স্পর্শক

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন
একটি বক্ররেখা যাও টানেন্ট। লাল লাইনটি একটি লাল বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত বিন্দুতে বক্ররেখার পরিচায়ক।
একটি গোলক ট্যানজেন্ট সমতল

ইন জ্যামিতি , স্পর্শক রেখা (অথবা কেবল স্পর্শক ) একটি সমতল থেকে বক্ররেখা একটি প্রদত্ত এ বিন্দু হয় সরল রেখা যে, "শুধু স্পর্শ" যে সময়ে বক্ররেখা। লেবনিজ এটি বক্ররেখা উপর অসীম বন্ধ পয়েন্ট একটি জোড়া মাধ্যমে লাইন হিসাবে সংজ্ঞায়িত । [1] আরো অবিকল, লাইনটি বিন্দু ( c , f ( c , c ( c , f ( c) এর মধ্য দিয়ে পাস করলে বক্ররেখা একটি বিন্দু x = c ( x ) এ একটি বক্ররেখা y = f ( x ))) বক্ররেখা এবং ঢাল হয়েছে ' ( ) , যেখানে ' হয় ব্যুৎপন্ন এর । একই রকম সংজ্ঞা স্থান-বক্ররেখা এবং এন- ডাইমেনশনাল ইউক্লিডান স্পেসে কার্ভগুলিতে প্রযোজ্য ।

যেমনটি টানেন্ট লাইন এবং বক্ররেখা পূরণ করে, বিন্দুটিকে টেনেন্সি বলে অভিহিত করে , ত্যাঞ্চেন্ট লাইনটি বক্ররেখা হিসাবে "একই দিকের দিকে যাচ্ছে" এবং এভাবে বক্ররেখাটির সর্বোত্তম সোজা লাইনের আনুমানিকতা বিন্দু।

একইভাবে, প্রদত্ত বিন্দুতে পৃষ্ঠের ট্যানজেন্ট সমতল একটি সমতল যা সেই সময়ে পৃষ্ঠটিকে "শুধু স্পর্শ করে"। একটি টানেন্ট ধারণাটি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিগুলির মধ্যে সবচেয়ে মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি এবং ব্যাপকভাবে সাধারণকরণ করা হয়েছে; দেখতে ট্যানজেন্ট স্থান ।

"টাংজেন্ট" শব্দটি " টাচ" শব্দটি ল্যাটিন টঙ্গী থেকে এসেছে ।

ইতিহাস[সম্পাদনা]

ইউক্লিড স্পর্শক (বিভিন্ন রেফারেন্স তোলে ἐφαπτομένη ephaptoménē পুস্তক তৃতীয় মধ্যে একটি চেনাশোনাতে) উপাদানসমূহ (গ। 300 বিসি)। [২] এর মধ্যে অ্যাপোলোনিয়াস কাজ Conics (গ। 225 বিসি) তিনি হচ্ছে একটি স্পর্শক সংজ্ঞায়িত একটি লাইন যেমন যে অন্য কোন সরল রেখা পারে এটি এবং বক্ররেখা মধ্যে পড়ে [3]

Archimedes (c। 287 - c। 212 BC) বক্ররেখা বরাবর সরানো একটি বিন্দু পথ বিবেচনা করে একটি আর্কিমিডিয়ান সর্পিল টানেন্ট পাওয়া । [3]

1630-এর দশকে Fermat বিশ্লেষণে টাঙ্গেন্ট এবং অন্যান্য সমস্যাগুলি গণনা করার জন্য পর্যাপ্ততার কৌশল বিকশিত করেন এবং প্যারাবোলাতে টাঙ্গেন্টগুলির গণনা করার জন্য এটি ব্যবহার করেন। Adeqality কৌশল মধ্যে পার্থক্য অনুরূপ এবং  এবং একটি শক্তি দ্বারা বিভাজক । স্বাধীনভাবে Descartes পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে আদর্শের তার পদ্ধতি ব্যবহার করে যে একটি বৃত্ত এর ব্যাসার্ধ বৃত্ত নিজেই স্বাভাবিক। [4]

