অয়লারের রেখা

জ্যামিতিতে অয়লারের রেখা, লিওনার্ড অয়লারের নামে, যেকোন ত্রিভুজ যা সমবাহু নয় থেকে উৎপন্ন একটি রেখা। এটি ত্রিভুজের কেন্দ্রীয় রেখা এবং ত্রিভুজের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুসমুহ দিয়ে যায়। এগুলো হলো লম্বকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র, নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র।^[১]

অয়লারের রেখার ধারণাটি অন্যান্য জ্যামিতিক আকৃতি যেমন: চতুর্ভুজ, চতুষ্তলক এ বিস্তৃত।

অয়লারের রেখায় ত্রিভুজের কেন্দ্রসমুহ

১৭৬৫ সালে অয়লার দেখিয়েছেন যে ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র এবং ভরকেন্দ্র একই রেখায় অবস্থিত।^[২] ত্রিভুজের নববিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের বেলাতেও এই কথা সত্য, কিন্তু অয়লারের সময় সেটি বলা হয় নি। সমবাহু ত্রিভুজে এই কেন্দ্রসমুহ মূলত একটি বিন্দুই, কিন্তু অন্যান্য ত্রিভুজের ক্ষেত্রে এই বিন্দুসমুহ আলাদা এবং যেকোন দুইটি বিন্দু জানলে রেখাটি আঁকা যায়। ত্রিভুজের অন্তবৃত্ত সাধারণত অয়লারের রেখায় থাকেনা। শুধুমাত্র এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অয়লারের রেখায় অন্তর্ভুক্ত থাকে।

বিশেষ ত্রিভুজসমূহে

সমকোণী ত্রিভুজ

সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের মধ্যবিন্দুটিই পরিকেন্দ্র। এই ধরনের ত্রিভুজে অয়লারের রেখা অতিভুজের মধ্যবিন্দু হতে শুরু হয়ে বিপরীত শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।

প্রমাণ

$\triangle BDC$ এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং লম্বকেন্দ্র $G$ । $OH\perp BC$ আঁকি। $D,H$ যোগ করি। $DH$ রেখা $OG$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A$ বিন্দুটি $\triangle BDC$ এর মধ্যমাকেন্দ্র তা প্রমাণ করলে যথেষ্ট।

$2OH=GD$

এখন, $\triangle OAH$ এবং $\triangle AGD$ এ

$\angle OAH=\angle DAG$ কারণ বিপ্রতীপ কোণ। $\angle AHO=\angle ADG$ কারণ একান্তর কোণ সুতরাং, $\triangle OAH$ এবং $\triangle AGD$ পরস্পর সদৃশকোনী। এখন, ${\frac {AD}{AH}}={\frac {GD}{OH}}$ ${\frac {AD}{AH}}={\frac {2OH}{OH}}$ সুতরাং A বিন্দু DH কে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করে। তাই A বিন্দুটি মধ্যমাকেন্দ্র।

তথ্যসূত্র

↑ Kimberling, Clark (১৯৯৮)। "Triangle centers and central triangles"। Congressus Numerantium। 129: i–xxv, 1–295।
↑ Euler, Leonhard (১৭৬৭)। "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum" [Easy solution of some difficult geometric problems]। Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae। 11: 103–123। E325। Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR 0061061. Summarized at: Dartmouth College.

[k-1] Kimberling, Clark (১৯৯৮)। "Triangle centers and central triangles"। Congressus Numerantium। 129: i–xxv, 1–295।

[2] Euler, Leonhard (১৭৬৭)। "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum" [Easy solution of some difficult geometric problems]। Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae। 11: 103–123। E325। Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR 0061061. Summarized at: Dartmouth College.

[১]

[২]