বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

এই নিবন্ধটি বীজগণিতের ভগ্নাংশ অধ্যায় সম্পর্কে। অন্য ব্যবহারের জন্য ভগ্নাংশ (দ্ব্যর্থতা নিরসন) দেখুন।

আমরা দৈনন্দিন জীবনে একটি সম্পূর্ণ জিনিসের সাথে এর অংশও ব্যবহার করি। এই বিভিন্ন অংশ এক-একটি ভগ্নাংশ; যার প্রকৃত অর্থ– ‘ভাঙা অংশ’। বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ অনেকটাই পাটিগণিতীয় ভগ্নাংশের মতো (লব এবং হর দ্বারা গঠিত কিন্তু বীজগণিতীয় চলক দ্বারা প্রকাশিত)।

কেকটির প্রতিটি অংশ এর এক-চতুর্থাংশ (চর ভাগের একভাগ বা ১⁄৪ বা ${\tfrac {1}{4}}$) নির্দেশ করে। তন্মধ্যে, তিন-চতুর্থাংশ (চর ভাগের তিন ভাগ বা ${\tfrac {3}{4}}$) অবশিষ্ট আছে এবং এক-চতুর্থাংশ (চর ভাগের এক ভাগ বা ${\tfrac {1}{4}}$) ব্যবহার করা হয়েছে।

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ কাকে বলে

যদি $m$ ও $n$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি হয়, তবে ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, যেখানে ${\displaystyle n\neq 0}$। এখানে ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ ভগ্নাংশটির $m$ কে লব (যা ভগ্নাংশের উপরে থাকে) এবং $n$ কে হর (যা ভগ্নাংশের নিচে থাকে) বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, ${\displaystyle {\frac {x+y}{y}}}$, ${\displaystyle {\frac {x^{2}+a^{2}}{x+a}}}$, ${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}$, ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$, $x+{\frac {b}{2a}}$, $\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$, ${\displaystyle {\frac {a\times b\times z}{a^{2}bc}}}$, ${\frac {(a+b)\div c}{{\sqrt {a^{2}}}bc}}$ ইত্যাদি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।

সাধারণ ভগ্নাংশ

সাধারণ ভগ্নাংশ তিন প্রকার, যথা–

1. প্রকৃত ভগ্নাংশ
2. অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ও
3. মিশ্র ভগ্নাংশ

প্রকৃত ভগ্নাংশ

${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশের লব $3$, হর $5$। এখানে লব, হর থেকে ছোট। এটি একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ

${\displaystyle {\frac {8}{5}}}$ একটি সাধারণ ভগ্নাংশ। এই ভগ্নাংশের লব $8$, হর $5$ থেকে বড়। এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

• অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে রূপান্তরিত করলে একটি মিশ্র ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।

যেমন:

উদাহরণ	এখানে,
${\displaystyle {\frac {8}{5}}}={\displaystyle 1{\frac {3}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{5}}}=$ $5)~8~(1$ ${\displaystyle {\frac {~5~}{3}}}$ সুতরাং, পূর্ণ সংখ্যা = ভগফল = $1$ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব = ভগশেষ = $3$ অপ্রকৃত ভগ্নাংশের হর = ভাজক = $5$

মিশ্র ভগ্নাংশ

${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}$ সংখ্যাটিতে একটি পূর্ণ অংশ এবং অপর অংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশে আছে। ${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}$ (বা ${\displaystyle 1+{\frac {2}{3}}}$) একটি মিশ্র ভগ্নাংশ।

• পূর্ণ অংশ + প্রকৃত ভগ্নাংশ = মিশ্র ভগ্নাংশ।
• মিশ্র ভগ্নাংশে একটি পূর্ণ অংশের সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত আকারে থাকে।
• মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে সাধারণ ভগ্নাংশ (বা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) রূপান্তর করার নিয়ম:–

+(পূর্ণ সংখ্যা × হর) + লব/হর

যেমন: ${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}={\displaystyle {\frac {(1\times 3)+2}{3}}}={\displaystyle {\frac {5}{3}}}$ ;