এই পদ্ধতি 17 শতকের মধ্যে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস বিকাশ নেতৃত্বে । অনেক মানুষ অবদান। রবার্ভাল একটি চলমান বিন্দু দ্বারা বর্ণিত একটি বক্ররেখা বিবেচনা করে টানেন্ট আঁকার একটি সাধারণ পদ্ধতি আবিষ্কার করেন, যার গতি অনেক সহজ গতির ফলাফল। [5] রেন-ফ্রাঙ্কো ডি স্লুস এবং জোহানেস হুড্ড টাঙ্গেন্ট খুঁজে বের করার জন্য বীজগণিত অ্যালগরিদম খুঁজে পেয়েছেন। [6] আরও বিকাশে জন ওয়ালিস এবং আইজাক ব্যারোর অন্তর্ভুক্ত ছিল , যার ফলে আইজাক নিউটন এবং গোটফ্রেড লিবনিজ তত্ত্বের সূচনা ঘটে ।

188২ সালের একটি টানেন্টের সংজ্ঞাটি "একটি সঠিক লাইন যা একটি বক্ররেখা স্পর্শ করে, কিন্তু যা উত্পাদিত হয় তা কাটা হয় না"। [7] এই পুরনো সংজ্ঞাটি কোন টানেন্ট থাকার পরিবর্তে বিন্দু বিন্দুকে বাধা দেয় । এটি বরখাস্ত করা হয়েছে এবং আধুনিক সংজ্ঞাগুলি লিবনিজের সমতুল্য, যারা বক্ররেখাটির সীমাহীন বন্ধকগুলির একটি জোড়ার মাধ্যমে লাইনের মতো লম্বা লাইন সংজ্ঞায়িত করেছেন ।

Tangent line to a curve[সম্পাদনা]

একটি স্পর্শক, একটি জ্যা , এবং একটিকর্তক একটি চেনাশোনাতে

স্বতঃস্ফূর্ত ধারনা যে একটি টানেন্ট লাইনটি "ছোঁয়া" একটি বক্ররেখা সোজা বিন্দু ( সেকেন্ড লাইন গুলি) দুটি বিন্দু, এবং বি , যা ফাংশন বক্ররেখা থেকে থাকে, মাধ্যমে ক্রমানুসারে আরো স্পষ্ট করে তুলতে পারে । A এ টানেন্টটি সীমা যখন বি বি অনুমান করে বা A তে থাকে । ট্যানজেন্ট লাইনের অস্তিত্ব এবং অনন্যতা একটি নির্দিষ্ট ধরনের গাণিতিক মসৃণতা উপর নির্ভর করে, যা "ভিন্নতা" হিসাবে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি দুটি বৃত্তাকার arcs একটি তীক্ষ্ণ বিন্দু (একটি শূন্যস্থান) এ মিলিত হয় তবে শিরোনামের কোনও নির্দিষ্ট সংজ্ঞায়িত টানেন্ট নেই কারণ সেকেন্ড লাইনের অগ্রগতির সীমাটি সেই দিকের উপর নির্ভর করে যা "বিন্দু বি ""vertex পন্থা।

বেশিরভাগ পয়েন্টে, টানেন্টটি বক্ররেখাটি ছাড়াই বক্ররেখা স্পর্শ করে (যদিও এটি অব্যাহত থাকে তবে টেন্যান্টের বিন্দু থেকে দূরে অন্যান্য স্থানে বক্ররেখা অতিক্রম করে)। একটি বিন্দু যেখানে টানেন্ট (এই বিন্দুতে) বক্ররেখা অতিক্রম করে একটি বিন্দু বিন্দু বলা হয় । Circle s, parabola s, hyperbola s এবং ellipse গুলি এর কোনও বিন্দু বিন্দু নেই, তবে আরও জটিল কার্ভগুলি আছে, যেমন একটি ঘনক ফাংশনের গ্রাফের মতো , যার একটি ঠিক বিন্দু বিন্দু রয়েছে, বা একটি সিনাসয়েড, যার প্রতি দুইটি পরিবর্তনের পয়েন্ট রয়েছে প্রতিটি সময়ের এর সাইন ।

