অসীম: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে

রৈখিক

০৪:২৪, ২৪ মার্চ ২০২৩ তারিখে সংশোধিত সংস্করণ

অসীম (ইংরেজি: Infinity) হলো যা সীমাহীন বা অন্তহীন, অনন্ত। গণিতে অসীম হলো সীমাহীন কোনো সংখ্যা যা যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার চেয়ে বড়। এটি প্রায়শই অসীম প্রতীক $\infty$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রাচীনকালে, গ্রিক গণিতে অসীমের দার্শনিক রূপ প্রদানের জন্য গ্রিক দার্শনিকগণ বিস্তর আলোচনা ও যুক্তিতর্ক উপস্থাপন করেন। ১৭ শতকের দিকে, অসীম প্রতীক^[১] এবং অসীম ক্যালকুলাস ধারণার বিকাশ সাধন করেন। গণিতবিদগণ অসীম সিরিজ নিয়ে কাজ করতে শুরু করেন এবং কিছু গণিতবিদ যেমন: লো'পিটাল এবং বার্নোলি অসীম সংখ্যক ক্ষুদ্রবস্তুর ধারণা বিবেচনা করেন এবং অসীম বস্তু গণনায় অসীম প্রক্রিয়া ধারণার উন্মেষ ঘটান।^[২] যেহেতু, গণিতবিদগণ ক্যালকুলাসের ভিত্তির তৈরিতে তৎপর ছিলেন, কিন্তু এটি অস্পষ্ট যে, অসীমকে একটি সংখ্যা বা মাত্রা হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে কী না এবং যদি তাই হয় তবে এটি কীভাবে করা যেতে পারে।^[১] ১৯ শতকের শেষ দিকে জর্জ ক্যান্টর অসীম সেট এবং অসীম সংখ্যা নিয়ে গবেষণা করেন এবং দার্শনিক তত্ত্ব থেকে অসীমকে সুস্পষ্ট গাণিতিক ধারণা হিসেবে প্রতিষ্ঠা করেন এবং গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে অসীম ধারণার পথ নির্দেশ করেন এবং দেখান যে, বিভিন্ন ক্ষেত্রে অসীমের আকার বিভিন্ন রকম।^[১]^[৩] উদাহরণ স্বরূপ: যদি একটি তলে অবস্থিত একটি রেখাকে তার সমস্ত বিন্দুর সেট হিসেবে দেখা হয়, তবে তাদের অসীম সংখ্যা (অর্থাৎ, রেখার অঙ্কবাচকতা) সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যার চেয়েও বড়।^[৪] এর ফলে, অসীমকে একটি গাণিতিক ধারণা হিসেবে প্রকাশ করা, অসীম গাণিতিক বস্তু অধ্যয়ন করা, অন্য গাণিতিক ধারণার মতোই বিভিন্ন ক্ষেত্রে এই ধারণা ব্যবহার করা যায়। অসীমতার পুরোনো দার্শনিক ধারণাকে পরিমার্জিত করে এবং প্রসারিত করে, বিশেষত বিভিন্ন আকারের অসীমের ধারণা প্রবর্তন করা হয়। জার্মেলো-ফ্রাংকেল সেট তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধসমূহের ওপর ভিত্তি করে আধুনিক গণিতের বিকাশ সাধিত হয়েছে। মূলত, এই স্বতঃসিদ্ধগুলো হলো অসীমতার স্বতঃসিদ্ধ, যা অসীম সেটের বিদ্যমানতা সিদ্ধ করে।^[১] অসীমতার গাণিতিক ধারণা এবং অসীম সেটের স্বতঃসিদ্ধতা আধুনিক গণিতের সর্বত্র ব্যবহৃত হয়। এমনকি, কম্বিনেট্রিক্সের বিভিন্ন ক্ষেত্রে অসীমতার ধারণা ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ: ফার্মার শেষ উপপাদ্যের ওয়াইলেসের প্রমাণে বিশাল আকারের অসীম সেটের ধারণা ব্যবহার করা হয়েছে।^[৫]

পদার্থবিজ্ঞান এবং বিশ্ব তত্ত্বে, মহাবিশ্ব স্থানিকভাবে অসীম কী না- তা একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন।

