E (গাণিতিক ধ্রুবক)

লক্ষ্য করুন: এই নিবন্ধের সঠিক শিরোনাম হবে e (গাণিতিক ধ্রুবক)।

e হলো প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। এটি একটি বাস্তব সংখ্যা যার সংখ্যাগত মান হলো ২.৭১৮ ২৮১ ৮২৮ ৪...

সংজ্ঞা

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।

মান নির্ণয়

১ + ১/১! + ১/২! + ১/৩! + ১/৪! + ... অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।

প্রমাণটাও সহজ, নিউটনের বাইনোমিয়াল সূত্র বলে,

$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n -1)x^2}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)x^3}{3!} + \ldots$

সুতরাং, যখন $x = \frac{1}{n}$, তখন,

$(1 + \frac{1}{n})^n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1(1 - \frac{1}{n})}{2!} + \frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!} + \ldots$

যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, $\frac{1}{n}$ এর মান তত শূণ্যের দিকে কমতে থাকে)।

সূচক ফাংশন

$e^x$ রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে $\exp(x)$ও লেখা হয়।

ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$

ক== অয়লারের অভেদ == $e^{i \pi} + 1 = 0\;$ সমীকরণটি e কে ১, π এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা(π পাই এর মত)