বিপরীতভাবে, এটি এমন হতে পারে যে বক্ররেখটি সোজা বিন্দুটির একপাশে একটি বিন্দুতে গিয়ে এটির একটি বিন্দুতে অবস্থিত, এবং তবুও এই সোজা লাইনটি টানেন্ট লাইন নয়। উদাহরণস্বরূপ, উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজের সারির মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী একটি লাইনের জন্য এবং অন্যথায় এটি ছেদ করে না-যেখানে উপরে বর্ণিত কারণগুলির জন্য টানেন্ট লাইন বিদ্যমান নেই। ইন উত্তল জ্যামিতি , এই ধরনের লাইন বলা হয় লাইন সমর্থনকারী ।

At each point, the moving line is always tangent to the curve. Its slope is the derivative; green marks positive derivative, red marks negative derivative and black marks zero derivative. The point (x,y) = (0,1) where the tangent intersects the curve, is not a max, or a min, but is a point of inflection.

Analytical approach[সম্পাদনা]

টেকসেন্ট লাইনের সীমা লাইন সীমা লাইনের জ্যামিতিক ধারণা বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিগুলির প্রেরণা হিসাবে কাজ করে যা স্পর্শকাতর টানেন্ট লাইনগুলি খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয়। 17 ই শতকের ক্যালকুলাসের বিকাশের দিকে পরিচালিত কেন্দ্রীয় প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি গ্রাফে ট্যানজেন্ট লাইন বা ট্যানজেন্ট লাইন সমস্যাটি খোঁজার প্রশ্নটি ছিল। তার জ্যামিতি এর দ্বিতীয় বইয়ের মধ্যে , রেনি ডিসকার্টেস [8]একটি বক্ররেখা টানেন্ট তৈরির সমস্যা সম্পর্কে বলেন , "এবং আমি সাহস করে বলছি যে এই জ্যামিতি যা আমি জানি তা শুধুমাত্র সবচেয়ে দরকারী এবং সর্বাধিক সাধারণ সমস্যা নয়, এমনকি যে আমি কখনও জানতে চেয়েছিলেন।

Intuitive description[সম্পাদনা]

Suppose that a curve is given as the graph of a function, y = f(x). To find the tangent line at the point p = (a, f(a)), consider another nearby point q = (a + h, f(a + h)) on the curve. The slope of the secant line passing through p and q is equal to the difference quotient

As the point q approaches p, which corresponds to making h smaller and smaller, the difference quotient should approach a certain limiting value k, which is the slope of the tangent line at the point p. If k is known, the equation of the tangent line can be found in the point-slope form:

More rigorous description[সম্পাদনা]

To make the preceding reasoning rigorous, one has to explain what is meant by the difference quotient approaching a certain limiting value k. The precise mathematical formulation was given by Cauchy in the 19th century and is based on the notion of limit. Suppose that the graph does not have a break or a sharp edge at p and it is neither plumb nor too wiggly near p. Then there is a unique value of k such that, as h approaches 0, the difference quotient gets closer and closer to k, and the distance between them becomes negligible compared with the size of h, if h is small enough. This leads to the definition of the slope of the tangent line to the graph as the limit of the difference quotients for the function f. This limit is the derivative of the function f at x = a, denoted f ′(a). Using derivatives, the equation of the tangent line can be stated as follows:

Calculus provides rules for computing the derivatives of functions that are given by formulas, such as the power function, trigonometric functions, exponential function, logarithm, and their various combinations. Thus, equations of the tangents to graphs of all these functions, as well as many others, can be found by the methods of calculus.