${\displaystyle 2{\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {(2\times 5)+2}{5}}}={\displaystyle {\frac {12}{5}}}$

অথবা,

${\displaystyle 2{\frac {2}{5}}}={\displaystyle 2+{\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {2}{1}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {2\times 5}{1\times 5}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}$

$={\displaystyle {\frac {2\times 5}{5}}}+{\displaystyle {\frac {2}{5}}}={\displaystyle {\frac {(2\times 5)+2}{5}}}={\displaystyle {\frac {12}{5}}}$

• মিশ্র ভগ্নাংশকে রূপান্তরিত করলে (বা ভাঙলে) একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। যেমন: ${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}={\displaystyle {\frac {5}{3}}}$ যা অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

বীজগণিতের সাধারণ নিয়মসূমহ

${\displaystyle a\neq 0}$, ${\displaystyle b\neq 0}$, ${\displaystyle c\neq 0}$, ${\displaystyle x\neq 0}$, ${\displaystyle y\neq 0}$ এবং ${\displaystyle z\neq 0}$ হলে, $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ এবং $z$ এর যেকোনো মানের জন্য—

নিয়ম ১

যোগ $(+)$ বা বিয়োগ $(-)$ চিহ্নিত অংশ (বা সংখ্যা) তাদের স্ব স্ব চিহ্নসহ তাদের অবস্থান যেকোনো স্থানে পরিবর্তন করতে পারে। তবে, এদের মাঝে যদি গুণ $(\times )$ বা ভাগ $(\div )$ বা 'এর' (চিহ্নিত অংশ) অথবা যেকোনোটি অথবা যেকোনো দু'টি অথবা সবগুলিই থাকে তবে তাদের [মধ্যে সর্বপ্রথম 'এর' -এর সমাধান, তারপর ভাগ $(\div )$ এবং তারপর গুণ $(\times )$ -এর] সমাধান আগে করে নিতে হয়।

যেমন:

$-3+4\times 5+8\div 4+1-9\times 2$

$=-3+4\times 5+2+1-9\times 2$

• ↑ প্রথমে ভাগের ($\div$) সমাধান করা হলো। [যেহেতু, এর (গুণের ($\times$) আরেক রূপ) নেই।]

$=-3+20+2+1-18$

• ↑ তারপর গুণের ($\times$) সমাধান করা হলো।

$=20+2+1-18-3$

• ↑ স্ব স্ব চিহ্ন অনুযায়ী স্থান পরিবর্তন করা হলো।

$=22+1-18-3$

$=23-18-3$

$=23-(18+3)$ [নিয়ম ১০ অনুসারে।]

$=23-21$

$=2$

নিয়ম ২

$a\div b={\displaystyle {\frac {a}{b}}}=a/b=$ a⁄b $=b)~a~($ $=b{\overline {)~a~}}$

• আবার অনেক সময় অনুপাত দিয়েও ভগ্নাংশ প্রকাশ করা হয়।

যেমন: $a:b={\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

নিয়ম ৩

$a\times b=a.b=ab$

• বীজগণিতে দুইটি প্রতীক বা অঙ্ক কিংবা সংখ্যা পাশাপাশি লিখলে এদের মধ্যে (গুণ) '$\times$' চিহ্ন ধরে নিতে হয়।

যেমন:

$x\times y=xy$, $x.y=xy$

• কিন্তু অঙ্কে বা সংখ্যায় প্রকাশের ক্ষেত্রে $ab$ নিয়মটি ব্যবহার করা হয় না (বীজগণিতে প্রকাশের সময় $ab$ নিয়মটি ব্যবহার করা হয়), বরং অন্য দু'টি নিয়ম ব্যবহার করা হয়। তবে (অঙ্কে বা সংখ্যায় প্রকাশের ক্ষেত্রে এ নিয়মটি) ব্যবহার করতে চাইলে প্রথম বন্ধনী ($()$) ব্যবহার করতে হয়।

