বহুপদী বন্টন

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
পরিভ্রমণে ঝাঁপ দিন অনুসন্ধানে ঝাঁপ দিন

ধরা যাক , যেখানে k > 1, হল র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলের একটি সেট যাতে k সংখ্যক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল আছে । ধরি, এই র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলগুলোর প্রত্যেকটা 0,1,2,...,n থেকে যে কোন মান গ্রহণ করতে পারে । এবং ধরি, k সংখ্যক অঋণাত্মক সংখ্যা আছে যাদের যোগফল হল 1(সকল সম্ভাব্যতার যোগফল ১ হবে বলে অর্থাৎ )। আবার k সংখ্যক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা চিন্তা করা যাক যাদের যোগফলও হচ্ছে 1 অর্থাৎ ,যেখানে প্রত্যেক 1 থেকে n এর মধ্যে যে কোন পূর্ণ সংখ্যামান গ্রহণ করতে পারে । যে কোন সেট এর জন্য যদি এবং ,... এবং যৌথভাবে হওয়ার সম্ভাবনা

হয়,তাহলে বলা যায় প্যারামিটার n এবং বিশিষ্টএর একটি বহুপদী যৌথবন্টন আছে । একটু অন্যভাবে বললে , কে k সংখ্যক ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করে n বার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট চালিয়ে এই n বারের মধ্যে ঘটনাটি বার,ঘটনাটি বার ,এভাবে ... ঘটনাটি বার () একসাথে ঘটার সম্ভাবনাকে উপরোক্ত সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে । প্যারামিটার n হল যতবার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট করা হয়েছে তার মোট সংখ্যা আর প্যারামিটার হল k তম ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত থাকার সম্ভাবনা (1,2,3,...,k এই k সংখ্যক ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে বিভক্ত বলে বিবেচনা করে )
ছক্কার গুটি দিয়ে উদাহারণ দেয়া যাক । ধরা যাক, একটা ছক্কার গুটি 5 (n = 5) বার ছুঁড়ে মেরে পরীক্ষা চালানো হচ্ছে । ছক্কার গুটিতে 1,2,3,4,5,6 ( k = 6) এর যে কোনটা উঠতে পারে । অর্থাৎ আমাদের আউটকামকে আমরা 6 টা ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে ভাগ করতে পারি । 1,2 থেকে 6 পর্যন্ত যে কোনটারই ওঠার সম্ভাবনা অর্থাৎ এই 6 টা শ্রেণীর যে কোন একটা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা হল 6 ভাগের 1 ভাগ (1/6) ।

আমরা ধরতে পারি , হল n=5 বারের মধ্যে কয়বার i(i = 1,2,...,k=6)উঠেছে অর্থাৎ কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) তম শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত ছিল তার সংখ্যা ধারণকারী র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । তার মানে হল 5 বারের মধ্যে কয়বার 5 উঠেছে তার সংখ্যা নির্দেশক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । 5 বারের এক্সপেরিমেন্টে একটা সম্ভাব্য আউটকাম হতে পারে

এখানে ,,,,, । সবগুলো কে যোগ করলে যোগফল নিঃসন্দেহে হবে n = 5 ।