অসীম ধারা

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন

ধারণা[সম্পাদনা]

যেই ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা(Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা(Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।

যেমন :

1,2,3,4,5,6,7,...,n,...

2,5,10,17,26,37,50,...,n2+1,...

ইত্যাদি

অসীম ধারা দুই প্রকার :

(১) সমান্তর অসীম ধারা এবং

(২) গুণোত্তর অসীম ধারা ।

সমান্তর অসীম ধারা[সম্পাদনা]

যেসব অসীম ধারায় পরপর দুইটি পদের অন্তর বা বিয়োগফল সমান, সেসব ধারাকে সমান্তর অসীম ধারা বলে।

যেমন:

1,3,5,7,9,11,...,2n-1,...

1,4,9,16,25,36,...,n2,...

পদ[সম্পাদনা]

সমান্তর অসীম ধারাটি যদি a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,...হয় তাহলে এর

প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=(a+d)-a=a+d-a=d

সুতরাং,n তম পদ = a+(n-1)d

পদের সমষ্টি[সম্পাদনা]

সমান্তর অসীম ধারাটি যদি a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,...হয় তাহলে এর

প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=(a+d)-a=a+d-a=d

সুতরাং,প্রথম n পদের সমষ্টি=

পদ সূচক[সম্পাদনা]

সমান্তর অসীম ধারার একটি চমকপ্রদ বৈশিষ্ট্য হচ্ছে প্রতিটি পদকেই সূচকীকরণ করা যায়।যেমন প্রতিটি পদের মধ্যে 1 সূচক নিলে তা আগের মতোই থাকে,2 সূচক নিলে প্রতিটি পদ বর্গ হয়,3 সূচক নিলে প্রতিটি পদ ঘন হয়।

1 সূচক[সম্পাদনা]

যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1+2+3+4+...হয়, তাহলে 1 সূচক নিয়ে আমরা পাই, 1+2+3+4+... অর্থাৎ ধারার কোনো পরিবর্তন হয়নি।

এই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি হবে,

2 সূচক[সম্পাদনা]

যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1+2+3+4+...হয়,তাহলে 2 সূচক নিয়ে আমরা নতুন একটি ধারা পাই যা হলো:

12+22+32+42+...

এইরকম যেই ধারায় প্রতিটি পদ বর্গাকারে থাকে সেই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি=

n(n+1)(2n+1) /6

3 সূচক[সম্পাদনা]

যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1+2+3+4+...হয়,তাহলে 3 সূচক নিয়ে আমরা নতুন একটি ধারা পাই যা হলো:

13+23+33+43+...

এইরকম যেই ধারায় প্রতিটি পদ ঘনাকারে থাকে সেই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি=

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle n(n+1)÷2} 2

গুণোত্তর অসীম ধারা[সম্পাদনা]

পদ[সম্পাদনা]

আংশিক সমষ্টি[সম্পাদনা]

অসীমতক সমষ্টি[সম্পাদনা]