যেমন: $3\times 4$ $=$ $3.4$ $=$ $(3)(4)$ $=$ 12

• গুণের $ab$ নিয়মের ক্ষেত্রে–

সঠিক : $(3)(4)=12$, $(5)(2)=10$, $(10)(17)=170$

সঠিক নয় : $3~4=12$, $5~2=10$, $10~17=170$

নিয়ম ৪

$\blacksquare$ ধরন ০১:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{y}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times y}}}={\displaystyle {\frac {ax}{by}}}$

$\blacksquare$ ধরন ০২:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times x={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{1}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times 1}}}={\displaystyle {\frac {ax}{b}}}$

$\blacksquare$ ধরন ০৩:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {1}{y}}}={\displaystyle {\frac {a\times 1}{b\times y}}}={\displaystyle {\frac {a}{by}}}$

নিয়ম ৫

$\blacksquare$ ধরন ০১:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {z}{x}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {x}{z}}}={\displaystyle {\frac {a\times x}{b\times z}}}={\displaystyle {\frac {ax}{bz}}}$

$\blacksquare$ ধরন ০২:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div x={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {x}{1}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {1}{x}}}={\displaystyle {\frac {a\times 1}{b\times x}}}={\displaystyle {\frac {a}{bx}}}$

$\blacksquare$ ধরন ০৩:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {1}{z}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {z}{1}}}={\displaystyle {\frac {a\times z}{b\times 1}}}={\displaystyle {\frac {az}{b}}}$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

একটি রাশির সাথে অন্য একটি রাশি ভাগ অবস্থায় থাকলে, দ্বিতীয় রাশির লব হরে এবং হর লবে পরিণত করে, সেটিকে প্রথম রাশির সাথে গুণ করতে হয়।

নিয়ম ৬

$xy=yx$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

গুণের ক্ষেত্রে সংখ্যার স্থান পরিবর্তন (বা অদল-বদল) করা যায়।

যেমন:

$2\times 3=6$ আবার, $3\times 2=6$

সুতরাং, $3\times 2=2\times 3=6$

নিয়ম ৭

${\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {a}{b}}}{\displaystyle {\frac {x}{y}}}}}={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\div {\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ [নিয়ম ২ অনুসারে।]

$={\displaystyle {\frac {a}{b}}}\times {\displaystyle {\frac {y}{x}}}={\displaystyle {\frac {a\times y}{x\times b}}}$ [নিয়ম ৪ (ধরন ০১) অনুসারে।]

$={\displaystyle {\frac {ay}{bx}}}$ [নিয়ম ৩ অনুসারে।]

নিয়ম ৮

$a(x+y)=a\times (x+y)=ax+ay$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

এখানে প্রথম বন্ধনীর ভেতর দু'টি পদ রয়েছে। আর তা $a$ -এর সাথে গুণ অবস্থায় আছে। যেহেতু এখানে গুণ্য $a$ -এর সাথে দু'টি পদ গুণ অবস্থায় আছে সেহেতু গুণ্য $a$ দ্বারা উভয় পদকেই (অর্থাৎ, গুণক '$(x+y)$' কে) আলাদা আলাদা ভাবে গুণ করতে হবে।

যেমন:

$3(2+3)=3\times (2+3)=6+9=15$

অথবা,

$3(2+3)=6+9=15$ (দ্রষ্টব্য: এটি প্রচলিত নিয়ম।)

নিয়ম ৯

$(a+b)(y+z)$

$=a(y+z)~+~b(y+z)$

$=ay+az~+~by+bz$ [নিয়ম ৮ অনুসারে।]

অথবা,

$(a+b)(y+z)$

$=y(a+b)+z(a+b)$

$=ya+yb+za+zb$ [নিয়ম ৮ অনুসারে।]

$=ya+za+yb+zb$ [নিয়ম ১ অনুসারে।]

$=ay+az+by+bz$ [নিয়ম ৬ অনুসারে।]

যেমন:

$(2+3)(5+7)$

$=2(5+7)~+~3(5+7)$

$=\{(2\times 5)+(2\times 7)\}~+~\{(3\times 5)+(3\times 7)\}$

$=(10+14)~+~(15+21)$

$=24~+~36$

$=60$

নিয়ম ১০

$\blacksquare$ ধরন ০১:

$-(a-b+y-z)$

$=-a+b-y+z$

$\blacksquare$ ধরন ০২:

$+(a-b+y-z)$

$=a-b+y-z$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

বন্ধনীর (Bracket) আগে বিয়োগ ($-$) চিহ্ন থাকলে, বন্ধনী তুলে দিলে ভেতরের পদসূমহের প্রক্রিয়া চিহ্নসূমহ (গুণ $(\times )$ এবং ভাগ $(\div )$ বাদে) তথা যোগ $(+)$ এবং বিয়োগ $(-)$ পরিবর্তিত হয় (ধরন ০১)। কিন্তু, (বন্ধনীর আগে) যোগ ($+$) চিহ্ন থাকলে, বন্ধনী তুলে দিলে তা (ভেতরের পদসূমহের $+$ বা $-$ চিহ্ন পরিবর্তিত) হয় না (ধরন ০২)।

যেমন:

ধরণ	উদাহরণ	উদাহরণ ২
০১.	$-(3-4+10\div 2)$ $=-(3-4+5)$ $=-3+4-5$ $=-8+4$ $=-4$	$-(6$ এর $3-43+2-[5\div 5+76\times 1]5-1)$ $=-(18-43+2-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(18+2-43-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(20-43-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(-23-[5\div 5+75\times 1]5-1)$ $=-(-23-[5\div 5+75\times 1]4)$ $=-(-23-[1+75\times 1]4)$ $=-(-23-[1+75]4)$ $=-(-23-[76]4)$ $=-(-23-76$ এর $4)$ $=-(-23-304)$ $=-(-327)$ $=+327$ $=327$
০২.	$+(3-4+10\div 2)$ $=(3-4+10\div 2)$ $=3-4+5$ $=8-4$ $=4$	$5-1+[6-7\times 6\div 2+(5-7+3)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+(5+3-7)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+(8-7)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+(1)7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+1$ এর $7]$ $=5-1+[6-7\times 6\div 2+7]$ $=5-1+[6-7\times 3+7]$ $=5-1+[6-21+7]$ $=5-1+[6+7-21]$ $=5-1+[13-21]$ $=5-1+[-8]$ $=5-1-8$ $=5-9$ $=-4$

নিয়ম ১১

$a$

$=+a$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

কোনো (বীজগণিতীয় বা পাটিগণিতীয়) রাশির পূর্বে কোনো (প্রক্রিয়া) চিহ্ন না থাকলে, সেখানে যোগ $(+)$ চিহ্ন ধরে নিতে হয়। কিন্তু এই যোগ $(+)$ চিহ্ন সাধারণত না লেখাই শ্রেয়।

নিয়ম ১২

• গুণের ক্ষেত্রে $(+)$ এবং $(-)$ চিহ্নের ব্যবহার:

চিহ্ন	চিহ্ন	$=$	ফলাফল	উদাহরণ	ব্যাখ্যা
$~+$	$~+$	$=$	$~~~~+$	$~5\times 3=15$	$=(+5)\times (+3)=+15$
$~-$	$~-$	$=$	$~~~~+$	$~-5\times -3=15$	$=(-5)\times (-3)=+15$
$~-$	$~+$	$=$	$~~~~-$	$~-5\times 3=-15$	$=(-5)\times (+3)=-15$
$~+$	$~-$	$=$	$~~~~-$	$~5\times -3=-15$	$=(+5)\times (-3)=-15$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

একই চিহ্নযুক্ত [যথা– $(+,+)$ অথবা $(-,-)$] রাশির গুণের ক্ষেত্রে প্লাস ($+$) হয়। আর বিপরীত চিহ্নযুক্ত [যথা– $(+,-)$ অথবা $(-,+)$] রাশির গুণের ক্ষেত্রে মাইনাস্ ($-$) হয়।

