সার্থক অংশ

সার্থক অংশ বলতে একটি বৈজ্ঞানিক অঙ্কপাতনে লেখা সংখ্যা কিংবা একটি ভাসমান বিন্দু সংখ্যার সার্থক বা তাৎপর্যবহ অঙ্কগুলি নিয়ে গঠিত অংশকে বোঝায়। সূচকটিকে কীভাবে প্রকাশ করা হয়েছে, তার উপর ভিত্তি করে সার্থক অংশটি একটি পূর্ণসংখ্যা বা একটি ভগ্নাংশ হতে পারে।

এটিকে ইংরেজিতে সিগনিফিক্যান্ড^[১], ম্যান্টিসা^[২] (বাংলা "অংশক"), কোএফিশিয়েন্ট^[১] (বাংলা "সহগ"), আর্গুমেন্ট, ফ্র্যাকশন^[৩]^{[টীকা ১]}, ক্যারেক্টারিস্টিক^[৪]^[২]^[৫], ইত্যাদি বিভিন্ন নামে ডাকা হতে পারে।

উদাহরণ[সম্পাদনা]

123.45 সংখ্যাটিকে একটি দশমিক (দশ-ভিত্তিক) ভাসমান বিন্দু সংখ্যা হিসেবে উপস্থাপন করা যায়, যেখানে 12345 হল পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশিত সার্থক অংশ, 10⁻² হল দশের ঘাত অংশ, -2 হল "সূচক" এবং 10 হল ভিত্তি। এর মানটি নিম্নলিখিত পাটিগাণিতিক সমীকরণটি দিয়ে বের করা সম্ভব:

123.45 = 12345 × 10⁻².

এই একই মান বৈজ্ঞানিক অঙ্কপাতন পদ্ধতির স্বভাবীকৃত রূপে উপস্থাপন করা সম্ভব, যেখানে 1.2345 হল একটি ভগ্নাংশরূপে প্রকাশিত সার্থক অংশ, +2 হল সূচক এবং ১০ হল ভিত্তি:

123.45 = 1.2345 × 10⁺².

তবে শ্মিড ১.০ থেকে ১০-এর মধ্যবর্তী পরিসরে প্রকাশিত সার্থক অংশবিশিষ্ট এই অঙ্কপাতনটিকে পরিবর্তিত স্বভাবীকৃত রূপ (modified normalized form) নাম দেন।^[৬]^[৭]

দুই-ভিত্তির সংখ্যাগুলির জন্য সার্থক অংশের এই 1.xxxx রূপটিকে স্বভাবীকৃত সার্থক অংশ (Normalized significand) নামেও ডাকা হয়।

পরিশেষে, একই সংখ্যাটিকে ভাষা-নিরপেক্ষ অঙ্কশাস্ত্র মান (Language Independent Arithmetic Standard) প্রদত্ত এবং বেশকিছু প্রোগ্রামরচনা ভাষার (যেমন অ্যাডা, সি, ফোরট্রান, মডুলা-২) মান প্রদত্ত বিন্যাসে নিম্নরূপে লেখা সম্ভব:

123.45 = 0.12345 × 10⁺³.

শ্মিড ০.১ থেকে ১.০-এর মধ্যবর্তী পরিসরে প্রকাশিত সার্থক অংশবিশিষ্ট এই অঙ্কপাতনটিকে প্রকৃত স্বভাবীকৃত রূপ (True normalized form) নাম দেন।^[৬]^[৭]

সার্থক অংশ ও লুক্কায়িত বিট[সম্পাদনা]