গণিতে অসীম

১৯৩০ সালে জার্মান গণিতবিদ হের্মান ওয়াইল আধুনিক গণিতে অসীমকে দার্শনিক বিষয় হিসেবে প্রথম ব্যাখ্যা করেন। তিনি বলেছেন:-

গণিত হল অসীম বিষয়ক বিজ্ঞান।

^[৬]

অসীম প্রতীক

গণিতে, অসীম রাশির ধারণা প্রকাশের জন্য অসীম প্রতীক $\infty$ ব্যবহার করা হয়। কোনো কোনো ক্ষেত্রে এই প্রতীককে লেমনিসক্যাট বলা হয়। এই প্রতীকটি ইউনিকোডে U+221E ∞ INFINITY (∞)^[৭] এবং ল্যাটেক (LaTeX) ভাষায় \infty রূপে এনকোডিং করা হয়েছে।^[৮]

১৬৫৫ সালে, গণিতবিদ জন ওয়ালিস সর্বপ্রথম গণিতে অসীম প্রতীকটি ব্যবহার করেন।^[৯]^[১০] এর প্রথম প্রচলনের পর হতেই এটি গণিতের বাইরে আধুনিক রহস্যবিদ্যা^[১১] এবং সাহিত্যের প্রতীকবিদ্যায়ও ব্যবহৃত হয়ে আসছে।^[১২]

ক্যালকুলাস

জার্মান গণিতজ্ঞ এবং ইনফিনিটেসটিম্যাল ক্য়ালকুলাসের সহযোগী উদ্ভাবক গটফ্রিড লাইবনিৎজ, অসীম সংখ্যা এবং গণিতে তাদের ব্যবহার সম্পর্কে ব্যাপক আলোচনা ও বিস্তারিত বর্ণনা করেন। লাইবনিৎজের মতে, সম প্রকৃতির না হলেও অসীম সংখ্যা এবং অসীম রাশি উভয়ের আদর্শ সত্তা রয়েছে। অবিচ্ছিন্নতার নীতি অনুযায়ী, এরা একই বৈশিষ্ট্যের অধিকারী।^[১৩]^[১৪]

রিয়েল অ্যানালাইসিসের ক্ষেত্রে অসীম ধারণা

রিয়েল অ্যানালাইসিসে অসীম প্রতীককে অসীম বা ইনফিনিটি বলা হয় এবং অসীম সীমা প্রকাশে এটি ব্যবহৃত হয়।^[১৫] নোটেশন $x\rightarrow \infty$ বুঝায় যে, চলক $x$ এর মান অসীম মাত্রায় বৃদ্ধি পায় এবং $x\to -\infty$ বুঝায় যে, চলক $x$ এর মান অসীম মাত্রায় হ্রাস পায়। উদাহরণস্বরূপ: যদি $t$ এর প্রতিটি মানের জন্য $f(t)\geq 0$ for every $t$ ,^[১৬] তাহলে-

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ বুঝায় যে, ফাংশন $f(t)$ এর মান $a$ থেকে $b.$ এর মধ্যে নেই এর কোনো সসীম সীমা নেই।
$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ বুঝায় যে, ফাংশন $f(t)$ এর মান অসীম।
$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ বুঝায় যে, ফাংশন $f(t)$ সকল মান সসীম এবং $a.$ এর সমান।

অসীম ধারার সাহায্যেও অসীম ধারণা প্রকাশ করা যায়। যেমন:

$\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$ বুঝায় যে, (কনভার্জেন্ট সিরিজে) অসীম ধারার যোগফল বাস্তব সংখ্যা বা মান $a$ এর দিকে অভিসারী হয়।
$\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$ বুঝায় যে, অসীম সিরিজের যোগফল সঠিকভাবে অসীমে বিবর্তিত হয়, এই অর্থে যে আংশিক যোগফল সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। (ডাইভার্জেন্ট সিরিজ)^[১৭]

