চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন

একটি চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র অথবা ফোর ডি(ইংরেজীতে) হচ্ছে একটি গাণিতিক ধারা যা ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র ধারণা থেকে এসেছে। ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র হচ্ছে তিনটি সংখ্যার মাধ্যমে সবচেয়ে সহজভাবে কোনো ক্ষেত্র উপস্থাপন, যাকে মাত্রাও বলা হয়। যেমন কোনো আয়তাকার ঘনবস্তুর মাত্রা ৩টি। যথাঃ দৈর্ঘ্য (x-অক্ষ), প্রস্থ (y-অক্ষ) ও উচ্চতা (z-অক্ষ)। আর চতুর্মাত্রা হচ্ছে যখন এই তিনটি মাত্রার সাথে সময় যুক্ত হবে। অর্থাৎ দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা এবং সময়।

একটি কিউবের চতুর্মাত্রিক নমুনা

চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র ব্যবহার করার ধারনা আসে সর্বপ্রথম জোসেফ লুইস ল্যাগ্রেং এর কাছ থেকে ষোড়শ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়কালে এবং চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র ধারণা পরিপূর্নতা লাভ করে ১৮৫৪ সালে বার্নার্ড রিম্যান এর মাধ্যমে। এরপর ১৮৮০ সালে চার্লস হাওয়ার্ড হিন্টন হোয়াট ইজ দ্যা ফোর্থ ডিমেনশন? রচনার মাধ্যমে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র বিষয়কে আরো পরিজ্ঞান দান করেন,যা বিভিন্ন ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে এবং রেখা বিষয়ে চতুর্মাত্রিক ধারণা প্রকাশ করেন। হিন্টন মেথডের সবচেয়ে সহজ কাঠামো হচ্ছে দুটি গতানুগতিক ঘনবস্তু অঙ্কন যা "অজানা" দূরত্বে নিজেদের থেকে পৃথক হয়েছে। এরপর এদের সদৃশ ছেদচিহ্ন দিয়ে রেখা অঙ্কন। এটি পাশের চিত্রে দেখা যাবে, যখনই এটি বড় কিউবের মধ্যে একটি ছোট কিউব দেখায়। উক্ত ৮টি রেখা যা কিউবদ্বয়ের ছেদবিন্দুকে যুক্ত করে "অজানা"র(চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র) দিকনির্দেশনা উপস্থাপন করে।

বহুমাত্রিক ক্ষেত্রসমূহ বর্তমানে আধুনিক গনিত এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের রীত্যনুসারে প্রকাশের ভিত্তি হয়ে উঠেছে। এই বিষয়ের মধ্যে বৃহত্তর অংশগুলো স্থান ছাড়া এরা বিদ্যমান থাকে না। আইন্সটাইনের স্থান-কাল ধারণা একটি চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র ব্যবহার করে, যদিও এতে মিনকভস্কি কাঠামো রয়েছে যা ইউক্লিডিয়ান চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র থেকে কিছুটা জটিল।

যখন ঘনমাত্রাসংক্রান্ত অবস্থান একটি অর্ডার্ড লিস্ট হিসেবে দেওয়া হয় (যেমনঃx,y,z,t) তাদের ভেক্টর বা এন-টাপল বলে। এটি তখনই হয় যখন অবস্থানসমূহ একসাথে যুক্ত হয় এবং আরো জটিল আকৃতির হয় যা চতুর্মাত্রার অনেক জ্যামিতিক জটিলতা আর উচ্চতর স্থান নির্গত হয়। পাশের এনিমেশনে এটারই একটি উদাহরন দেওয়া হল।

ইতিহাস[সম্পাদনা]

ল্যাগ্রেং তার মেকানিক এনালাইটিক (১৭৫৫ সালে সম্পুর্ন হয় এবং প্রকাশিত হয় ১৭৮৮ সালে) গ্রন্থে লিখেন যে, মেকানিক্স চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রের মাধ্যমে বিবেচনা করা যাবে।

১৮২৭ সালে মবিয়াস এই সিদ্ধান্তে আসেন যে, একটি চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রকে এর দর্পন প্রতিবিম্বের মাধ্যমে আবর্তিত করা যায়। আর ১৮৫৩ সালের দিকে লুডউইগ শাফলি অনেক ধরনের বহু মাত্রার পলিটোপ আবিষ্কার করেন, যদিও তার মৃত্যুর পরেও তার এ কাজ প্রকাশিত হয়নি। উচ্চতর মাত্রাসমুহ খুব শীঘ্রই ফার্ম ফুটিং এ রাখা হয়েছিল যা বার্নার্ড তার থিসিস Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen এ ১৮৫৪ সালে ব্যাখ্যা দেন, যেখানে তিনি একটি "বিন্দু"-কে যেকোনো স্থানাঙ্কের পর্যায়ক্রম (x1,....,xn) বিবেচনা করেছেন।