How the method can fail[সম্পাদনা]

Calculus also demonstrates that there are functions and points on their graphs for which the limit determining the slope of the tangent line does not exist. For these points the function f is non-differentiable. There are two possible reasons for the method of finding the tangents based on the limits and derivatives to fail: either the geometric tangent exists, but it is a vertical line, which cannot be given in the point-slope form since it does not have a slope, or the graph exhibits one of three behaviors that precludes a geometric tangent.

The graph y = x1/3 illustrates the first possibility: here the difference quotient at a = 0 is equal to h1/3/h = h−2/3, which becomes very large as h approaches 0. This curve has a tangent line at the origin that is vertical.

The graph y = x2/3 illustrates another possibility: this graph has a cusp at the origin. This means that, when h approaches 0, the difference quotient at a = 0 approaches plus or minus infinity depending on the sign of x. Thus both branches of the curve are near to the half vertical line for which y=0, but none is near to the negative part of this line. Basically, there is no tangent at the origin in this case, but in some context one may consider this line as a tangent, and even, in algebraic geometry, as a double tangent.

The graph y = |x| of the absolute value function consists of two straight lines with different slopes joined at the origin. As a point q approaches the origin from the right, the secant line always has slope 1. As a point q approaches the origin from the left, the secant line always has slope −1. Therefore, there is no unique tangent to the graph at the origin. Having two different (but finite) slopes is called a corner.

Finally, since differentiability implies continuity, the contrapositive states discontinuity implies non-differentiability. Any such jump or point discontinuity will have no tangent line. This includes cases where one slope approaches positive infinity while the other approaches negative infinity, leading to an infinite jump discontinuity

Equations[সম্পাদনা]

When the curve is given by y = f(x) then the slope of the tangent is so by the point–slope formula the equation of the tangent line at (XY) is

where (xy) are the coordinates of any point on the tangent line, and where the derivative is evaluated at .[১]

When the curve is given by y = f(x), the tangent line's equation can also be found[২] by using polynomial division to divide by ; if the remainder is denoted by , then the equation of the tangent line is given by

When the equation of the curve is given in the form f(xy) = 0 then the value of the slope can be found by implicit differentiation, giving

The equation of the tangent line at a point (X,Y) such that f(X,Y) = 0 is then[১]

This equation remains true if but (in this case the slope of the tangent is infinite). If the tangent line is not defined and the point (X,Y) is said singular.

For algebraic curves, computations may be simplified somewhat by converting to homogeneous coordinates. Specifically, let the homogeneous equation of the curve be g(xyz) = 0 where g is a homogeneous function of degree n. Then, if (XYZ) lies on the curve, Euler's theorem implies

It follows that the homogeneous equation of the tangent line is

The equation of the tangent line in Cartesian coordinates can be found by setting z=1 in this equation.[৩]

To apply this to algebraic curves, write f(xy) as

where each ur is the sum of all terms of degree r. The homogeneous equation of the curve is then

Applying the equation above and setting z=1 produces

as the equation of the tangent line.[৪] The equation in this form is often simpler to use in practice since no further simplification is needed after it is applied.[৩]

If the curve is given parametrically by

then the slope of the tangent is

giving the equation for the tangent line at as[৫]

If the tangent line is not defined. However, it may occur that the tangent line exists and may be computed from an implicit equation of the curve.

Normal line to a curve[সম্পাদনা]

The line perpendicular to the tangent line to a curve at the point of tangency is called the normal line to the curve at that point. The slopes of perpendicular lines have product −1, so if the equation of the curve is y = f(x) then slope of the normal line is

and it follows that the equation of the normal line at (X, Y) is

Similarly, if the equation of the curve has the form f(xy) = 0 then the equation of the normal line is given by[৬]

If the curve is given parametrically by

then the equation of the normal line is[৫]

Angle between curves[সম্পাদনা]

The angle between two curves at a point where they intersect is defined as the angle between their tangent lines at that point. More specifically, two curves are said to be tangent at a point if they have the same tangent at a point, and orthogonal if their tangent lines are orthogonal.[৭]

Multiple tangents at a point[সম্পাদনা]

The limaçon trisectrix: a curve with two tangents at the origin.