অধিকন্তু, একটি সীমাকে সংজ্ঞায়িত করার পাশাপাশি, বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতিতে অসীমকে একটি মান হিসাবেও ব্যবহার করা যেতে পারে। বাস্তব সংখ্যার টপোলজিক্যাল স্পেস বা জ্যামিতিক সমতলে ধনাত্মক অসীম $+\infty$ এবং ঋণাত্মক অসীম $-\infty$ , বাস্তব সংখ্যার পরিধি বুঝাতে দুটি বিন্দু হিসেবে ব্যবহৃত হতে পারে, এই ধারণার অন্য নাম কম্পেকটিফিক্যাশন। এই দুটিতে বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য যুক্ত করলে বা বীজগণিতীয় রাশি হিসেবে ব্যাখ্যা করা হলে এক্সটেন্ডেড রিয়েল নাম্বার সংখ্যারেখা পাওয়া যায়।^[১৮] বীজগাণিতিকভাবে ধনাত্মক অসীম ( $+\infty$ ) ও ঋণাত্মক অসীম ( $-\infty$ )কে একই তলে একটি বিন্দু ধরে নেওয়া হলে, বাস্তব সংখ্য়ার ওয়ান-পয়েন্ট কম্পেকটিফিক্যাশন রেখা বা ধারণা পাওয়া যায়। একে গণিতের ভাষায় রিয়েল প্রজেক্টিভ লাইন বা রেখা বলা হয়।^[১৯] অভিক্ষেপ জ্যামিতি হলো অসীম সংখ্যক সরল রেখার সমতলীয় জ্য়ামিতি, যেখানে একটি ত্রিমাত্রিক সমতলে ও স্থানিক পর্যায়ে বা ডাইমেনশনে অসীম সংখ্যক বিন্দুর সমন্বয়ে অসীম রেখা ও হাইপার অসীম সরলরেখাকে‌‌ উপস্থাপন করা হয়।^[২০]

কমপ্লেক্স অ্যানালাইসিসের ক্ষেত্রে অসীম ধারণা

কমপ্লেক্স অ্যানালাইসিস বা জটিল সংখ্যাতাত্ত্বিক বিশ্লেষণে অসীম প্রতীক ( $\infty$ )-কেই অসীম বলা হয়, এটা দিয়ে বুঝানো হয় যে, অনির্দিষ্ট সংখ্যক অসীম সীমা। $x\rightarrow \infty$ দ্বারা বুঝানো হয় যে, $|x|$ of $x$ এর ম্যাগনিটুড একটি নির্দিষ্ট মাত্রার চেয়ে বেশি বৃদ্ধি পায়। জটিল সংখ্যার টপোলজিক্যাল স্পেস বা জ্যামিতিক সমতলে অসীম বিন্দু ( $\infty$ ) যুক্ত করা যেতে পারে, যাকে বলা হয় ওয়ান-পয়েন্ট কম্পেক্টিফিক্যাশন। যখন এটি করা হয়, তখন একটি এক-মাত্রিক কমপ্লেক্স বা জটিল ম্যানিফোল্ড তৈরি হয়, যার নাম রিম্যান সারফেস। আর রিম্যান সারফেসের বর্ধিত রূপকে এক্সটেন্ডেড জটিল সমতল বা রিম্যান গোলক বলা হয়।^[২১] বর্ধিত বাস্তব সংখ্যার জন্য উপরে দেওয়া অনুরূপ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলিও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, প্রতীকরূপে এটার কোনো পার্থক্য নেই। তবে, একটি ব্যতিক্রম ধারণা হতে পারে, অসীম নিজে নিজে যোগ হতে পারে না। অন্য়দিকে, জটিল সংখ্যার অসীম ধারণা শূন্য দ্বারা ভাগ ধারণাকে প্রকাশ করে। অর্থাৎ কোনো অশূন্য জটিল সংখ্যা $z$ এর ক্ষেত্রে, $z/0=\infty$ । এই প্রসঙ্গে, রিম্যান গোলকের শীর্ষবিন্দুর মান $\infty$ হলে মেরোমরফিক ফাংশনগুলোকে রিম্যান গোলকে উপস্থাপন করা যায়। অসীম বিন্দুর ক্ষেত্রে জটিল সংখ্যাভিত্তিক কোনো ফাংশনের মান অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যেতে পারে। এইরকম ফাংশনের অন্যতম উদাহরণ হলো মরবিউস ট্রান্সফরমেশন ফাংশনগুলো।

