ত্রিকোণমিতিক ধারা

গণিতশাস্ত্রে ত্রিকোণমিতিক ধারা ( ইংরেজি:Trigonometric series) একটি অসীম ধারা যার সাধারণ পদ নিম্নরূপ:

$A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {(nx)}+B_{n}\sin {(nx)},$

যেখানে $x$ হচ্ছে চলক এবং $\{A_{n}\}$ ও $\{B_{n}\}$ সহগ। এটি ত্রিকোণমিতিক বহুপদীর এক অসীম সংস্করণ।

একটি ত্রিকোণমিতিক ধারাকে যোগজীকরণযোগ্য অপেক্ষক ${\textstyle f}$ এর ফুরিয়ার ধারা বলা হয় যদি সহগগুলির ধরন নিম্নরূপ হয়:

$A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {(nx)}\,dx$

$B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {(nx)}\,dx$

উদাহরণ

একক অপেক্ষকের ফুরিয়ে ধারা পর্যায়ক্রমিক ব্যবধানের শেষের কাছাকাছি গিবস ঘটনা থেকে ভোগে।

প্রতিটি ফুরিয়ে ধারা একটি ত্রিকোণমিতিক ধারার উদাহরণ। $[-\pi ,\pi ]$ এর জন্য ফাংশন $f(x)=x$ পর্যায়ক্রমে প্রসারিত করা হলে এর ফুরিয়ে সহগ হবে:

${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos {(nx)}\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin {(nx)}\,dx\\[4pt]&=-{\frac {x}{n\pi }}\cos {(nx)}+{\frac {1}{n^{2}\pi }}\sin {(nx)}{\Bigg \vert }_{x=-\pi }^{\pi }\\[5mu]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

যা একটি ত্রিকোণমিতিক ধারার উদাহরণ:

$2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin {(nx)}=2\sin {(x)}-{\frac {2}{2}}\sin {(2x)}+{\frac {2}{3}}\sin {(3x)}-{\frac {2}{4}}\sin {(4x)}+\cdots$