অসীম ধারা

ধারণা[সম্পাদনা]

যেই ধারার পদসংখ্যা অসীম, সেই ধারাকে অসীম ধারা (Infinite Series) বলে। সসীম ধারায় পদসংখ্যার সীমা (Limit) থাকে, কিন্তু অসীম ধারায় পদের সংখ্যা সীমিত নয়। এটি যত বৃদ্ধি করা হয় ততই বৃদ্ধি পায়। মূলত, অসীম ধারার শুরু আছে, কিন্তু শেষ নেই।

যেমন :

$1,2,3,4,5,6,7,...,n,...$

$2,5,10,17,26,37,50,...,n^{2}+1,...$

ইত্যাদি

অসীম ধারা দুই প্রকার :

সমান্তর অসীম ধারা এবং
গুণোত্তর অসীম ধারা ।

ঘ

সমান্তর অসীম ধারা[সম্পাদনা]

যেসব অসীম ধারায় পরপর দুইটি পদের অন্তর বা বিয়োগফল সমান, সেসব ধারাকে সমান্তর অসীম ধারা বলে।

যেমন:

$1,3,5,7,9,11,...,2n-1,...$

$1,4,9,16,25,36,...,n^{2},...$

পদ[সম্পাদনা]

সমান্তর অসীম ধারাটি যদি $a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,...$ হয় তাহলে এর

প্রথম পদ $=a$

সাধারণ অন্তর $=(a+d)-a=a+d-a=d$

সুতরাং,n তম পদ = a+(n-1)d

পদের সমষ্টি[সম্পাদনা]

সমান্তর অসীম ধারাটি যদি $a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,...$ হয় তাহলে এর

প্রথম পদ $=a$

সাধারণ অন্তর $=(a+d)-a=a+d-a=d$

সুতরাং, প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি =

${\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

পদ সূচক[সম্পাদনা]

সমান্তর অসীম ধারার একটি চমকপ্রদ বৈশিষ্ট্য হচ্ছে প্রতিটি পদকেই সূচকীকরণ করা যায়।যেমন প্রতিটি পদের মধ্যে 1 সূচক নিলে তা আগের মতোই থাকে,2 সূচক নিলে প্রতিটি পদ বর্গ হয়,3 সূচক নিলে প্রতিটি পদ ঘন হয়।

1 সূচক[সম্পাদনা]

যদি সমান্তর অসীম ধারাটি $1+2+3+4+...$ হয়, তাহলে 1 সূচক নিয়ে আমরা পাই, $1+2+3+4+...$ অর্থাৎ ধারার কোনো পরিবর্তন হয়নি।

এই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি হবে,

${\frac {n(n+1)}{2}}$

2 সূচক[সম্পাদনা]

যদি সমান্তর অসীম ধারাটি $1+2+3+4+...$ হয়,তাহলে 2 সূচক নিয়ে আমরা নতুন একটি ধারা পাই যা হলো:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...$

এইরকম যেই ধারায় প্রতিটি পদ বর্গাকারে থাকে সেই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি=

${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

3 সূচক[সম্পাদনা]

যদি সমান্তর অসীম ধারাটি 1+2+3+4+...হয়,তাহলে 3 সূচক নিয়ে আমরা নতুন একটি ধারা পাই যা হলো:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...$

এইরকম যেই ধারায় প্রতিটি পদ ঘনাকারে থাকে সেই ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি=

$[{\frac {n(n+1)}{2}}]^{2}$

গুণোত্তর ধারা (Geometric Series): কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত (ভাগফল) সমান হলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়।

যেমন: $1+3+9+27+...$

এই ধারাটির যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে সমান মান পাওয়া যায় অর্থাৎ ${\frac {3}{1}}=3,{\frac {9}{3}}=3,{\frac {27}{9}}=3$ এভাবে পরবর্তী মানের ক্ষেত্রেও সমান মান পাওয়া যাবে।

গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ:

যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে ধারাটির সাধারণ পদ বা n তম পদ=a{r^{n - 1}}

উদাহরণ: $3+9+27+...$ .ধারাটির 5তম পদ কত?

সমাধান: ধারাটির প্রথম পদ $a=3$ , সাধারণ অনুপাত, $r={\frac {9}{3}}=3,{\frac {27}{9}}=3$

$\therefore$ ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $=a{r^{n-1}}$

$\therefore$ ধারাটির 5তম পদ $={3.3^{5-1}}={3.3^{5-1}}={3.3^{4}}=3.81=243$

গুণোত্তর ধারা[সম্পাদনা]

গুণোত্তর ধারার সমষ্টি:

মনেকরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n. যদি n সংখ্যক পদের সমষ্টি ${S_{n}}$ হয় অর্থাৎ ${S_{n}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+.......+ar^{n-2}+ar^{n-1}$ হলে,