বহুপদী বন্টন

ধরা যাক ${X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},...,X_{K}}$, যেখানে k > 1, হল র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলের একটি সেট যাতে k সংখ্যক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল আছে । ধরি, $X_{1},X_{2},...,X_{k}$এই র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলগুলোর প্রত্যেকটা 0,1,2,...,n থেকে যে কোন মান গ্রহণ করতে পারে । এবং ধরি, k সংখ্যক অঋণাত্মক সংখ্যা $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$আছে যাদের যোগফল হল 1(সকল সম্ভাব্যতার যোগফল ১ হবে বলে অর্থাৎ $\sum _{i=1}^{k}p_{i}=p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{k}=1$)। আবার k সংখ্যক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}$চিন্তা করা যাক যাদের যোগফলও হচ্ছে 1 অর্থাৎ $\sum _{i=1}^{k}n_{i}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}=n$,যেখানে প্রত্যেক $n_{i}(i=1,2,...,k)$ 1 থেকে n এর মধ্যে যে কোন পূর্ণ সংখ্যামান গ্রহণ করতে পারে । যে কোন $\{n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}\}$ সেট এর জন্য যদি $X_{1}=n_{1}$ এবং $X_{2}=n_{2}$ ,... এবং $X_{k}=n_{k}$ যৌথভাবে হওয়ার সম্ভাবনা

${\begin{aligned}P(X_{1}=n_{1},X_{2}=n_{2},...,X_{k}=n_{k})&={\binom {n}{n_{1}}}{\binom {n-n_{1}}{n_{2}}}{\binom {n-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}...{\binom {n-n_{1}-n_{2}-...-n_{k}-2}{n_{k}-1}}{p_{1}}^{n_{1}}{p_{2}}^{n_{2}}...{p_{k}}^{n_{k}}\\&={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}}{p_{1}}^{n_{1}}{p_{2}}^{n_{2}}...{p_{k}}^{n_{k}}\end{aligned}}$

হয়,তাহলে বলা যায় প্যারামিটার n এবং $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ বিশিষ্ট${X_{1},X_{2},...,X_{k}}$এর একটি বহুপদী যৌথবণ্টন আছে । একটু অন্যভাবে বললে , $X_{1},X_{2},...,X_{k}$ কে k সংখ্যক ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করে n বার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট চালিয়ে এই n বারের মধ্যে $X_{1}$ ঘটনাটি $n_{1}$বার,$X_{2}$ঘটনাটি $n_{2}$বার ,এভাবে ... $X_{k}$ ঘটনাটি $n_{k}$বার ($\sum _{i=1}^{k}n_{i}=n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}=n$) একসাথে ঘটার সম্ভাবনাকে উপর্যুক্ত সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে । প্যারামিটার n হল যতবার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট করা হয়েছে তার মোট সংখ্যা আর প্যারামিটার $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ হল k তম ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত থাকার সম্ভাবনা (1,2,3,...,k) এই k সংখ্যক ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে বিভক্ত বলে বিবেচনা করে )
ছক্কার গুটি দিয়ে উদাহরণ দেয়া যাক । ধরা যাক, একটা ছক্কার গুটি 5 (n = 5) বার ছুঁড়ে মেরে পরীক্ষা চালানো হচ্ছে । ছক্কার গুটিতে 1,2,3,4,5,6 ( k = 6) এর যে কোনটা উঠতে পারে । অর্থাৎ আমাদের আউটকামকে আমরা 6 টা ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে ভাগ করতে পারি । 1,2 থেকে 6 পর্যন্ত যে কোনটারই ওঠার সম্ভাবনা অর্থাৎ এই 6 টা শ্রেণীর যে কোন একটা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা হল 6 ভাগের 1 ভাগ (1/6) । $p_{1}=p_{2}=p_{3}=p_{4}=p_{5}=p_{6}=1/6$

আমরা ধরতে পারি , $X_{i}(i=1,2,...,k=6)$ হল n=5 বারের মধ্যে কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) উঠেছে অর্থাৎ কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) তম শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত ছিল তার সংখ্যা ধারণকারী র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । তার মানে $X_{5}$হল 5 বারের মধ্যে কয়বার 5 উঠেছে তার সংখ্যা নির্দেশক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । 5 বারের এক্সপেরিমেন্টে একটা সম্ভাব্য আউটকাম হতে পারে

$(X1=2,X2=1,X3=1,X4=1,X5=0,X6=0),$

এখানে $n_{1}=2$,$n_{2}=1$,$n_{3}=1$,$n_{4}=1$,$n_{5}=0$,$n_{6}=0$ । সবগুলো $n_{i}$ কে যোগ করলে যোগফল নিঃসন্দেহে হবে n = 5 ।

${\begin{aligned}P(X_{1}=2,X_{2}=1,X_{3}=1,X_{4}=1,X_{5}=0,X_{6}=0)&={\binom {5}{2}}{\binom {5-2}{1}}{\binom {5-2-1}{1}}{\binom {5-2-1-1}{1}}\\&={\frac {5!}{2!.1!.1!.1!.0!.0!}}.{1/6}^{2}.{1/6}^{1}.{1/6}^{1}.{1/6}^{1}.{1/6}^{0}.{1/6}^{0}\end{aligned}}$