হিরনের সূত্র

জ্যামিতিতে হিরনের সূত্র (কখনো কখনো হিরোর সূত্রও বলা হয়), হিরো অব আলেকজান্দ্রিয়ার নামে, হলো তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র। ত্রিভুজের অন্যান্য সূত্রের মত, ত্রিভুজটির কোণ কিংবা উচ্চতার মানের প্রয়োজন নেই।

a, b এবং c বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ

বর্ণনা

হিরনের সূত্র অনুসারে a, b এবং c বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},$

যেখানে s হলো ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা।

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$

হিরনের সূত্রটি নিম্নোক্ত ভাবেও লেখা হয়।

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.$

উদাহরণ

মনেকরি △ABC হলো একটি ত্রিভুজ যার a = 4, b = 13 এবং c = 15

ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা, s হলো

$s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16$

তাহলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}$

এই উদাহরণে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা৷ তাই এটিকে হিরনের ত্রিভুজ বলা হয়৷ কিন্তু বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা না হলেও হিরনের সূত্র ভালোভাবে কাজ করে।

ইতিহাস

এই সূত্রটি আবিষ্কারের কৃতিত্ব দেওয়া হয় হিরন অব আলেকজান্দ্রিয়া কে এবং এর প্রমাণ পাওয়া যায় মেট্রিকা বইয়ে। ধারণা করা হয় যে, আর্কিমিডিস এই সূত্রটি দুই শতক আগেই জানতেন।

প্রমাণ

হিরনের সূত্রের ইলাসট্রেশন

বিভিন্ন উপায়ে হিরনের সূত্রটি প্রমাণ করা যায়।

Cosine এর নিয়ম ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতির সাহায্যে

ধরি, $a,b,c$ হলো ত্রিভুজের তিন বাহু এবং α, β, γ হলো বাহু তিনটির বিপরীত কোণ। Cosine এর নিয়ম ব্যবহার করে পাই।

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

প্রমাণের জন্য নিম্নোক্ত বীজগাণিতিক রাশি পাই

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

a হতে ত্রিভুজটির উচ্চতা b sin γ। সুতরাং,

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

এই প্রমাণে দুটি রাশির বর্গের বিয়োগফলের সূত্র ব্যবহার করে উৎপদকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।