নিভেনের উপপাদ্য

কানাডিয়ান-আমেরিকান গণিতবিদ আইভ্যান নিভেনের নামানুসারে নামাঙ্কিত এই উপপাদ্যের ভাষ্য হলো, 0° ≤ θ ≤ 90° ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত θ (θ-এর মান ডিগ্রি এককে) এর কেবল যেসব মূলদ মানের জন্য sineθ -এর মানও মূলদ হয় সেগুলো হলো:^[১]

{\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1\end{aligned}}

কোণের একককে রেডিয়ান এককে প্রকাশ করা হলে উপর্যুক্ত ব্যবধিটি হবে 0 ≤ x ≤ $π$ /2, আর এক্ষেত্রে x/ $π$ ও sin x মূলদ হবে। উপপাদ্যটির সারাংশ এই যে, এই ধরনের মান কেবল sin 0 = 0, sin $π$ /6 = 1/2 এবং sin $π$ /2 = 1 এর জন্যই বিদ্যমান।

অমূলদ সংখ্যা নিয়ে নিভেনের লেখা বইয়ে অনুসিদ্ধান্ত ৩.১২ (Corollary 3.12) নামে এই উপপাদ্যটির উল্লেখ পাওয়া যায়।^[২]

উপপাদ্যটি অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্যও সম্প্রসারণ করা যায়।^[২] এই উপপাদ্য অনুসারে θ-এর মূলদ মানের জন্য sin ও cos ফাংশনের কেবল 0, ±1/2 এবং ±1 এই মূলদ মানগুলোই পাওয়া যাবে। একইভাবে θ-এর মূলদ মানের জন্য sec এবং cosec ফাংশনের একমাত্র মূলদ মান হলো ±1 ও ±2; আর tan ও cot এর জন্য একমাত্র মূলদ মান হলো 0 ও ±1।^[৩]

তথ্যসূত্র

↑ Schaumberger, Norman (১৯৭৪)। "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities"। Two-Year College Mathematics Journal। 5 (1): 73–76। জেস্টোর 3026991। ডিওআই:10.2307/3026991।
↑ ^ক ^খ Niven, Ivan (১৯৫৬)। Irrational Numbers। The Carus Mathematical Monographs। The Mathematical Association of America। পৃষ্ঠা 41। এমআর 0080123।
↑ A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (২০০৪)। "Fermat's last theorem for rational exponents"। American Mathematical Monthly। 111 (4): 322–329। এমআর 2057186। জেস্টোর 4145241। ডিওআই:10.2307/4145241।

অরও পড়ুন

Olmsted, J. M. H. (১৯৪৫)। "Rational values of trigonometric functions"। The American Mathematical Monthly। 52 (9): 507–508। জেস্টোর 2304540।
Lehmer, Derik H. (১৯৩৩)। "A note on trigonometric algebraic numbers"। The American Mathematical Monthly। 40 (3): 165–166। জেস্টোর 2301023। ডিওআই:10.2307/2301023।
Jahnel, Jörg (২০১০)। "When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?"। arXiv:1006.2938  [math.HO]।

বহিসংযোগ

এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "Niven's Theorem"।
টেমপ্লেট:ProofWiki

[1] Schaumberger, Norman (১৯৭৪)। "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities"। Two-Year College Mathematics Journal। 5 (1): 73–76। জেস্টোর 3026991। ডিওআই:10.2307/3026991।

[niven-2] ক ^খ Niven, Ivan (১৯৫৬)। Irrational Numbers। The Carus Mathematical Monographs। The Mathematical Association of America। পৃষ্ঠা 41। এমআর 0080123।

[3] A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (২০০৪)। "Fermat's last theorem for rational exponents"। American Mathematical Monthly। 111 (4): 322–329। এমআর 2057186। জেস্টোর 4145241। ডিওআই:10.2307/4145241।

[১]

[২]

[৩]