বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্ব

বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্ব হল স্ট্রিং তত্ত্বের মূল সংস্করণ, যা ১৯৬০-এর দশকের শেষের দিকে বিকশিত হয়েছিল এবং সত্যেন্দ্র নাথ বসুর নামে এর নামকরণ করা হয়। এমন নামকরণের কারণ এটি বর্ণালীতে শুধু মাত্র বোসন ধারণ করে।

১৯৮০-এর দশকে, স্ট্রিং তত্ত্বের পরিপ্রেক্ষিতে সুপারসিমেট্রি আবিষ্কৃত হয় এবং সুপারস্ট্রিং তত্ত্ব (অতিপ্রতিসম স্ট্রিং তত্ত্ব) নামে স্ট্রিং তত্ত্বের একটি নতুন সংস্করণ আগ্রহের কেন্দ্রবিন্দু হয়ে ওঠে। তা সত্ত্বেও, বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্বটি বিভ্রান্তিকর স্ট্রিং তত্ত্বের অনেক সাধারণ বৈশিষ্ট্য বোঝার জন্য একটি খুব দরকারী মডেল হিসেবে রয়ে গিয়েছে, এবং সুপারস্ট্রিংয়ের অনেক তাত্ত্বিক অসুবিধা বোসনীয় স্ট্রিং-এর প্রেক্ষাপটে ইতোমধ্যেই পাওয়া যেতে পারে।

সমস্যা

যদিও বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্বের অনেক আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে এটি দুটি উল্লেখযোগ্য ক্ষেত্রে একটি কার্যকর ভৌত মডেল হিসেবে যথেষ্ট নয়।

প্রথমত, এটি কেবলই বোসনের অস্তিত্বের ভবিষ্যদ্বাণী করে যদিও সেখানে অনেক ভৌত কণা ফার্মিয়ন।

দ্বিতীয়ত, এটি কাল্পনিক ভর সহ স্ট্রিংয়ের একটি মোডের অস্তিত্বের ভবিষ্যদ্বাণী করে, যা বোঝায় যে তত্ত্বটির “ট্যাকিয়ন ঘনীকরণ” নামে পরিচিত একটি প্রক্রিয়ার অস্থিরতা রয়েছে।

উপরন্তু, সাধারণ স্থানকাল মাত্রায় বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্ব কনফরমাল অসঙ্গতির কারণে অসঙ্গতি প্রদর্শন করে। কিন্তু, যেমনটি ক্লদ লাভলেস প্রথম লক্ষ্য করেছিলেন, ২৬ মাত্রার একটি স্থানকাল (স্থানের ২৫ মাত্রা এবং সময়ের একটি), তত্ত্বের জন্য গুরুত্বপূর্ণ মাত্রা, অসঙ্গতি বাতিল করে। এই উচ্চমাত্রিকতাটি স্ট্রিং তত্ত্বের জন্য যদিও কোন সমস্যা নয়, কারণ এটি এমনভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে যে ২২টি অতিরিক্ত মাত্রা বরাবর স্থানকাল একটি ছোট টরাস বা অন্যান্য কমপ্যাক্ট পৃষ্ঠতল তৈরি করতে ভাঁজ করা হয়। এটি স্থানকালের কেবল পরিচিত ৪টি মাত্রাকে নিম্ন-শক্তি পরীক্ষায় দৃশ্যমান করবে। সমালোচনামূলক মাত্রার একটি অস্তিত্ব যেখানে অসঙ্গতি বাতিল হওয়া সব স্ট্রিং তত্ত্বের এটি একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য।

বোসনীয় স্ট্রিং এর প্রকারভেদ

উন্মুক্ত স্ট্রিং অনুমোদিত কিনা এবং স্ট্রিংগুলোর একটি নির্দিষ্ট অভিযোজন আছে কিনা তার উপর নির্ভর করে ৪টি সম্ভাব্য বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্ব রয়েছে। মনে রাখবেন যে উন্মুক্ত স্ট্রিংগুলোর একটি তত্ত্বেও অবশ্যই বদ্ধ স্ট্রিং অন্তর্ভুক্ত করতে হবে; উন্মুক্ত স্ট্রিংগুলোকে মনে করা যেতে পারে যে তাদের শেষ বিন্দুগুলো একটি ডি২৫-ব্রেনে স্থির করা হয়েছে যা সমস্ত স্থানকাল পূরণ করে। স্ট্রিংয়ের একটি নির্দিষ্ট অভিযোজনের অর্থ হচ্ছে কেবল একটি ওরিয়েন্টেবল ওয়ার্ল্ডশীটের সাথে সম্পর্কিত মিথস্ক্রিয়া অনুমোদিত (যেমন, দুটি স্ট্রিং কেবল সমান অভিযোজনের সাথে একত্রিত হতে পারে)। ৪টি সম্ভাব্য তত্ত্বের একটি বর্ণালী (স্পেকট্রা) স্কেচ নিম্নরূপ:

বোসনীয় স্ট্রিং তত্ত্ব	অ-পজিটিভ $M^{2}$ অবস্থা
উন্মুক্ত এবং বদ্ধ, ওরিয়েন্টেড	ট্যাকিয়ন, গ্র্যাভিটন, ডিলাটন, ভরহীন প্রতিসম টেনসর
উন্মুক্ত এবং বদ্ধ, অমুখী	ট্যাকিয়ন, গ্র্যাভিটন, ডিলাটন
বদ্ধ, ওরিয়েন্টেড	ট্যাকিয়ন, গ্র্যাভিটন, ডিলাটন, অ-প্রতিসম টেনসর, U(1) ভেক্টর বোসন
বদ্ধ, অমুখী	ট্যাকিয়ন, গ্র্যাভিটন, ডিলাটন

উল্লেখ্য যে, ৪টি তত্ত্বেরই একটি নেতিবাচক শক্তি ট্যাকিয়ন ($M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}$) এবং একটি ভরবিহীন মহাকর্ষ বা গ্রাভিটন আছে।

এই নিবন্ধের বাকি অংশ সীমাহীন, ওরিয়েন্টেবল ওয়ার্ল্ডশিটের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বদ্ধ, ওরিয়েন্টেড তত্ত্বের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

গণিত

পাথ ইন্টিগ্রাল পারটার্বেশন তত্ত্ব

বোসনীয়স্ট্রিং তত্ত্বকে বলা যেতে পারে পলিয়াকভ ক্রিয়ার পাথ ইন্টিগ্রাল কোয়ান্টাইজেশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)$

$x^{\mu }(\xi )$ হল ওয়ার্ল্ডশীটের ২৫+১ স্থানকালে স্ট্রিং-এর এমবেডিং বর্ণনা করে এমন একটি ক্ষেত্র; পলিয়াকভ ফর্মুলেশনে, $g$ এমবেডিং থেকে প্ররোচিত পরিমাপ হিসেবে বোঝা যাবে না, কিন্তু একটি স্বাধীন গতিশীল ক্ষেত্র হিসেবে দেখতে হবে। $G$ গন্তব্য স্থানকালের পরিমাপ (মেট্রিক), যা সাধারণত বিভ্রান্তিকর তত্ত্বে মিনকোস্কি পরিমাপ হিসেবে নেওয়া হয়। একটি উইক ঘূর্ণনের অধীনে, এটি একটি ইউক্লিডিয় পরিমাপ $G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }$-তে আনা হয়। M হল একটি টপোলজিক্যাল পৃষ্ঠতল হিসেবে ওয়ার্ল্ডশীট, যা $\xi$ স্থানাঙ্ক দ্বারা পরিমাপিত। $T$ হল স্ট্রিং টান এবং রেজজে ঢালের সাথে সম্পর্কিত, $T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}$।

$I_{0}$-er ডিফিওমরফিজম ও ওয়েইল রূপান্তর আছে। কোয়ান্টাইজেশন (কনফরমাল অ্যানোমালি) এর উপর ওয়েইল প্রতিসাম্য ভেঙ্গে যায় আর তাই এই ক্রিয়াটিকে অয়লার বৈশিষ্ট্যের সমানুপাতিক একটি কাল্পনিক বিশুদ্ধ টপোলজিকাল টার্মসহ একটি কাউন্টারটার্মের সাথে সম্পূরক করতে হবে:

$I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}$

কাউন্টারটার্ম দ্বারা ওয়েইল ইনভেরিয়েন্সের সুস্পষ্ট ভাঙ্গন সমালোচনামূলক মাত্রা ২৬-এ বাতিল করা যেতে পারে।

তারপর (ইউক্লিডীয়) পার্টিশন ফাংশন এবং N-পয়েন্ট ফাংশন থেকে ভৌত পরিমাণগুলো তৈরি করা হয়:

$Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])$

$\left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })$

বিভ্রান্তিকর সিরিজকে টোপোলজির উপর একটি সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা হয়, জিনাস দ্বারা সূচিত করা হয়।

বিযুক্ত সমষ্টি হল সম্ভাব্য টপোলজির একটি সমষ্টি, যা ইউক্লিডিয়ান বোসনীয় ওরিয়েন্টেবল ক্লোজড স্ট্রিংগুলোর জন্য কম্প্যাক্ট ওরিয়েন্টেবল রিম্যানিয়ান পৃষ্ঠতল এবং এভাবে একটি জেনাস $h$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি স্বাভাবিকীকরণ ফ্যাক্টর ${\mathcal {N}}$ প্রতিসাম্য থেকে অতিগণনা ক্ষতিপূরণ চালু করা হয়। যদিও পার্টিশন ফাংশনের গণনা মহাজাগতিক ধ্রুবের সাথে মিলে যায়, N-পয়েন্ট ফাংশন, $p$ ভার্টেক্স অপারেটর সহ, স্ট্রিং এর বিক্ষিপ্ত প্রশস্ততা বর্ণনা করে।