নিয়ম ১৩

• যোগের ক্ষেত্রে $(+)$ এবং $(-)$ চিহ্নের ব্যবহার:

চিহ্ন	চিহ্ন	$=$	ফলাফল	উদাহরণ	ব্যাখ্যা
$~+$	$~+$	$=$	$~~~~+$	$~5+3=8$	$=(+5)+(+3)=+8$
$~-$	$~-$	$=$	$~~~~-$	$-5-3=-8$	$=(-5)+(-3)=-8$
$~-$	$~+$	$=$	$~-/+$	$-5+3=-2$ $-3+7=4$	$=(-5)+(+3)=-2$ $=(-3)+(+7)=(+7)+(-3)=7-3=+4$
$~+$	$~-$	$=$	$~-/+$	$3-7=-4$ $5-3=2$	$=(+3)+(-7)=-4$ $=(+5)+(-3)=+2$

নিয়ম ১৪

$x={\displaystyle {\frac {x}{1}}}$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

যেকোনো অখন্ডায়ীত ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে হর হিসেবে $1$ যুক্ত থাকে। কিন্তু এই $1$ না লেখাই শ্রেয়।

যেমন:

$a={\displaystyle {\frac {a}{1}}}$, $y={\displaystyle {\frac {y}{1}}}$, $2={\displaystyle {\frac {2}{1}}}$, $5={\displaystyle {\frac {5}{1}}}$, $10={\displaystyle {\frac {10}{1}}}$, $987={\displaystyle {\frac {987}{1}}}$

নিয়ম ১৫

বন্ধনীর (Brackets) আগে কিংবা পরে কোনো প্রক্রিয়া চিহ্ন না থাকলে সেখানে ' এর (গুণ) ' ধরে নিতে হয়। এ সময় সবার আগে 'এর' এর কাজ করে নিতে হয়।

যেমন:

$3+5[7-6+3+(8\div 4)10]$

$=3+5[7-6+3+(2)10]$

$=3+5[7-6+3+2$ এর $10]$

($=3+5[7-6+3+2\times 10]$)

$=3+5[7-6+3+20]$

$=3+5[7+3+20-6]$

$=3+5[30-6]$

$=3+5[24]$

$=3+5$ এর $24$

($=3+5\times 24$)

$=3+120$

$=123$

নিয়ম ১৬

$a-b-c=a-(b+c)$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

(বেশি সংখ্যক বিয়োগ চিহ্নিত পদকে) বিয়োগ ($-$) করার সুবিধার্থে এখানে মাইনাস কমন নেওয়া হয়েছে। যার কারণে ভেতরের পদসূমহের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়েছে। বন্ধনী তুলে দিলে আবার তা পূর্বাবস্থায় ($a-b-c$) ফিরে যবে।

যেমন:

$14+2-2+5+1-5-3-8-1$

$=14+2-2+5+1-(5+3+8+1)$

$=14+2-2+5+1-(17)$

$=14+2-2+5+1-17$

$=14+5+1-17$

$=19+1-17$

$=20-17$

$=3$

নিয়ম ১৭

$x\times 0=0$

$\blacktriangleright$ ব্যাখ্যা:

যেকোনো সংখ্যা বা পদের সাথে $0$ (শূন্য) গুণ অবস্থায় থাকলে, তার মান সবসময় $0$ (শূন্য) হয়।

যেমন:

$(4-6+5)\times 0$ [পদের সাথে।]

$=0$

অথবা,

$(4-6+5)\times 0$

$=(-2+5)\times 0$

$=(5-2)\times 0$

$=3\times 0$ [সংখ্যার সাথে।]

$=0$

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি

বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র বা সংক্ষেপে সূত্র বলা হয়। নানাবিধ গাণিতিক...

আরোও দেখুন

• চলক
• পদ [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]
• সূচক [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]
• সহগ [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]
• ভিত্তি [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]
• রাশি [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]
• সংখ্যা
• লব [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]
• হর [নিবন্ধটি প্রস্তুতকরণের কাজ চলছে।]