ননস্ট্য়ান্ডার্ড অ্যানালাইসিস

আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রিড লাইবনিজ তাদের অসীম ক্যালকুলাসের মূল ধারণা প্রণয়নের ক্ষেত্রে ইনফিনিটেসিমাল পরিমাণ ব্যবহার করেন। বিংশ শতকের দ্বিতীয়ার্ধে এসে দেখা যায় যে, আধুনিক বিভিন্ন যৌক্তিক সিস্টেমের আলোকে বিবেচনার ক্ষেত্রে নিউটন এবং লাইবনিজের এই ধারণা আধুনিক অসীম বিশ্লেষণ এবং ননস্ট্যান্ডার্ড অ্যানালাইসিসে তীব্র বিতর্কের সৃষ্টি করে। পরবর্তীতে গণিতবিদগণ ব্যাখ্যা করেন যে, ইনফিনিটেসিমালগুলো বিপরীতমুখী এবং তাদের ইনভার্সগুলোর মান অসীম । এই ধারণা অনুসারে অসীমগুলো হলো একটি হাইপাররিয়েল ক্ষেত্রের অংশ; ক্যান্টোরিয়ান ট্রান্সফিনাইটের মতো তাদের মধ্যে কোন সমতা নেই। উদাহরণস্বরূপ: এই অর্থে যদি H একটি অসীম সংখ্যা হয়, তবে H + H = 2H এবং H + 1 হলো স্বতন্ত্র অসীম সংখ্যা। ‌‌ননস্ট্যান্ডার্ড ক্যালকুলাসে এই পদ্ধতিটি কেইসলার (১৯৮৬) কর্তৃক সম্পূর্ণরূপে বিকশিত হয়েছে।^[২২]

সেট তত্ত্বে

অবিচ্ছিন্নতার কার্ডিন্যালিটি

জ্যামিতি

ফ্রাক্টাল

অসীম ব্যতীত গণিত

পদার্থবিদ্যা

বিশ্বতত্ত্ব

যুক্তিবিদ্যা

কম্পিউটিং

শিল্পকলায়, গেইমে এবং কগনিটিভ সায়েন্সে

আরো দেখুন

০.৯৯৯...
আলেফ সংখ্যা
ভারতীয় ধর্মদর্শনে অসীম বা অনন্ত
সূচকীকরণ
ইন্ডিটারমিনেট ফর্ম
অসীম বানর উপপাদ্য
অসীম সেট
ইনফিনিটেসিমাল
হেঁয়ালিসমূহের তালিকা
সুপারটাস্ক
অধিবাস্তব সংখ্যা

তথ্যসূত্র

↑ ^ক ^খ ^গ ^ঘ Allen, Donald (2003). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M Mathematics. Retrieved Nov 15, 2019.
↑ Jesseph, Douglas Michael (Spring–Summer 1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science. 6 (1&2): 6–40. doi:10.1162/posc_a_00543. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. S2CID 118227996. Archived from the original on 11 January 2012. Retrieved 1 November 2019 – via Project MUSE.
↑ ] Gowers, Timothy; Barrow-Green, June (2008). The Princeton companion to mathematics. Imre Leader, Princeton University. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8. OCLC 659590835.
↑ Maddox 2002, pp. 113–117
↑ 5] McLarty, Colin (15 January 2014) [September 2010]. "What Does it Take to Prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory". The Bulletin of Symbolic Logic. 16 (3): 359–377. doi:10.2178/bsl/1286284558. S2CID 13475845 – via Cambridge University Press.
↑ Weyl, Hermann (২০১২), Peter Pesic, সম্পাদক, Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy, Dover, পৃষ্ঠা 17, আইএসবিএন 978-0-486-48903-2
↑ AG, Compart. "Unicode Character "∞" (U+221E)". Compart.com. Retrieved 2019-11-15.
↑ "List of LaTeX mathematical symbols - OeisWiki". oeis.org. Retrieved 2019-11-15.
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703) (2 ed.), American Mathematical Society, p. 24, ISBN 978-0-8284-0314-6, archived from the original on 2016-05-09
↑ Martin-Löf, Per (1990), "Mathematics of infinity", COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlin: Springer, pp. 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, ISBN 978-3-540-52335-2, MR 1064143
↑ O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, p. 243, ISBN 978-0-226-61855-5, archived from the original on 2016-06-29
↑ Toker, Leona (1989), Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press, p. 159, ISBN 978-0-8014-2211-9, archived from the original on 2016-05-09
↑ Bell, John Lane. "Continuity and Infinitesimals". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
↑ Jesseph, Douglas Michael (Spring–Summer 1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science. 6 (1&2): 6–40. doi:10.1162/posc_a_00543. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. S2CID 118227996. Archived from the original on 11 January 2012. Retrieved 1 November 2019 – via Project MUSE.
↑ Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company
↑ These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, Swokowski 1983, pp. 468–510
↑ "Properly Divergent Sequences - Mathonline"। mathonline.wikidot.com। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১১-১৫।
↑ Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 978-0-12-050257-8, MR 1669668, archived from the original on 2015-05-15
↑ Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-66522-1
↑ Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / from foundations to applications, Cambridge University Press, p. 27, ISBN 978-0-521-48364-3
↑ Rao, Murali; Stetkær, Henrik (1991). Complex Analysis: An Invitation : a Concise Introduction to Complex Function Theory. World Scientific. p. 113. ISBN 9789810203757.
↑ Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd ed.)