চতুর্মাত্রার একটি পাটিগাণিতিক তত্ত্ব যা কোয়াটারনিয়ন্স নামে পরিচিত তা উইলিয়াম রোয়ান হেমিল্টন ১৮৪৩ সালে সংজ্ঞায়িত করেন।

হিন্টন এর ধারণা একটি কল্পনাকে অনুপ্রানিত করে।

ভেক্টরসমূহ[সম্পাদনা]

গানিতিকভাবে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্র হচ্ছে দুরত্বসংক্রান্ত চারটি মাত্রা। এটি হচ্ছে একটি ক্ষেত্র যা একটি বিন্দু প্রকাশ করতে চারটি প্যারামিটারের প্রয়োজন হয়। উদাহরস্বরূপ, একটি সাধারন বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যদি a হয়,তবে

এটি (e1, e2, e3, e4), এভাবেও লেখা যেতে পারে,

তাহলে,উক্ত সাধারন ভেক্টর a হচ্ছে,

এখন,
ইউক্লিডিয়ান ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রের ডট গুনন প্রক্রিয়া চতুর্থ মাত্রাকে নিম্নোক্তভাবে আয়ত্ত করে,
এটি কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতেও ব্যাবহৃত হয়,
এবং দুটি অশূন্য ভেক্টরের কোনের মান নির্নয়েও ব্যাবহৃত হয়,
মিনকভস্কি স্থান-কাল ও একইভাবে নির্দেশ করে,

চতুর্মাত্রিক জ্যামিতি[সম্পাদনা]

আরেকটি মাত্রা যুক্ত হওয়ার কারনে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রের জ্যামিতিক কাঠামো ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র থেকে আর কিছুটা জটিল প্রকৃতির ।

চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রের মতো অনেক বহুতলক কাঠামো রয়েছে যা দ্বীমাত্রিক বহুভুজ দ্বারা গঠিত, চতুর্মাত্রায় ৪-পলিটোপ রয়েছে যা তৈরি হয়েছে বহুতলক দিয়ে। ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে,

পাঁচ ধরনের সাধারন বহুতলক রয়েছে যা প্ল্যাটনিক সলিড নামে পরিচিত। অন্যদিকে চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে, প্ল্যাটনিক সলিড এর অনুরুপ উদাহরন হচ্ছে ৬ কনভেক্স সাধারন ৪-পলিটোপ।

চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে সাধারন পলিটোপ[সম্পাদনা]

A4, [3,3,3] B4, [4,3,3] F4, [3,4,3] H4, [5,3,3]
altN=4-simplex5-cellটেমপ্লেট:CDD{3,3,3} altN=4-cubetesseractটেমপ্লেট:CDD{4,3,3} altN=4-orthoplex16-cellটেমপ্লেট:CDD{3,3,4} altN=24-cell24-cellটেমপ্লেট:CDD{3,4,3} altN=120-cell120-cellটেমপ্লেট:CDD{5,3,3} altN=600-cell600-cellটেমপ্লেট:CDD{3,3,5}

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে একটি বৃত্তকে z-অক্ষ বরাবর বর্ধিত করলে একটি সিলিন্ডার পাওয়া যাবে, চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে অনেক সিলিন্ডার সদৃশ বস্তু রয়েছে। একটি গোলক কে বর্ধিত করলে একটি গোলকীয় সিলিন্ডার পাওয়া যাবে, আর একটি সিলিন্ডার কে বর্ধিত করলে একটি বেলনাকার প্রিজম পাওয়া যাবে। দুটি গোলকের কার্তেসীয় ফলাফল হতে পারে একটি দ্বিসিলিন্ডার[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]

একটি ক্লিফরড টোরাস

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে কোনো বক্ররেখা গিট তৈরি করতে পারে কিন্তু কোনো পৃষ্ঠ দ্বারা তা সম্ভভ নয়। কিন্তু চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে বক্ররেখা দ্বারা তৈরি গিট সহজেই অন্য মাত্রার দিকে স্থানচ্যুত করে খোলা যাবে। কিন্তু দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠ চতুর্মাত্রিক ক্ষেত্রে নন-সেলফ-ইন্টারসেক্টিং গিট তৈরি করতে পারে। কারন এই পৃষ্ঠগুলো দ্বিমাত্রিক যারা অনেক জটিল গিট তৈরি করতে সক্ষম যা স্ট্রিং পারে না।

অবগতি[সম্পাদনা]

ভার্চুয়াল রিয়েলিটির সাহায্যে গবেষনা করে জানা গেছে যে, মানুষ ত্রিমাত্রিক বিশ্বে অবস্থান সত্ত্বেও, কোনো বিশেষ অনুশীলন ছাড়াই,

ঘনমাত্রাসংক্রান্ত সাদৃশ্যতা[সম্পাদনা]