গোলক

বৃত্তকে এর ব্যাসের চারপাশে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকেই গোলক বা সুষম গোলক বলে। $\,r$ ব্যাসার্ধের একটি গোলকের আয়তন হবে (4π$\,r^{3}$)/3 এবং এর পৃষ্ঠদেশের ক্ষেত্রফল হবে 4π$\,r^{2}$। কার্তেসীয় স্থাণাঙ্ক ব্যাবস্থায় কেন্দ্র মূল-বিন্দুতে অবস্থিত এমন $\,r$ ব্যাসার্ধর কোন গোলকের সমীকরণ হবে: $\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$।

সুতরাং গোলক হল ত্রিমাত্রিক দেশে অবস্থিত একটি গোল বলের ন্যায় জ্যামিতিক আকার।

গোলকের আয়তন

৩ মাত্রার একটি গোলক ভিতরে আয়তন (অর্থাৎ একটি বল-এর আয়তন)-এর সূত্র দেওয়া হলো

$\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

যেখানে R হল গোলকের ব্যাসার্ধ এবং π হল ধ্রুবক পাই. এই সূত্রটি প্রথম আর্কিমিডিস দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল, যিনি দেখিয়েছিলেন যে একটি গোলকের আয়তন একটি পরিধিকৃত সিলিন্ডারের 2/3। (এই দাবিটি ক্যাভালিয়ারির নীতি থেকে অনুসরণ করে।) আধুনিক গণিতে, এই সূত্রটি অখণ্ড ক্যালকুলাস ব্যবহার করে উদ্ভূত হতে পারে, যেমন x = 0 থেকে x অক্ষ বরাবর কেন্দ্রীভূত অসীম পুরুত্বের অসীম সংখ্যক বৃত্তাকার ডিস্কের আয়তনের যোগফলের যোগফল যেখানে ডিস্কের ব্যাসার্ধ r (অর্থাৎ y = r) থেকে x = r যেখানে ডিস্কের ব্যাসার্ধ রয়েছে 0 (অর্থাৎ y = 0)। যেকোনো প্রদত্ত x এ, বর্ধিত আয়তন (δV) ডিস্কের ক্রস-বিভাগীয় এলাকার গুণফল x এবং এর পুরুত্ব (δx) দ্বারা দেওয়া হয়: এবং এটি খুব উচ্চ মানের । (This assertion follows from Cavalieri's principle.) In modern mathematics, this formula can be derived using integral calculus, e.g. disk integration to sum the volumes of an infinite number of circular disks of infinitesimal thickness stacked centered side by side along the x axis from x = 0 where the disk has radius r (i.e. y = r) to x = r where the disk has radius 0 (i.e. y = 0).

At any given x, the incremental volume (δV) is given by the product of the cross-sectional area of the disk at x and its thickness (δx): And it is very high quality

$\!\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.$

The total volume is the summation of all incremental volumes:

$\!V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.$

In the limit as δx approaches zero this becomes:

$\!V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.$

At any given x, a right-angled triangle connects x, y and r to the origin, hence it follows from Pythagorean theorem that:

$\!r^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Thus, substituting y with a function of x gives:

$\!V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx.$

This can now be evaluated:

$\!V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=-r}^{x=r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

সুতরাং গোলকের আয়তন হল:

$\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$