বিষয়বস্তুতে চলুন

দৈব প্রক্রিয়া

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
একটি গোলকের পৃষ্ঠতলে একটি উইনার বা ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়াটির একটি কম্পিউটার সিমুলেটেড উপলব্ধি। উইনার প্রক্রিয়াটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে সবচেয়ে অধ্যয়ন একটি দৈব প্রক্রিয়া।[১][২][৩]

দৈব প্রক্রিয়া (Stochastic process বা Random Process) বলতে সম্ভাবনা তত্ত্বে একটি দৈব ফাংশন বোঝানো হয়ে থাকে, অধিকাংশ ক্ষেত্রে যা সময় ব্যবধি (time interval) (ব্যবহারিক ক্ষেত্রে এ ধরনের দৈব প্রক্রিয়াকে সময় ধারা (time series) বলে) অথবা কোন ক্ষেত্র-অঞ্চল (region of space) ডোমেইনে (এ ধরনের দৈব প্রক্রিয়াকে দৈব ক্ষেত্র (random field) বলে) সংজ্ঞায়িত হয়ে থাকে।

সময় ধারার উদাহরণ হিসেবে স্টক বাজার (stock market)[৪][৫][৬], বিনিময় হারের (exchange rate) উত্থান পতন, বাক-সংকেত (speech signal), অডিও ও ভিডিও সংকেত, রোগীর ইকেজি, ইইজি, রক্তচাপ, তাপমাত্রা, ইত্যাদি তথ্য; এবং দৈব চলাচলসমূহ, যেমন ব্রাউনীয় গতি (Brownian motion), দৈব চলন (random walk), ইত্যাদি উল্লেখযোগ্য। এছাড়া ব্যাকটিরিয়ার জনসংখ্যার বৃদ্ধি, তাপীয় বিশৃংখলা, বা একটি গ্যাস অণু এর চলাফেরাও এর মধ্যে পরে।[১][৭][৮][৯] দৈব প্রক্রিয়াগুলি গাণিতিক মডেল হিসাবে সিস্টেম এবং এলোমেলোভাবে পরিবর্তিত হয় বলে মনে হয় এমন দৈব ঘটনাগুলির হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। বিজ্ঞানের অনেকগুলি শাখায় এর প্রয়োগ রয়েছে যেমন জীববিজ্ঞান[১০],রসায়ন[১১], বাস্তুতন্ত্র[১২], স্নায়ুবিজ্ঞান[১৩], পদার্থবিজ্ঞান[১৪] পাশাপাশি প্রযুক্তি এবং প্রকৌশল ক্ষেত্র যেমন চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণ[১৫], তথ্য তত্ত্ব[১৬], কম্পিউটার বিজ্ঞান[১৭], তথ্যগুপ্তিবিদ্যা[১৮] এবং টেলিযোগাযোগ[১৯]।

দৈব ফাংশন শব্দটি দৈব প্রক্রিয়া বা এলোমেলো প্রক্রিয়া বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়[২০][২১],কারণ একটি দৈব প্রক্রিয়াকে কোনও ফাংশন স্পেসের এলোমেলো উপাদান হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।[২২][২৩]

গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে দৈব প্রক্রিয়াগুলি বিভিন্ন বিভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার মধ্যে এলোমেলো পদচারণা( random walks),[২৪] মার্টিংএলস ( martingales)[২৫], মার্কভ প্রক্রিয়া ( Markov processes),[২] ল্যাভি প্রক্রিয়া (Lévy processes),[২৬] গাউসীয় প্রক্রিয়া, (Gaussian processes)[২৭] এলোমেলো ক্ষেত্র (random fields),[২৮] পুনর্নবীকরণ প্রক্রিয়া (renewal processes), এবং ব্র্যঞ্চিং প্রক্রিয়া (branching processes)।[২৯] স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নটি সম্ভাবনা, ক্যালকুলাস, লিনিয়ার বীজগণিত, সেট তত্ত্ব এবং টপোলজির গাণিতিক জ্ঞান এবং কৌশলগুলি ব্যবহার করে[৩০][৩১][৩২] পাশাপাশি গাণিতিক বিশ্লেষণের শাখা যেমন বাস্তব বিশ্লেষণ, পরিমাপ তত্ত্ব, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং কার্যকরী বিশ্লেষণও (functional analysis) ব্যবহার করে।[৩৩][৩৪][৩৫]

সংজ্ঞা

[সম্পাদনা]

দৈব প্রক্রিয়া হলো দৈব চলক (random variable) {Xi} এর সূচিত সংগ্রহ (indexed collection)। এর সূচক i সাধারণত বাস্তব সংখ্যার সেট R থেকে মান নেয়।