ক্রিয়াটির প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি আসলে একীকরণ স্থানকে একটি সসীম মাত্রিক বহুগুণে ব্যাপকভাবে হ্রাস করে। $g$ টি পার্টিশন ফাংশনে পাথ-ইন্টেগ্রাল হল সম্ভাব্য রিম্যানিয়ান কাঠামোর উপর একটি অগ্রাধিকার ; যাইহোক, ওয়েইল ট্রান্সফরমেশনের সাপেক্ষে উদ্ধৃতি আমাদের কেবলই কনফর্মাল কাঠামো বিবেচনা করতে দেয়, অর্থাৎ পরিমাপসমূহের (মেট্রিকসমূহের) সমতুল্য শ্রেণীগুলো

$g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )$

যেহেতু ওয়ার্ল্ডশিটটি দ্বিমাত্রিক, তাই কনফর্মাল কাঠামো ও জটিল কাঠামোর মধ্যে একটি ১-১ সাযুজ্য রয়েছে। একটিকে এখনও ডিফিওমরফিজমগুলোকে উদ্ধৃত (quotient) করতে হবে। এটি আমাদেরকে সমস্ত সম্ভাব্য জটিল কাঠামোর মডিউল ডিফিওমরফিজম স্থানের উপর একীভূত করে দেয়, যা কেবল প্রদত্ত টপোলজিকাল পৃষ্ঠের মডুলি স্থান এবং প্রকৃতপক্ষে একটি সসীম-মাত্রিক জটিল বহুগুণ। বিভ্রান্তিকর বোসনীয় স্ট্রিংগুলোর মৌলিক সমস্যা তাই মডুলি স্থানের প্যারামেট্রিলাইজেশনে পরিণত হয়, যা জিনাসের $h\geq 4$ জন্য অ-তুচ্ছ।

h = ০

ট্রি-স্তরে, জেনাস ০-এর সাথে মিল রেখে, মহাজাগতিক ধ্রুবক অদৃশ্য হয়: $Z_{0}=0$।

৪টি ট্যাকিয়ন ছড়িয়ে দেওয়ার জন্য চার-বিন্দু ফাংশন হল শাপিরো-ভিরাসোরো প্রশস্ততা:

$A_{4}\propto (2\pi )^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2)\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}$

যেখানে $k$ মোট ভরবেগ এবং $s$, $t$, $u$ ম্যান্ডেলস্টাম ভেরিয়েবল।

h = ১

ছায়াযুক্ত অঞ্চলটি মডুলার গ্রুপের জন্য একটি সম্ভাব্য মৌলিক ডোমেন।

জেনাস ১ হল টরাস, এবং এক-লুপ স্তরের ফেইনম্যান ডায়াগ্রামের সাথে মিলে যায়। পার্টিশন ফাংশনের পরিমাণ হল:

$Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}$

$\tau$ হল ধনাত্মক কাল্পনিক অংশ $\tau _{2}$ সহ একটি জটিল সংখ্যা; টোরাসের মডুলি স্থানে হোলোমর্ফিক ${\mathcal {M}}_{1}$ মডুলার গ্রুপের জন্য যেকোনো মৌলিক ডোমেন $PSL(2,\mathbb {Z} )$-এর উপরের অর্ধ সমতলে কাজ করে, উদাহরণস্বরূপ, $\left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}$। $\eta (\tau )$ হল ‘ডেডিকিন্ড এটা ফাংশন’। ইন্টিগ্র্যান্ডটি অবশ্যই মডুলার গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয়: পরিমাপটি ${\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}$ সহজভাবে পোইনকারে পরিমাপ যার আইসোমেট্রি গ্রুপ হিসেবে PSL(2,R) আছে; ইন্টিগ্র্যান্ডটির বাকি অংশও $\tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}$-এর গুণে অপরিবর্তনীয় এবং এও সত্য যে $\eta (\tau )$ হল ১/২ ওজনের একটি মডুলার গঠন।

এই অভঙ্গটি বিচ্যুত হয়। এটি ট্যাকিয়নের উপস্থিতির কারণে এবং এটি উদ্বেগজনক ভ্যাকুয়ামের অস্থিরতার সাথে সম্পর্কিত।

আরও দেখুন

• নাম্বু-গোটো অ্যাকশন
• পলিয়াকভ অ্যাকশন

তথ্যসূত্র

• ডি'হোকার, এরিক; ফং, ডি.এইচ. (অক্টোবর ১৯৮৮)। "The geometry of string perturbation theory"। আমেরিকান ফিজিক্যাল সোসাইটি: ৯১৭–১০৬৫। ডিওআই:10.1103/RevModPhys.60.917। 
• বেলাভিন, এ.এ.; নেইঝনিক, ভি.জি. (ফেব্রু ১৯৮৬)। "Complex geometry and the theory of quantum strings": 364–390। ২০২১-০২-২৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২৪ এপ্রিল ২০১৫। 

বহি সংযোগ

• কয়টি স্ট্রিং তত্ত্ব আছে?
• PIRSA:C09001 - বোসনীয়স্ট্রিং-এর ভূমিকা