সূচক ফাংশন

সূচক ফাংশন, $\exp(x)$ হলো একটি ফাংশন যার মান $e^x$, যেখানে e হলো প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি ধ্রুবক।

সংজ্ঞা

$\exp(x) = e^x$

প্রতিরূপ

ফাংশনটিকে সীমা হিসেবে লেখা যায়,

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

বা, অসীম ধারা হিসেবে,

$\exp(x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots\sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} =$

এখানে $n!$ হলো $n$ এর ফ্যাকটোরিয়াল ।

ধর্ম

• এই ফাংশনটিকে ব্যবকলন করলে একই ফাংশন পাওয়া যায়,

${d \over dx} \exp(x) = \exp(x)$

অর্থাৎ ফাংশনটি ব্যবকলন অপারেটরের একটি আইগেনফাংশন।

• সূচকের সব ধর্ম আছে ফাংশনটির, যেমন $\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b)$
• ফাংশনটি প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশনের উলটো, $\exp(\ln x) = x, \ln\left(\exp(x)\right) = x$
• ফাংশনটির মান সব সময় (বাস্তব সংখ্যার জন্য) অঋণাত্মক।

জটিল সংখ্যার সূচক ফাংশন

কোন জটিল সংখ্যা $x+iy$ এর সূচক ফাংশনের মান হলো $\exp(x+iy)=\exp(x)\exp(iy)$, যেখানে অবাস্তব সংখ্যার সূচক অয়লারের অভেদের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত।

অয়লারের অভেদ

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, কখনও কখনও $\exp(i\theta)$ কে $\mbox{cis}\theta$ও লেখা হয়।