বিশেষক্ষেত্রে এই সূচকের মান বিচ্ছিন্ন হয়ে থাকে, সেক্ষেত্রে সাধারণত অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট {০, ১, ২, ৩, ...}।

অবিচ্ছিন্ন দৈব প্রক্রিয়ায় এই সূচক অবিচ্ছিন্ন (সাধারণত স্থানাঙ্ক বা সময় বোঝাতে) হয় ও অগণন অসীম (uncountably infinite) সংখ্যক দৈব চলক পাওয়া যায়।

তথ্যসূত্র

[সম্পাদনা]
  1. 1 2 Doob, Joseph L. (১৯৯০)। Stochastic processes (ইংরেজি ভাষায়)। Wiley। পৃ. ৪৬, ৪৭।
  2. 1 2 Rogers, L. C. G.; Williams, David (১৩ এপ্রিল ২০০০)। Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-১-১০৭-৭১৭৪৯-৭।
  3. ↑ Steele, J. Michael. (২০০১)। Stochastic Calculus and Financial Applications। New York, NY: Springer New York। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪৬৮৪-৯৩০৫-৪। ওসিএলসি 853267693।
  4. ↑ Steele, J. Michael (২০০১)। Stochastic Calculus and Financial Applications (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৫০১৬-৭।
  5. ↑ Marek Musiela; Marek Rutkowski (২০০৬)। Martingale Methods in Financial Modelling। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৫৪০-২৬৬৫৩-২।
  6. ↑ Steven E. Shreve (২০০৪)। Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৪০১০১-০।
  7. ↑ Parzen, Emanuel (১৭ জুন ২০১৫)। Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Courier Dover Publications। পৃ. ৭–৮। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৪৮৬-৭৯৬৮৮-৮।
  8. ↑ Gikhman, I. I. (Iosif Ilʹich), 1918-1985. (১৯৯৬)। Introduction to the theory of random processes। Skorokhod, A. V. (Anatoliĭ Vladimirovich), 1930-2011. (Dover ed সংস্করণ)। Mineola, N.Y.: Dover Publications। আইএসবিএন ০-৪৮৬-৬৯৩৮৭-২। ওসিএলসি 35262440। {{বই উদ্ধৃতি}}: |edition=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: সাংখ্যিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক)
  9. ↑ Gagniuc, Paul A.,। Markov chains : from theory to implementation and experimentation। Hoboken, NJ। আইএসবিএন ৯৭৮-১-১১৯-৩৮৭৫৭-২। ওসিএলসি 982373850।{{বই উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অতিরিক্ত বিরামচিহ্ন (লিঙ্ক) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক)
  10. ↑ Bressloff, Paul C. (২২ আগস্ট ২০১৪)। Stochastic Processes in Cell Biology (ইংরেজি ভাষায়)। Springer। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৩১৯-০৮৪৮৮-৬।
  11. ↑ Kampen, N. G. Van (৩০ আগস্ট ২০১১)। Stochastic Processes in Physics and Chemistry (ইংরেজি ভাষায়)। Elsevier। আইএসবিএন ৯৭৮-০-০৮-০৪৭৫৩৬-৩।
  12. ↑ Lande, Russell; Engen, Professor of Biostatistics Steinar; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik; Saether, Professor of Population Ecology Bernt-Erik (২০০৩)। Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation (ইংরেজি ভাষায়)। Oxford University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-১৯-৮৫২৫২৫-৭।
  13. ↑ Laing, Carlo; Lord, Gabriel J. (২০১০)। Stochastic Methods in Neuroscience (ইংরেজি ভাষায়)। OUP Oxford। আইএসবিএন ৯৭৮-০-১৯-৯২৩৫০৭-০।
  14. ↑ Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (১১ জুলাই ২০১৩)। Stochastic Processes: From Physics to Finance (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৩১৯-০০৩২৭-৬।
  15. ↑ Dougherty, Edward R. (১৯৯৯)। Random processes for image and signal processing (ইংরেজি ভাষায়)। SPIE Optical Engineering Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮১৯৪-২৫১৩-৩।
  16. ↑ Cover, T. M., 1938-2012,। Elements of information theory। Thomas, Joy A., (Second edition সংস্করণ)। Hoboken, N.J.। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৪৭১-৭৪৮৮১-৬। ওসিএলসি 70862892। {{বই উদ্ধৃতি}}: |edition=-এ অতিরিক্ত লেখা রয়েছে (সাহায্য)উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অতিরিক্ত বিরামচিহ্ন (লিঙ্ক) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: একাধিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক) উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: সাংখ্যিক নাম: লেখকগণের তালিকা (লিঙ্ক)
