ফ্রাক্টাল: সংশোধিত সংস্করণের মধ্যে পার্থক্য

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
ইতিহাস ব্রাউজ করুন
← পূর্বের পার্থক্যপরবর্তী পার্থক্য →
বিষয়বস্তু বিয়োগ হয়েছে বিষয়বস্তু যোগ হয়েছে
দৃশ্যমানউইকিপাঠ্য
InternetArchiveBot (আলোচনা | অবদান)
বট, নিরীক্ষক
১,৭৬,৬৯৮টি সম্পাদনা
১টি উৎস উদ্ধার করা হল ও ০টি অকার্যকর হিসেবে চিহ্নিত করা হল।) #IABot (v2.0
সম্প্রসারণ
১ নং লাইন: ১ নং লাইন:
[[চিত্র:Mandelpart2.jpg|300px|right|thumb|'''ফ্রাক্টাল''' এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, [[ম্যান্ডেলব্রট সেট]], এর সীমারেখার চিত্র]]
[[চিত্র:Mandelpart2.jpg|300px|right|thumb|'''ফ্রাক্টাল''' এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, [[ম্যান্ডেলব্রট সেট]], এর সীমারেখার চিত্র]]
[[চিত্র:Mandelbrot sequence small.gif|থাম্ব|ম্যান্ডেলব্রট সেট]]
গণিতে, '''ফ্র্যাক্টাল''' হ'ল [[ইউক্লিডীয় স্থান|ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রের]] একটি উপসেট যার জন্য ফ্র্যাক্টাল [[মাত্রা]] কঠোরভাবে [[টপোলজি|টপোলজিকাল]] মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়। ফ্র্যাক্টালগুলি বিভিন্ন স্তরে একই দেখা যায়, যেমন [[ম্যান্ডেলব্রট সেট|ম্যান্ডেলব্রট সেটের]] ক্রমাগত প্রশস্তকরণে চিত্রিত হয়েছে।<ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=0R2LkE3N7-oC|শিরোনাম=The Fractal Geometry of Nature|শেষাংশ=Mandelbrot|প্রথমাংশ=Benoit B.|তারিখ=1983|প্রকাশক=Henry Holt and Company|ভাষা=en|আইএসবিএন=978-0-7167-1186-5}}</ref><ref name=":0">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://www.worldcat.org/oclc/53970546|শিরোনাম=Fractal geometry : mathematical foundations and applications|শেষাংশ=Falconer, K. J., 1952-|তারিখ=2003|প্রকাশক=Wiley|অবস্থান=Chichester|আইএসবিএন=0-470-87135-0|oclc=53970546|সংস্করণ=2nd ed}}</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://www.worldcat.org/oclc/27830734|শিরোনাম=Fractals : the patterns of chaos : discovering a new aesthetic of art, science, and nature|শেষাংশ=Briggs, John.|প্রথমাংশ=|তারিখ=1992|বছর=|প্রকাশক=Thames & Hudson|অবস্থান=London|পাতাসমূহ=১৪৮|আইএসবিএন=0-500-27693-5|oclc=27830734}}</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://www.worldcat.org/oclc/25834255|শিরোনাম=Fractal growth phenomena|শেষাংশ=Vicsek, Tamás.|তারিখ=1992|প্রকাশক=World Scientific|অবস্থান=Singapore|আইএসবিএন=981-02-0668-2|oclc=25834255|সংস্করণ=2nd ed}}</ref>সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা [[স্বানুরূপতা|স্বানুরূপ]]<ref name="Boeing2016Systems">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://geoffboeing.com/publications/nonlinear-chaos-fractals-prediction/|লেখক=Boeing, G.|শিরোনাম=Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction|সাময়িকী=Systems|তারিখ=2016|খণ্ড=4|সংখ্যা নং=4|পাতাসমূহ=37|সংগ্রহের-তারিখ=2016-12-02|ডিওআই=10.3390/systems4040037}}</ref>, অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। যদি এই প্রতিলিপিটি প্রতিবার মাপে হুবহু একই রকম হয়, যেমন [[মেনজার স্পঞ্জ]], এটিকে অ্যাফাইন স্ব-অনুরূপ বলা হয়।<ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://www.worldcat.org/oclc/35005596|শিরোনাম=Physics and fractal structures|শেষাংশ=Gouyet, Jean-François.|তারিখ=1996|প্রকাশক=Masson|অবস্থান=Paris|আইএসবিএন=0-387-94153-3|oclc=35005596}}</ref> ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি [[টপোগণিত|টপোলজির]] একটি শাখা।


== সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য ==
⚫
১৯৭৫ সালে [[বেনোয়া মানডেলব্রট]] ''ফ্রাক্টাল'' নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ''ফ্রাক্টাস'' থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।
গণিতবিদেরা '''ফ্রাক্টাল'''কে একরকম [[জ্যামিতি|জ্যামিতিক]] বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:


সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা [[স্বানুরূপতা|স্বানুরূপ]]<ref name="Boeing2016Systems">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://geoffboeing.com/publications/nonlinear-chaos-fractals-prediction/|লেখক=Boeing, G.|শিরোনাম=Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction|সাময়িকী=Systems|তারিখ=2016|খণ্ড=4|সংখ্যা নং=4|পাতাসমূহ=37|সংগ্রহের-তারিখ=2016-12-02|ডিওআই=10.3390/systems4040037}}</ref>, অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। গণিতবিদেরা '''ফ্রাক্টাল'''কে একরকম [[জ্যামিতি|জ্যামিতিক]] বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:
* এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
* এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
* এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
* এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
৯ নং লাইন: ১১ নং লাইন:
* এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
* এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
* এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।
* এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।
''ফ্রাক্টালের'' এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে। (ফ্যালকোনার(১৯৯৭) দেখুন)।
''ফ্রাক্টালের'' এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে।<ref name=":0" />


সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: [[বাস্তব রেখা]] (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।
সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: [[বাস্তব রেখা]] (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।
১৬ নং লাইন: ১৮ নং লাইন:
ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী [[গটফ্রিড লাইবনিৎস]] পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।
ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী [[গটফ্রিড লাইবনিৎস]] পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।


এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি। <!--[[১৮২৭]] সালে গণিতবিদ [[Karl Weierstrass]] -->
এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি।

⚫
১৯৭৫ সালে [[বেনোয়া মানডেলব্রট]] ''ফ্রাক্টাল'' নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ''ফ্রাক্টাস'' থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।

==প্রয়োগ==
==প্রয়োগ==
* ফ্র্যাক্টাল অ্যান্টেনা<ref name="antenna">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Hohlfeld |প্রথমাংশ১=Robert G. |শেষাংশ২=Cohen |প্রথমাংশ২=Nathan |শিরোনাম=Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae |সাময়িকী=Fractals |খণ্ড=7 |সংখ্যা নং=1 |পাতাসমূহ=79–84 |বছর=1999 |ডিওআই=10.1142/S0218348X99000098 }}</ref>
* ফ্র্যাক্টাল অ্যান্টেনা<ref name="antenna">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Hohlfeld |প্রথমাংশ১=Robert G. |শেষাংশ২=Cohen |প্রথমাংশ২=Nathan |শিরোনাম=Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae |সাময়িকী=Fractals |খণ্ড=7 |সংখ্যা নং=1 |পাতাসমূহ=79–84 |বছর=1999 |ডিওআই=10.1142/S0218348X99000098 }}</ref>
২৮ নং লাইন: ৩৩ নং লাইন:
| শেষাংশ২=Valdéz-Cepeda | প্রথমাংশ২=Ricardo David | শিরোনাম=Fractal analysis of Mesoamerican pyramids | সাময়িকী=Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences | খণ্ড=10 | সংখ্যা নং=1 | পাতাসমূহ=105–122 | বছর=2006
| শেষাংশ২=Valdéz-Cepeda | প্রথমাংশ২=Ricardo David | শিরোনাম=Fractal analysis of Mesoamerican pyramids | সাময়িকী=Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences | খণ্ড=10 | সংখ্যা নং=1 | পাতাসমূহ=105–122 | বছর=2006
| pmid=16393505}}</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি | শেষাংশ১=Brown | প্রথমাংশ১=Clifford T. | শেষাংশ২=Witschey | প্রথমাংশ২=Walter R. T. | শেষাংশ৩=Liebovitch | প্রথমাংশ৩=Larry S. | শিরোনাম=The Broken Past: Fractals in Archaeology | ডিওআই=10.1007/s10816-005-2396-6 | সাময়িকী=Journal of Archaeological Method and Theory | খণ্ড=12 | পাতাসমূহ=37 | বছর=2005 }}</ref>
| pmid=16393505}}</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি | শেষাংশ১=Brown | প্রথমাংশ১=Clifford T. | শেষাংশ২=Witschey | প্রথমাংশ২=Walter R. T. | শেষাংশ৩=Liebovitch | প্রথমাংশ৩=Larry S. | শিরোনাম=The Broken Past: Fractals in Archaeology | ডিওআই=10.1007/s10816-005-2396-6 | সাময়িকী=Journal of Archaeological Method and Theory | খণ্ড=12 | পাতাসমূহ=37 | বছর=2005 }}</ref>
*[[অনুসন্ধান ও উদ্ধার]]<ref name="search and rescue">{{cite journal|url=http://www.iaeng.org/publication/WCE2009/WCE2009_pp93-98.pdf|title=An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents|last2=Sorensen|first2=Soren A.|pages=93–98|isbn=978-988-17-0125-1|first1=Panteha|last1=Saeedi|journal=Proceedings of the World Congress on Engineering 2009}}</ref>
*[[কৌশলগত বিশ্লেষণ]]<ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://link.springer.com/10.1007/978-0-387-30440-3_218|শিরোনাম=Encyclopedia of Complexity and Systems Science|শেষাংশ=Bunde|প্রথমাংশ=Armin|শেষাংশ২=Havlin|প্রথমাংশ২=Shlomo|তারিখ=2009|সম্পাদক-শেষাংশ=Meyers|সম্পাদক-প্রথমাংশ=Robert A.|প্রকাশক=Springer New York|অবস্থান=New York, NY|পাতাসমূহ=3700–3720|ভাষা=en|doi=10.1007/978-0-387-30440-3_218|আইএসবিএন=978-0-387-75888-6}}</ref>


