বৃত্তের স্পর্শক রেখা

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, বৃত্তের স্পর্শক হল এমন একটি রেখা যা বৃত্তটিকে যে কোনো একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কখনও বৃত্তের অভ্যন্তরে প্রবেশ করে না। বৃত্তের স্পর্শককে কেন্দ্র করে বহু উপপাদ্য প্রস্তুত করে এবং অনেক জ্যামিতিক নির্মাণ ও প্রমাণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যেহেতু $P$ বিন্দুতে একটি বৃত্তের স্পর্শক সেই বিন্দুর ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব, তাই স্পর্শক রেখা জড়িত উপপাদ্যগুলি প্রায়শই রেডিয়াল রেখা এবং অভিলম্ব বৃত্তের সাথে জড়িত হয়।

একটি বৃত্তের স্পর্শক

কোনো বৃত্তের স্পর্শক t সেই বৃত্ত C কে একটিই মাত্র বিন্দু T তে ছেদ করে। অপর দিকে, ছেদক বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, এমনকি বৃত্তের সঙ্গে সামতলিক এমন রেখাও হতে পারে যা বৃত্তকে কোনো বিন্দুতেই ছেক করে না। স্পর্শকের এই ধর্ম কোনো পরিবর্তনেই (যেমন- স্কেলিং, ঘূর্ণন, স্থানান্তর, বিপরীতীকরণ, মানচিত্র অভিক্ষেপ পরিবর্তিত হয় না। সহজ ভাষায় এই সব ঘটনায় স্পর্শক ও বৃত্ত বিকৃত হলেও তাদের ব্যাপ্তি গঠন পরিবর্তিত হয় না।

কোনো বৃত্তের স্পর্শক তাকে যে বিন্দুতে ছেদ করে সেই বিন্দুর ব্যাসার্ধ স্পর্শকটির উপর লম্ব হয়। আবার কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর উপর অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব রেখাই হল স্পর্শক। সুতরাং ব্যাসার্ধের অক্ষের সাপেক্ষে বৃত্ত ও স্পর্শকের সম্পর্ক প্রতিসাম্যিক হয়।

বৃত্ত মধ্যস্থ কোনো বিন্দু থেকে কখনই কোনো স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে না, কারণ সেই প্রকৃতির রেখা মাত্রেই তা ছেদক হয়ে পরবে। কিন্তু বৃত্তের বর্হিস্থ যে কোনো বিন্দু P থেকে অবশ্যই দুটি স্পর্শক অঙ্কিত হতে পারে। ওই বিন্দু থেকে ব্যাসার্ধের সাপেক্ষে বৃত্ত এবং স্পর্শকদ্বয়ের মধ্যে প্রতিসাম্য বর্তমান থাকবে। অর্থাৎ একি বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্যও সমান হবে। ছেদক-স্পর্শক উপপাদ্য অনুসারে এই রেখার দৈর্ঘ্যের বর্গ বৃত্ত C মধ্যস্থ বিন্দু P এর শক্তি নির্দেশ করে।

স্পর্শক t এবং স্পর্শক বিন্দুর t একটি পারস্পারিক সম্পর্ক বর্তমান থাকে, যা থেকেই মেরু এবং মেরুজ রেখার ধারণা জন্মায়। এই একই সম্পর্ক থাকে বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু P এবং ছেদকের যা উভয় স্পর্শক বিন্দুকে যোগ করে।

যদি বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু P থেকে অঙ্কিত রেখা O কেন্দ্র যুক্ত বৃত্তকে T বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাহলে ∠TPS এবং ∠TOS যোগফল সম্পূরক হবে। যদি একটি জ্যা TS অঙ্কন করা হয় এবং ∠PTM ≤ 90° হয় তবে ∠PTM = (1/2)∠TOM।

স্পর্শক সংক্রান্ত সমীকরণ

ধরা যাক, $(a,b)$ কেন্দ্র যুক্ত কোনো বৃত্তের সমীকরণ $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ । যদি স্পর্শক বৃত্তটিকে $(x_{1},y_{1})$ বিন্দু তে ছেদ করে তাহলে,

(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0

বৃত্তের অন্তরমুখী অন্তরকলন দ্বারা এটি প্রমাণ করা যেতে পারে।

স্পর্শক সংক্রান্ত সম্পাদ্য

বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন করার পদ্ধতিটি হল-

প্রথমে বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে একটি সরলরেখা a অঙ্কন করা হল যা স্পর্শক বিন্দু T গামী হবে।
t রেখা a রেখার উপর লম্ব হবে।

থেলসের উপপাদ্য দ্বারাও কোনো বৃত্ত C এর বাইরের কোনো বিন্দু P থেকে বৃত্ত অঙ্কন করা যেতে পারে:

O কেন্দ্র যুক্ত কোনো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দেয় বর্হিস্থ বিন্দু P পর্যন্ত রেখা অঙ্কন করা হল।
OP কে মধ্যবিন্দু ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হল যার ব্যাস হবে OP।
নব অঙ্কিত বৃত্তটি দেয় বৃত্তকে $T_{1}$ ও $T_{2}$ তে ছেদ করবে যা দেয় বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু হবে।

$OT_{1}$ ও $OT_{2}$ সরলরেখাংশ দ্বয় দেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধদ্বয় যারা একটি অর্ধবৃত্তের মধ্যে অঙ্কিত হয়েছে এবং তারা যথাক্রমে $PT_{1}$ ও $PT_{2}$ এর উপর লম্ব। স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়, তাই $PT_{1}$ ও $PT_{2}$ বৃত্তের স্পর্শক রেখা।

আরেকটি পদ্ধতিতে স্কেল ব্যবহারের মাধ্যমে এটি অঙ্কন করা যেতে পারে-

P বিন্দু থেকে এমন তিনটি রেখাংশ অঙ্কন করা হল যা বৃত্তকে দুটি করে বিন্দুতে ছেদ করবে।
ধরা যাক বিন্দু গুলি হল $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ যেখানে একই অক্ষর একই সরলরেখা দ্বারা ছেদিত বিন্দুকে নির্দেশ করে।
ধরা যাক, $A_{1}B_{2}$ ও $A_{2}B_{1}$ পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
একই ভাবে E বিন্দুতে $B_{1}C_{2}$ ও $B_{2}C_{1}$ ছেদ করেছে।
D ও E বিন্দু যোগ করা হল।
DE বৃত্তকে F ও G ছেদ করবে।
PF ও PG হল বৃত্তের দুটি স্পর্শক।^[১]

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ও স্পর্শক

ধরা যাক, $P=(a,b)$ বৃত্তের একটি বিন্দু যার সমীকরণ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ এবং $P$ বিন্দুতে বৃত্তকে স্পর্শ করা স্পর্শকের সমীকরণ $ax+by=r^{2}$ কারণ $P$ উভয় বক্ররেখায় অবস্থান করে ও ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ রেখাটির সাধারণ ভেক্টর। স্পর্শকটি $ax_{0}=r_{2}$ সমীকরণ যুক্ত বিন্দু $P_{0}=(x_{0},0)$ ছেদ করেছে।