একটি স্বভাবীকৃত সংখ্যায় সবচেয়ে তাৎপর্যবহ বা সার্থক অঙ্কটি সর্বদাই অশূন্য হয়। যখন দ্বি-আঙ্কিক (বাইনারি) সংখ্যা (অর্থাৎ ০ অথবা ১) নিয়ে কাজ করা হয়, তখন এই সীমানির্ধারণী শর্তটির ফলে এই অঙ্কটিকে সর্বদাই ১ হতে হয়। ফলে এই অঙ্কটিকে প্রকাশ্য উপায়ে মজুদ করার প্রয়োজন হয় না, এবং এ কারণে এটিকে "লুক্কায়িত বিট" বলে। সার্থক অংশটিকে বিটের প্রস্থ দ্বারা বৈশিষ্টায়িত করা হয় এবং পরিপ্রেক্ষিতের উপর নির্ভর করে এই লুক্কায়িত বিটটিকে সার্থক অংশের প্রস্থে গণনা করা হতে পারে বা না-ও করা হতে পারে। যেমন আইইইই ৭৫৪ মান-সমর্থিত দ্বৈত-সুক্ষ্মতা ভাসমান বিন্দু বিন্যাসটিকে সাধারণত হয় একটি ৫৩ বিট সার্থক অংশের অধিকারী বলা হয় (লুক্কায়িত বিটটি সহকারে), অথবা ৫২-বিটের সার্থক অংশের অধিকারী বলা হয় (লুক্কায়িত বিটটি বাদ দিয়ে)। আইইইই ৭৫৪ মানে p সুক্ষ্মতাকে সার্থক অংশে অবস্থিত অঙ্কের সংখ্যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় (যার মধ্যে অপ্রকাশ্য লুক্কায়িত বিটও অন্তর্ভুক্ত)। অর্থাৎ দ্বৈত-সুক্ষ্মতার ভাসমান বিন্দু বিন্যাসে p=৫৩। তবে সাংকেতিকীকরণের সময় অগ্রগামী বিটটির সাংকেতিকীকরণ করা হয় না। যে ৫২টি বিট সাংকেতিকীকরণ করা হয়, সেগুলিকে "পশ্চাদগামী সার্থক অংশ ক্ষেত্র" (trailing significand field) দিয়ে নির্দেশ করা হয়।

সমার্থক পরিভাষা[সম্পাদনা]

সার্থক অংশের ইংরেজি পরিভাষা সিগনিফিক্যান্ড ১৯৬৭ সালে প্রথম জর্জ ফর্সাইদ ও ক্লিভ মোলার উপস্থাপন করেন।^[৮]^[৯]^[১০]^[৫] এই পরিভাষাটিকেই আইইইই মানে ব্যবহার করা হয়েছে।^[১১] তবে ১৯৪৬ সালে আর্থার ব্যাংকস একটি ভাসমান বিন্দু সংখ্যার দুইটি অংশকে নির্দেশ করতে "ম্যান্টিসা" (অংশক) ও "ক্যারেক্টারেস্টিক" পরিভাষাগুলি ব্যবহার করেছিলেন।^[১২] এই রীতিটি আজও কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের মধ্যে প্রচলিত। এর আগে স্বাভাবিক লগারিদমের সারণীগুলিতে ম্যান্টিসা ও ক্যারেক্টারেস্টিক পরিভাষা দুইটি বহুদিন ধরে লগারিদমের দুইটি অংশ বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হত। যদিও লগারিদম ও ভাসমান বিন্দুর আলোচনায় সূচক বা এক্সপোনেন্ট একই অর্থ বহন করে, এর বিপরীতে ম্যান্টিসা ও সিগনিফিক্যান্ড সমার্থক নয়। তাই আইইইই মানের স্রষ্টা উইলিয়াম কাহান এবং বিখ্যাত কম্পিউটার বিজ্ঞান ডোনাল্ড কানুথ "ম্যান্টিসা" পরিভাষার ব্যবহারকে নিরুৎসাহিত করেছেন।^[১]^[৪]

এই ভুল বোঝাবুঝির কারণ হল বৈজ্ঞানিক অঙ্কপাতন ও ভাসমান-বিন্দু উপস্থাপন লগ-রৈখিক, লগারিদমীয় নয়। দুইটি সংখ্যার গুণনের সময় সেগুলির লগারিদম দেওয়া থাকলে গণনাকারীকে লগারিদমের ক্যারেক্টারিস্টক (পূর্ণ সংখ্যা অংশ) ও ম্যান্টিসা (ভগ্নাংশ অংশ) যোগ করতে হয়। এর বিপরীতে দুইটি ভাসমান-বিন্দু সংখ্যাকে গুণনের সময় সূচকগুলিকে (লগারিদমীয় বলে) যোগ করতে হয়, কিন্তু সার্থক অংশগুলিকে গুণ করতে হয় (রৈখিক বলে)।

