বা বস্তু গতিশীল হয়, তখন নতুন একটি ঘটনার আবির্ভাব ঘটে যা আধান বা চার্জিত কণা বা বস্তুগুলোর মধ্যকার বল কে পরিবর্তন করে দেয়। এই পরিবর্তনটি হয়ে থাকে চৌম্বকীয় বলের জন্য। ধীরগতিসম্পন্ন ক্ষেত্রে এই চৌম্বকীয় বলটির মান কম কাজেই এর প্রভাব নগণ্য এবং কুলম্বের সূত্র এই ক্ষেত্রে ব্যবহার করে স্থিরতড়িৎ বলের আসন্ন মান বের করা যায়। অন্যথায়, দ্রুতগতিসম্পন্ন বা ত্বরণের ক্ষেত্রে ম্যাক্সওয়েলের সূত্র এবং আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্ব বিবেচনায় আনতে হয়।

তড়িৎক্ষেত্র

If the two charges have the same sign, the electrostatic force between them is repulsive; if they have different sign, the force between them is attractive.

একটি আহিত বস্তুর চারপাশে যে অঞ্চল জুড়ে এর প্রভাব বিদ্যমান থাকে অর্থাৎ অপর একটি আহিত বস্তু আনা হলে সেটি আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বল অনুভব করে সেই অঞ্চলকে উক্ত প্রথম আহিত বস্তুর ত​ড়িৎ বলক্ষেত্র বা ত​ড়িৎক্ষেত্র বলে। এটি এক প্রকার ভেক্টর ক্ষেত্র যেখানে আহিত বস্তুর চারপাশের অঞ্চলের প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য একটিমাত্র ভেক্টর নির্দিষ্ট করা হয় এবং একে বলা হয় উক্ত বিন্দুতে ত​ড়িৎ ক্ষেত্রের প্লাবল্য বা তড়িৎ প্লাবল্য​। $Q$ আধান বিশিষ্ট কোনো আহিত বস্তুর চারপাশে যেকোনো বিন্দুর তড়িৎ প্লাবল্য​, $${\boldsymbol {E}}={\frac {\boldsymbol {F}}{q}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}{\hat {\boldsymbol {r}}}$$

কুলম্বের সূত্রের সত্যতা পরীক্ষা

Experiment to verify Coulomb's law.

একটি সহজ পরীক্ষা দ্বারা কুলম্বের সূত্রের সত্যতা যাচাই করা যায়।ধরা যাক,$m$ভরের দুটি গোলক নেয়া হল,তাদের সমান চার্জ $q$ সমান দূরত্ব $l$ এই গোলকের উপর তিন ধরনের বল কাজ করে,ওজন $mg$ রশির টান $T$ তড়িৎ বল ${\boldsymbol {F}}$।এই সাম্য অবস্থানে

$T\ \sin \theta _{1}=F_{1}\,\!$ ********(১)

এবং

$T\ \cos \theta _{1}=mg\,\!$ ********(২)

সমীকরণ ১ কে ২ দ্বারা ভাগ করে,

${\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg\tan \theta _{1}$

গোলকের চার্জ এর মধ্যে দূরত্ব $L_{1}\,\!$ এবং তাদের বিকর্ষণ বল $F_{1}\,\!$।ধরি,কুলম্বের সূত্র নির্ভুল এবং এটি

$F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}$

এবং

${\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg\tan \theta _{1}\,\!$

এখন আমরা যদি যেকোনো একটি গোলককে চার্জ মুক্ত করি এবং যদি এটাকে চার্জ গোলকে রাখি তখন প্রতিটি চার্জ চার্জ q/2 অর্জন করবে। এই অবস্থায় হবে চার্জ এর মধ্যেবর্তি দূরত্ব এবং বিকর্ষণ বল হবে

$F_{2}={\frac {{(q/2)}^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {q^{2}/4}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}\,\!$

আমরা জানি,$F_{2}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$ *******(৩)

এবং ${\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg.\tan \theta _{2}$ ******(৪)

৩ কে ৪ দারা ভাগ করি, ${\frac {\left({\cfrac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {q^{2}/4}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}\right)}}={\frac {mg\tan \theta _{1}}{mg\tan \theta _{2}}}\Longrightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}={\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}$ *******(৫)