গ্রন্থপঞ্জি

Cajori, Florian (১৯৯৩) [1928 & 1929], A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One), Dover, আইএসবিএন 978-0-486-67766-8
Gemignani, Michael C. (১৯৯০), Elementary Topology (2nd সংস্করণ), Dover, আইএসবিএন 978-0-486-66522-1
Keisler, H. Jerome (১৯৮৬), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd সংস্করণ)
Maddox, Randall B. (২০০২), Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics, Academic Press, আইএসবিএন 978-0-12-464976-7
Kline, Morris (১৯৭২), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, পৃষ্ঠা 1197–1198, আইএসবিএন 978-0-19-506135-2
Russell, Bertrand (১৯৯৬) [1903], The Principles of Mathematics, New York: Norton, আইএসবিএন 978-0-393-31404-5, ওসিএলসি 247299160
Sagan, Hans (১৯৯৪), Space-Filling Curves, Springer, আইএসবিএন 978-1-4612-0871-6
Swokowski, Earl W. (১৯৮৩), Calculus with Analytic Geometry (Alternate সংস্করণ), Prindle, Weber & Schmidt, আইএসবিএন 978-0-87150-341-1
Taylor, Angus E. (১৯৫৫), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company
Wallace, David Foster (২০০৪), Everything and More: A Compact History of Infinity, Norton, W.W. & Company, Inc., আইএসবিএন 978-0-393-32629-1

[pdf-1] ক ^খ ^গ ^ঘ Allen, Donald (2003). "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M Mathematics. Retrieved Nov 15, 2019.

[2] Jesseph, Douglas Michael (Spring–Summer 1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science. 6 (1&2): 6–40. doi:10.1162/posc_a_00543. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. S2CID 118227996. Archived from the original on 11 January 2012. Retrieved 1 November 2019 – via Project MUSE.

[3] ] Gowers, Timothy; Barrow-Green, June (2008). The Princeton companion to mathematics. Imre Leader, Princeton University. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8. OCLC 659590835.

[4] Maddox 2002, pp. 113–117

[5] 5] McLarty, Colin (15 January 2014) [September 2010]. "What Does it Take to Prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory". The Bulletin of Symbolic Logic. 16 (3): 359–377. doi:10.2178/bsl/1286284558. S2CID 13475845 – via Cambridge University Press.

[6] Weyl, Hermann (২০১২), Peter Pesic, সম্পাদক, Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy, Dover, পৃষ্ঠা 17, আইএসবিএন 978-0-486-48903-2

[7] AG, Compart. "Unicode Character "∞" (U+221E)". Compart.com. Retrieved 2019-11-15.

[8] "List of LaTeX mathematical symbols - OeisWiki". oeis.org. Retrieved 2019-11-15.