The formulas above fail when the point is a singular point. In this case there may be two or more branches of the curve that pass through the point, each branch having its own tangent line. When the point is the origin, the equations of these lines can be found for algebraic curves by factoring the equation formed by eliminating all but the lowest degree terms from the original equation. Since any point can be made the origin by a change of variables (or by translating the curve) this gives a method for finding the tangent lines at any singular point.

For example, the equation of the limaçon trisectrix shown to the right is

Expanding this and eliminating all but terms of degree 2 gives

which, when factored, becomes

So these are the equations of the two tangent lines through the origin.[৮]

When the curve is not self-crossing, the tangent at a reference point may still not be uniquely defined because the curve is not differentiable at that point although it is differentiable elsewhere. In this case the left and right derivatives are defined as the limits of the derivative as the point at which it is evaluated approaches the reference point from respectively the left (lower values) or the right (higher values). For example, the curve y = |x | is not differentiable at x = 0: its left and right derivatives have respective slopes –1 and 1; the tangents at that point with those slopes are called the left and right tangents.[৯]

Sometimes the slopes of the left and right tangent lines are equal, so the tangent lines coincide. This is true, for example, for the curve y = x 2/3, for which both the left and right derivatives at x = 0 are infinite; both the left and right tangent lines have equation x = 0.

Tangent circles[সম্পাদনা]

Two pairs of tangent circles. Above internally and below externally tangent

Two circles of non-equal radius, both in the same plane, are said to be tangent to each other if they meet at only one point. Equivalently, two circles, with radii of ri and centers at (xi, yi), for i = 1, 2 are said to be tangent to each other if

  • Two circles are externally tangent if the distance between their centres is equal to the sum of their radii.
  • Two circles are internally tangent if the distance between their centres is equal to the difference between their radii.[১০]

Surfaces and higher-dimensional manifolds[সম্পাদনা]

স্পর্শক সমতল একটি থেকে পৃষ্ঠ একটি প্রদত্ত সময়ে পি রেখাচিত্র ক্ষেত্রে স্পর্শক রেখা একটি অনুরূপ ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটা ভাল একটি প্লেনে পৃষ্ঠের পড়তা হয় পি , আর প্লেন পৃষ্ঠ পাসে 3 স্বতন্ত্র পয়েন্ট মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী সীমিত অবস্থান যেমন প্রাপ্ত করা যাবে পি এই পয়েন্ট মিলিত যেমন পি । আরো সাধারণভাবে, একটি হল -dimensional স্পর্শক স্থান একটি প্রতিটি বিন্দুতে -dimensional নানাবিধ মধ্যে এন -dimensional ইউক্লিডিয় স্থান

আরও দেখুন[সম্পাদনা]

  • নিউটন এর পদ্ধতি
  • সাধারণ (জ্যামিতি)
  • বৃত্তাকার অনুমান
  • অনুভুত বক্ররেখা
  • খাড়া
  • উপস্পর্শক
  • সাপোর্টিং লাইন
  • টানেন্ট শঙ্কু
  • টেনশিয়াল কোণ
  • টেনশিয়াল উপাদান
  • চেনাশোনা লম্বা লাইন
  • বহুবচন (গণিত) # একটি বহুমূল্য ফাংশন কাছাকাছি একটি বহুবচন ফাংশন বহিষ্কার
  • বীজগণিত বক্ররেখা # একটি বিন্দুতে টানেন্ট

References[সম্পাদনা]

  1. Edwards Art. 191
  2. Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette, November 2005, 466–467.
  3. Edwards Art. 192
  4. Edwards Art. 193
  5. Edwards Art. 196
  6. Edwards Art. 194
  7. Edwards Art. 195
  8. Edwards Art. 197
  9. Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publ. Co.: p. 140.
  10. Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O’Sullivan 1997

Sources[সম্পাদনা]

  • J. Edwards (১৮৯২)। Differential Calculus। London: MacMillan and Co.। পৃষ্ঠা 143 ff.। 

External links[সম্পাদনা]