আরও দেখুন[সম্পাদনা]

অংশক (লগারিদম)

টীকা[সম্পাদনা]

↑ ফ্র্যাকশন পরিভাষাটিকে আইইইই ৭৫৪-১৯৮৫ মানে একটি ভিন্ন অর্থে ব্যবহার করা হয়েছে: এটি দিয়ে সার্থক অংশের ভগ্নাংশ অংশটিকে নির্দেশ করা হয়েছে, অর্থাৎ সার্থক অংশের (প্রকাশিত বা অপ্রকাশিত) অগ্রগামী বিটটি ছাড়া যে অংশটি, সেটিকে নির্দেশ করা হয়েছে।

তথ্যসূত্র[সম্পাদনা]

↑ ^ক ^খ ^গ Kahan, William Morton (২০০২-০৪-১৯), Names for Standardized Floating-Point Formats (পিডিএফ), […] m is the significand or coefficient or (wrongly) mantissa […]
↑ ^ক ^খ Gosling, John B. (১৯৮০)। "6.1 Floating-Point Notation / 6.8.5 Exponent Representation"। Sumner, Frank H.। Design of Arithmetic Units for Digital Computers। Macmillan Computer Science Series (1 সংস্করণ)। Department of Computer Science, University of Manchester, Manchester, UK: The Macmillan Press Ltd। পৃষ্ঠা 74, 91, 137–138। আইএসবিএন 0-333-26397-9। […] In floating-point representation, a number x is represented by two signed numbers m and e such that x = m · b^e where m is the mantissa, e the exponent and b the base. […] The mantissa is sometimes termed the characteristic and a version of the exponent also has this title from some authors. It is hoped that the terms here will be unambiguous. […] [w]e use a[n exponent] value which is shifted by half the binary range of the number. […] This special form is sometimes referred to as a biased exponent, since it is the conventional value plus a constant. Some authors have called it a characteristic, but this term should not be used, since CDC and others use this term for the mantissa. It is also referred to as an 'excess -' representation, where, for example, - is 64 for a 7-bit exponent (2⁷⁻¹ = 64). […] (NB. Gosling does not mention the term significand at all.)
↑ English Electric KDF9: Very high speed data processing system for Commerce, Industry, Science (পিডিএফ) (Product flyer)। English Electric। c. 1961। Publication No. DP/103. 096320WP/RP0961। 2020-07-27 তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ 2020-07-27। এখানে তারিখের মান পরীক্ষা করুন: |তারিখ= (সাহায্য)
↑ ^ক ^খ Knuth, Donald E.। The Art of Computer Programming। 2। পৃষ্ঠা 214। আইএসবিএন 0-201-89684-2। […] Other names are occasionally used for this purpose, notably 'characteristic' and 'mantissa'; but it is an abuse of terminology to call the fraction part a mantissa, since that term has quite a different meaning in connection with logarithms. Furthermore the English word mantissa means 'a worthless addition.' […]
↑ ^ক ^খ Savard, John J. G. (২০১৮) [2005]। "Floating-Point Formats"। quadibloc। A Note on Field Designations। ২০১৮-০৭-১৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৭-১৬।
↑ ^ক ^খ Schmid, Hermann (১৯৭৪)। Decimal Computation (1 সংস্করণ)। Binghamton, New York, USA: John Wiley & Sons, Inc.। পৃষ্ঠা 204-205। আইএসবিএন 0-471-76180-X। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০১-০৩।
↑ ^ক ^খ Schmid, Hermann (১৯৮৩) [1974]। Decimal Computation (1 (reprint) সংস্করণ)। Malabar, Florida, USA: Robert E. Krieger Publishing Company। পৃষ্ঠা 204–205। আইএসবিএন 0-89874-318-4। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০১-০৩। (NB. At least some batches of this reprint edition were misprints with defective pages 115–146.)
↑ Forsythe, George Elmer; Moler, Cleve Barry (সেপ্টেম্বর ১৯৬৭)। Computer Solution of Linear Algebraic Systems। Automatic Computation (1st সংস্করণ)। New Jersey, USA: Prentice-Hall, Englewood Cliffs। আইএসবিএন 0-13-165779-8।
↑ Sterbenz, Pat H. (১৯৭৪-০৫-০১)। Floating-Point Computation। Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1 সংস্করণ)। Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall। আইএসবিএন 0-13-322495-3।
↑ Goldberg, David (মার্চ ১৯৯১)। "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic" (পিডিএফ)। Computing Surveys। Xerox Palo Alto Research Center (PARC), Palo Alto, California, USA: Association for Computing Machinery, Inc.। 23 (1): 7। ২০১৬-০৭-১৩ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০৭-১৩। […] This term was introduced by Forsythe and Moler [1967], and has generally replaced the older term mantissa. […] (NB. A newer edited version can be found here: [১])
↑ 754-2019 - IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic। IEEE। ২০১৯। আইএসবিএন 978-1-5044-5924-2। ডিওআই:10.1109/IEEESTD.2019.8766229।
↑ Burks, Arthur Walter; Goldstine, Herman H.; von Neumann, John (১৯৬৩) [1946]। "5.3."। Taub, A. H.। Preliminary discussion of the logical design of an electronic computing instrument (পিডিএফ)। Collected Works of John von Neumann (Technical report, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA)। 5। New York, USA: The Macmillan Company। পৃষ্ঠা 42। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০২-০৭। […] Several of the digital computers being built or planned in this country and England are to contain a so-called "floating decimal point". This is a mechanism for expressing each word as a characteristic and a mantissa—e.g. 123.45 would be carried in the machine as (0.12345,03), where the 3 is the exponent of 10 associated with the number. […]