  17. ↑ Baron, Michael (৫ আগস্ট ২০১৩)। Probability and Statistics for Computer Scientists (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৪৯৮৭-৬০৬০-৭।
  18. ↑ Katz, Jonathan; Lindell, Yehuda (৩১ আগস্ট ২০০৭)। Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols (ইংরেজি ভাষায়)। CRC Press। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৫৮৪৮৮-৫৮৬-৩।
  19. ↑ Baccelli, François; Błaszczyszyn, Bartłomiej (২০১০)। Stochastic Geometry and Wireless Networks (ইংরেজি ভাষায়)। Now Publishers Inc। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৬০১৯৮-২৬৪-৩।
  20. ↑ Theory of stochastic processes : with applications to financial mathematics and risk theory। Gusak, D. V. (Dmitriĭ Vasilʹevich)। New York: Springer। ২০১০। পৃ. ২১। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৮৭৮৬২-১। ওসিএলসি 663094112।{{বই উদ্ধৃতি}}: উদ্ধৃতি শৈলী রক্ষণাবেক্ষণ: অন্যান্য (লিঙ্ক)
  21. ↑ Skorokhod, Valeriy (৫ ডিসেম্বর ২০০৫)। Basic Principles and Applications of Probability Theory (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৫৪০-২৬৩১২-৮।
  22. ↑ Lamperti, John (১৯৭৭)। Stochastic Processes: A Survey of the Mathematical Theory (ইংরেজি ভাষায়)। Springer-Verlag। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৫৪০-৯০২৭৫-১।
  23. ↑ Kallenberg, Olav (৮ জানুয়ারি ২০০২)। Foundations of Modern Probability (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। পৃ. ২৪–২৫। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-৯৫৩১৩-৭।
  24. ↑ Lawler, Gregory F.; Limic, Vlada (২৪ জুন ২০১০)। Random Walk: A Modern Introduction (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-১-১৩৯-৪৮৮৭৬-১।
  25. ↑ Williams, David (১৪ ফেব্রুয়ারি ১৯৯১)। Probability with Martingales (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৪০৬০৫-৫।
  26. ↑ Applebaum, David (৫ জুলাই ২০০৪)। Lévy Processes and Stochastic Calculus (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৮৩২৬৩-২।
  27. ↑ Lifshits, Mikhail (১১ জানুয়ারি ২০১২)। Lectures on Gaussian Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৬৪২-২৪৯৩৯-৬।
  28. ↑ Adler, Robert J. (২৮ জানুয়ারি ২০১০)। The Geometry of Random Fields (ইংরেজি ভাষায়)। SIAM। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৮৯৮৭১-৬৯৩-১।
  29. ↑ Karlin, Samuel; Taylor, Howard E. (২ ডিসেম্বর ২০১২)। A First Course in Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Academic Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-০৮-০৫৭০৪১-৯।
  30. ↑ Latouche, G. (Guy) (১৯৯৯)। Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling। Ramaswami, V.। Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics। আইএসবিএন ০-৮৯৮৭১-৪২৫-৭। ওসিএলসি 40163561।
  31. ↑ Daley, D. J.; Vere-Jones, David (১২ নভেম্বর ২০০৭)। An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure (ইংরেজি ভাষায়)। Springer Science & Business Media। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৩৮৭-২১৩৩৭-৮।
  32. ↑ Hajek, Bruce (১২ মার্চ ২০১৫)। Random Processes for Engineers (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-১-৩১৬-২৪১২৪-০।
  33. ↑ Billingsley, Patrick (৪ আগস্ট ২০০৮)। PROBABILITY AND MEASURE, 3RD ED (ইংরেজি ভাষায়)। Wiley India Pvt. Limited। আইএসবিএন ৯৭৮-৮১-২৬৫-১৭৭১-৮।
  34. ↑ Brémaud, Pierre (১৬ সেপ্টেম্বর ২০১৪)। Fourier Analysis and Stochastic Processes (ইংরেজি ভাষায়)। Springer। আইএসবিএন ৯৭৮-৩-৩১৯-০৯৫৯০-৫।
  35. ↑ Bobrowski, Adam (১১ আগস্ট ২০০৫)। Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction (ইংরেজি ভাষায়)। Cambridge University Press। আইএসবিএন ৯৭৮-০-৫২১-৮৩১৬৬-৬।
'https://bn.wikipedia.org/w/index.php?title=দৈব_প্রক্রিয়া&oldid=7821130' থেকে আনীত