[9] Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703) (2 ed.), American Mathematical Society, p. 24, ISBN 978-0-8284-0314-6, archived from the original on 2016-05-09

[10] Martin-Löf, Per (1990), "Mathematics of infinity", COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlin: Springer, pp. 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, ISBN 978-3-540-52335-2, MR 1064143

[11] O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, p. 243, ISBN 978-0-226-61855-5, archived from the original on 2016-06-29

[12] Toker, Leona (1989), Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press, p. 159, ISBN 978-0-8014-2211-9, archived from the original on 2016-05-09

[13] Bell, John Lane. "Continuity and Infinitesimals". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[14] Jesseph, Douglas Michael (Spring–Summer 1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science. 6 (1&2): 6–40. doi:10.1162/posc_a_00543. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. S2CID 118227996. Archived from the original on 11 January 2012. Retrieved 1 November 2019 – via Project MUSE.

[15] Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company

[16] These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, Swokowski 1983, pp. 468–510

[17] "Properly Divergent Sequences - Mathonline"। mathonline.wikidot.com। সংগ্রহের তারিখ ২০১৯-১১-১৫।

[18] Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 978-0-12-050257-8, MR 1669668, archived from the original on 2015-05-15

[19] Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-66522-1

[20] Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / from foundations to applications, Cambridge University Press, p. 27, ISBN 978-0-521-48364-3

[21] Rao, Murali; Stetkær, Henrik (1991). Complex Analysis: An Invitation : a Concise Introduction to Complex Function Theory. World Scientific. p. 113. ISBN 9789810203757.

[22] Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd ed.)

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]

[১৩]

[১৪]

[১৫]

[১৬]

[১৭]

[১৮]

[১৯]

[২০]

[২১]

[২২]