কোণ $\theta _{1}\,\!$,$\theta _{2}\,\!$ এবং চার্জ এর মধ্যে দূরত্ব $L_{1}\,\!$ and $L_{2}\,\!$ সমান প্রমাণ এর জন্য যথেষ্ট।পরীক্ষা ভুলের একটা হিসাব রাখতে হবে।অনুশীলনের ক্ষেত্রে কোণের মান বের করা বেশ কঠিন,যদি রাশির দৈর্ঘ্য বেশ বড় নেই তবে কর্ণের মান প্রায় ছোট হবে,

$\tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{l}}={\frac {L}{2l}}\Longrightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}$ **********(৬)

এই সম্ভাব্য সম্পর্ক কাজে লাগিয়ে সমীকরণ ৫ কে আরও সহজে লিখা যায়,

${\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow \,\!$ ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}\,\!$

এইভাবে চার্জ এর দূরত্ব সত্যতা যাচাই করাটা সীমিত এবং ভাগ করা সম্ভাব্য তত্ত্ব দেখতে হবে।

প্রসারণ এর অসীম গতির পরীক্ষামূলক প্রমাণ

২০১২ সালের শেষের দিকে ‘ইষ্টিটুটো নাজিওনাল ডি ফিসিকা নিউক্লিয়ারের’ গবেষকরা রোমের ফ্রেস্কাটির এর ‘ল্যাবরেটরি নাজিওনাল ডি ফিসিকাটি’ তে একটি পরীক্ষা করেন। সেখানে তারা চিহ্নিত করেন যে,ইলেকট্রন এর কিরণ এবং আবিষ্কারক যন্ত্রের মধ্যে বলের প্রসারণএ কোন বিলম্ব হয় নি।এটা চিহ্নিত করাছিল যে, ইলেকট্রন এর কিরণ বা আলোকরশ্মি ক্ষেত্রটির সাথে ভ্রমণ করে যেন পূর্ববর্তী আলোকরশ্মিগুলোর গঠন দৃঢ় হয়।যদিও প্রত্যাশিত প্রতিপাদন এর ফলাফল চিহ্নিত করে যে,সাময়িক স্মৃতিভ্রংশ কুলম্বের বলে উপস্থিত ছিল না।

স্থিরতড়িৎ এর আসন্ন মান

অন্য সূত্রে দেখা যায় যে, কুলম্বের সূত্র পুরোপুরি নির্ভুল যখন বস্তুগুলো স্থির এবং যখন প্রায়ই ধীর গতিতে থাকে তখন প্রায় নির্ভুল। এই অবস্থাগুলোকে স্থির তড়িৎ এর আসন্ন বলে। যখন গতিবিধির ফলে স্থান দখল করে তখন তড়িৎ চুম্বক ক্ষেত্র যা পরিবর্তিত বলের প্রভাবে বস্তু দুটির মধ্যে উৎপন্ন হয়।গতিসম্পন্ন চার্জগুলোর মধ্যেবর্তী চুম্বকীয় আকর্ষণকে স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে বলের ঘটনা মনে করা হয়। কিন্তু আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্বের সাথেও একে বিবেচনা করা হয়। অন্যান্য তত্ত্ব যেমন ওয়েবার এর ইলেকট্রো ডায়নামিক বলে যে অন্যান্য গতি কুলম্বের সূত্র এর সংশোধনের উপর নির্ভরশীল।

পারমাণবিক বল

কুলম্বের সূত্র এর ব্যবহার পরমাণুর মধ্যেও আছে। পারমাণবিক নিউক্লিয়াস এর ধনাত্মক চার্জ এবং ইলেকট্রনের প্রতিটি ঋণাত্মক চার্জ এর মধ্যবর্তী বলকে নির্ভুলভাবে ব্যাখ্যা করতে এটি ব্যবহৃত হয়। অণু হতে পরমাণুকে একত্রে আলাদা করা কঠিন ও তরল হতে অণু, পরমাণুকে একত্রীকরণে এই সহজ সূত্রটি দারা নির্ভুলভাবে হিসাব পাওয়া যায়। সাধারণত, যেহেতু আয়ন এর মাঝে দূরত্ব বৃদ্ধি পাওয়া, আকর্ষণ শক্তি শুন্যের কাছাকাছি এবং আয়নিক বন্ধন কম সহায়ক। যেহেতু, বিপরীত চার্জ এর মান বৃদ্ধি, শক্তি বৃদ্ধি এবং আয়নিক বন্ধন অনেক সুবিধাপূর্ণ।