==তথ্যসূত্র==
==তথ্যসূত্র==

০৭:১১, ১১ ডিসেম্বর ২০১৯ তারিখে সংশোধিত সংস্করণ

ফ্রাক্টাল এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, ম্যান্ডেলব্রট সেট, এর সীমারেখার চিত্র
ম্যান্ডেলব্রট সেট

গণিতে, ফ্র্যাক্টাল হ'ল ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রের একটি উপসেট যার জন্য ফ্র্যাক্টাল মাত্রা কঠোরভাবে টপোলজিকাল মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়। ফ্র্যাক্টালগুলি বিভিন্ন স্তরে একই দেখা যায়, যেমন ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্রমাগত প্রশস্তকরণে চিত্রিত হয়েছে।[১][২][৩][৪]সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা স্বানুরূপ[৫], অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। যদি এই প্রতিলিপিটি প্রতিবার মাপে হুবহু একই রকম হয়, যেমন মেনজার স্পঞ্জ, এটিকে অ্যাফাইন স্ব-অনুরূপ বলা হয়।[৬] ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি টপোলজির একটি শাখা।

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

গণিতবিদেরা ফ্রাক্টালকে একরকম জ্যামিতিক বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:

  • এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
  • এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
  • এদের টপোগাণিতিক মাত্রা'র চেয়ে হাসডর্ফ মাত্রা-র সংখ্যা বেশী।[৭]
  • এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
  • এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।

ফ্রাক্টালের এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে।[২]

সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: বাস্তব রেখা (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।

ইতিহাস

ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।

এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি।

১৯৭৫ সালে বেনোয়া মানডেলব্রট ফ্রাক্টাল নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ফ্রাক্টাস থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।