@@ ৪০ নং লাইন: / ৪০ নং লাইন: @@
 [[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|হাইপাররিয়েল সংখ্যা রেখায় শূন্যসন্নিকর্ষী (ইনফিনটেসিমাল) (ε) এবং অসীম (ω) (1/ε = ω/1)]]
 [[আইজ্যাক নিউটন]] এবং গটফ্রিড লাইবনিজ তাদের [[ক্যালকুলাস|অসীম ক্যালকুলাসের]] মূল ধারণা প্রণয়নের ক্ষেত্রে [[শূন্যসন্নিকর্ষী|ইনফিনিটেসিমাল]] পরিমাণ ব্যবহার করেন। বিংশ শতকের দ্বিতীয়ার্ধে এসে দেখা যায় যে, আধুনিক বিভিন্ন যৌক্তিক সিস্টেমের আলোকে বিবেচনার ক্ষেত্রে নিউটন এবং লাইবনিজের  এই ধারণা আধুনিক অসীম বিশ্লেষণ এবং ননস্ট্যান্ডার্ড অ্যানালাইসিসে তীব্র বিতর্কের সৃষ্টি করে।  পরবর্তীতে গণিতবিদগণ ব্যাখ্যা করেন যে, ইনফিনিটেসিমালগুলো বিপরীতমুখী এবং তাদের ইনভার্সগুলোর মান অসীম । এই ধারণা অনুসারে অসীমগুলো হলো একটি হাইপাররিয়েল ক্ষেত্রের অংশ; ক্যান্টোরিয়ান [[সীমাতিক্রমী সংখ্যা|ট্রান্সফিনাইটের]] মতো তাদের মধ্যে কোন সমতা নেই। উদাহরণস্বরূপ: এই অর্থে যদি H একটি অসীম সংখ্যা হয়, তবে H + H = 2H এবং H + 1 হলো স্বতন্ত্র অসীম সংখ্যা। ‌‌'''ননস্ট্যান্ডার্ড ক্যালকুলাসে''' এই পদ্ধতিটি কেইসলার (১৯৮৬) কর্তৃক সম্পূর্ণরূপে বিকশিত হয়েছে।<ref>Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd ed.)</ref>
+===সেট তত্ত্বে===
+{{Main|কার্ডিন্যালিটি|ক্রমবাচক সংখ্যা}}
+[[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|One-to-one correspondence between an infinite set and its proper subset]]
+====অবিচ্ছিন্নতার কার্ডিন্যালিটি====
+===জ্যামিতি===
+===ফ্রাক্টাল===
+===অসীম ব্যতীত গণিত===
+==পদার্থবিদ্যা==
+===বিশ্বতত্ত্ব===
+==যুক্তিবিদ্যা==
+==কম্পিউটিং==
+==শিল্পকলায়, গেইমে এবং কগনিটিভ সায়েন্সে==
+==আরো দেখুন==
-== অসীম সংখ্যা ==
+{{Div col|colwidth=20em}}
-আমরা জানি [[স্বাভাবিক সংখ্যা|স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির]] মধ্যে কোন [[বৃহত্তম সংখ্যা]] নেই, অর্থাৎ স্বাভাবিক সংখ্যার যে সারি:
+*[[০.৯৯৯...]]
-০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, . . . তার কোন শেষ নেই। এই সংখ্যাগুলির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার হয় গোনায় (গণনায়)। যে কোন [[সসীম]] সমষ্টির [[পরিমাপ]] করা হয় স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে।
+*'''আলেফ সংখ্যা'''
+* ভারতীয় ধর্মদর্শনে অসীম বা অনন্ত
-ঊনবিংশ শতাব্দীতে [[গেয়র্গ কান্টর]] (Georg Cantor) আবিষ্কার করেন অসীম সংখ্যা - যেগুলির স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির মতই আলাদা গাণিতিক সত্তা রয়েছে। ক্যান্টরের সংখ্যাগুলি দিয়ে অসীম সমষ্টির পরিমাপ করা যায়।
+* [[সূচকীকরণ]]
-এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট অসীম সংখ্যাটি হল:
+*'''ইন্ডিটারমিনেট ফর্ম'''
-<math>\aleph_0</math>
+* [[অসীম বানর উপপাদ্য]]
+* '''অসীম সেট'''
-{{গণিত-অসম্পূর্ণ}}
+* [[শূন্যসন্নিকর্ষী|ইনফিনিটেসিমাল]]
+* [[হেঁয়ালিসমূহের তালিকা]]
+* '''সুপারটাস্ক'''
+* [[অধিবাস্তব সংখ্যা]]
 == তথ্যসূত্র ==
 {{সূত্র তালিকা}}
+===গ্রন্থপঞ্জি===
+{{Refbegin}}
+* {{citation|first=Florian|last=Cajori|title=A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One)|year=1993|orig-year=1928 & 1929|publisher=Dover|isbn=978-0-486-67766-8|url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0}}
+* {{citation|first=Michael C.|last=Gemignani|title=Elementary Topology|edition=2nd|publisher=Dover|year=1990|isbn=978-0-486-66522-1}}
+* {{citation|first=H. Jerome|last=Keisler|author-link=Howard Jerome Keisler|title=Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals|edition=2nd|year=1986|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}
+<!--
+* H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
+-->
+* {{citation|first=Randall B.|last=Maddox|title=Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics|publisher=Academic Press|year= 2002|isbn=978-0-12-464976-7}}
+* {{citation |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |last=Kline |first=Morris |author-link=Morris Kline |year=1972 |publisher=Oxford University Press |location= New York|isbn=978-0-19-506135-2 |pages=1197–1198}}
+* {{citation |title=The Principles of Mathematics |last=Russell |first=Bertrand |author-link=Bertrand Russell |year=1996 |orig-year=1903 |publisher=Norton |location=New York|isbn=978-0-393-31404-5 |oclc=247299160}}
+* {{citation | first=Hans | last=Sagan | title=Space-Filling Curves | publisher=Springer | year=1994 | isbn=978-1-4612-0871-6}}
+* {{citation|first=Earl W.|last=Swokowski|title=Calculus with Analytic Geometry|edition=Alternate|year=1983|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=978-0-87150-341-1|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok}}
+* {{citation|first=Angus E.|last=Taylor|title=Advanced Calculus|year=1955|publisher=Blaisdell Publishing Company}}
+* {{citation | first=David Foster | last=Wallace | author-link=David Foster Wallace | title=Everything and More: A Compact History of Infinity | publisher=Norton, W.W. & Company, Inc. | year=2004 | isbn=978-0-393-32629-1}}
+{{Refend}}
 [[বিষয়শ্রেণী:গণিতের দর্শন]]