প্রয়োগ

তথ্যসূত্র

  1. ↑ Mandelbrot, Benoit B. (১৯৮৩)। The Fractal Geometry of Nature (ইংরেজি ভাষায়)। Henry Holt and Company। আইএসবিএন 978-0-7167-1186-5। 
  2. ↑ ক খ Falconer, K. J., 1952- (২০০৩)। Fractal geometry : mathematical foundations and applications (2nd ed সংস্করণ)। Chichester: Wiley। আইএসবিএন 0-470-87135-0। ওসিএলসি 53970546। 
  3. ↑ Briggs, John. (১৯৯২)। Fractals : the patterns of chaos : discovering a new aesthetic of art, science, and nature। London: Thames & Hudson। পৃষ্ঠা ১৪৮। আইএসবিএন 0-500-27693-5। ওসিএলসি 27830734। 
  4. ↑ Vicsek, Tamás. (১৯৯২)। Fractal growth phenomena (2nd ed সংস্করণ)। Singapore: World Scientific। আইএসবিএন 981-02-0668-2। ওসিএলসি 25834255। 
  5. ↑ Boeing, G. (২০১৬)। "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction"। Systems। 4 (4): 37। ডিওআই:10.3390/systems4040037। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-১২-০২। 
  6. ↑ Gouyet, Jean-François. (১৯৯৬)। Physics and fractal structures। Paris: Masson। আইএসবিএন 0-387-94153-3। ওসিএলসি 35005596। 
  7. ↑ Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (২০০৮)। "Benoît Mandelbrot: In his own words"। Mathematical people : profiles and interviews। Wellesley, MA: AK Peters। পৃষ্ঠা 214। আইএসবিএন 978-1-56881-340-0। 
  8. ↑ Hohlfeld, Robert G.; Cohen, Nathan (১৯৯৯)। "Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae"। Fractals। 7 (1): 79–84। ডিওআই:10.1142/S0218348X99000098। 
  9. ↑ Reiner, Richard; Waltereit, Patrick; Benkhelifa, Fouad; Müller, Stefan; Walcher, Herbert; Wagner, Sandrine; Quay, Rüdiger; Schlechtweg, Michael; Ambacher, Oliver; Ambacher, O. (২০১২)। "Fractal structures for low-resistance large area AlGaN/GaN power transistors"। Proceedings of ISPSD: 341। আইএসবিএন 978-1-4577-1596-9। ডিওআই:10.1109/ISPSD.2012.6229091। 
  10. ↑ Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। 6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 অবাধে প্রবেশযোগ্য। ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমআইডি 21949753। পিএমসি 3176775 অবাধে প্রবেশযোগ্য। বিবকোড:2011PLoSO...624791C। 
  11. ↑ "Applications"। অক্টোবর ১২, ২০০৭ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০০৭-১০-২১। 
  12. ↑ Smith, Robert F.; Mohr, David N.; Torres, Vicente E.; Offord, Kenneth P.; Melton III, L. Joseph (১৯৮৯)। "Renal insufficiency in community patients with mild asymptomatic microhematuria"। Mayo Clinic Proceedings। 64 (4): 409–414। ডিওআই:10.1016/s0025-6196(12)65730-9। পিএমআইডি 2716356। 
  13. ↑ Landini, Gabriel (২০১১)। "Fractals in microscopy"। Journal of Microscopy। 241 (1): 1–8। ডিওআই:10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x। পিএমআইডি 21118245। 
  14. ↑ Cheng, Qiuming (১৯৯৭)। "Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis"। Mathematical Geology। 29 (7): 919–932। ডিওআই:10.1023/A:1022355723781। 
  15. ↑ Chen, Yanguang (২০১১)। "Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions"। PLoS ONE। 6 (9): e24791। arXiv:1104.4682 অবাধে প্রবেশযোগ্য। ডিওআই:10.1371/journal.pone.0024791। পিএমআইডি 21949753। পিএমসি 3176775 অবাধে প্রবেশযোগ্য। বিবকোড:2011PLoSO...624791C। 
  16. ↑ Burkle-Elizondo, Gerardo; Valdéz-Cepeda, Ricardo David (২০০৬)। "Fractal analysis of Mesoamerican pyramids"। Nonlinear dynamics, psychology, and life sciences। 10 (1): 105–122। পিএমআইডি 16393505। 
  17. ↑ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter R. T.; Liebovitch, Larry S. (২০০৫)। "The Broken Past: Fractals in Archaeology"। Journal of Archaeological Method and Theory। 12: 37। ডিওআই:10.1007/s10816-005-2396-6। 
  18. ↑ Saeedi, Panteha; Sorensen, Soren A.। "An Algorithmic Approach to Generate After-disaster Test Fields for Search and Rescue Agents" (পিডিএফ)। Proceedings of the World Congress on Engineering 2009: 93–98। আইএসবিএন 978-988-17-0125-1। 
  19. ↑ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (২০০৯)। Meyers, Robert A., সম্পাদক। Encyclopedia of Complexity and Systems Science (ইংরেজি ভাষায়)। New York, NY: Springer New York। পৃষ্ঠা 3700–3720। আইএসবিএন 978-0-387-75888-6। ডিওআই:10.1007/978-0-387-30440-3_218। 

বহিঃসংযোগ

উইন্ডোজ জেনারেটর প্রোগ্রামস

'https://bn.wikipedia.org/w/index.php?title=ফ্রাক্টাল&oldid=3842162' থেকে আনীত