[NB_Fraction-4] ফ্র্যাকশন পরিভাষাটিকে আইইইই ৭৫৪-১৯৮৫ মানে একটি ভিন্ন অর্থে ব্যবহার করা হয়েছে: এটি দিয়ে সার্থক অংশের ভগ্নাংশ অংশটিকে নির্দেশ করা হয়েছে, অর্থাৎ সার্থক অংশের (প্রকাশিত বা অপ্রকাশিত) অগ্রগামী বিটটি ছাড়া যে অংশটি, সেটিকে নির্দেশ করা হয়েছে।

[Kahan_2002-1] ক ^খ ^গ Kahan, William Morton (২০০২-০৪-১৯), Names for Standardized Floating-Point Formats (পিডিএফ), […] m is the significand or coefficient or (wrongly) mantissa […]

[Gosling_1980-2] ক ^খ Gosling, John B. (১৯৮০)। "6.1 Floating-Point Notation / 6.8.5 Exponent Representation"। Sumner, Frank H.। Design of Arithmetic Units for Digital Computers। Macmillan Computer Science Series (1 সংস্করণ)। Department of Computer Science, University of Manchester, Manchester, UK: The Macmillan Press Ltd। পৃষ্ঠা 74, 91, 137–138। আইএসবিএন 0-333-26397-9। […] In floating-point representation, a number x is represented by two signed numbers m and e such that x = m · b^e where m is the mantissa, e the exponent and b the base. […] The mantissa is sometimes termed the characteristic and a version of the exponent also has this title from some authors. It is hoped that the terms here will be unambiguous. […] [w]e use a[n exponent] value which is shifted by half the binary range of the number. […] This special form is sometimes referred to as a biased exponent, since it is the conventional value plus a constant. Some authors have called it a characteristic, but this term should not be used, since CDC and others use this term for the mantissa. It is also referred to as an 'excess -' representation, where, for example, - is 64 for a 7-bit exponent (2⁷⁻¹ = 64). […] (NB. Gosling does not mention the term significand at all.)

[EE_1961-3] English Electric KDF9: Very high speed data processing system for Commerce, Industry, Science (পিডিএফ) (Product flyer)। English Electric। c. 1961। Publication No. DP/103. 096320WP/RP0961। 2020-07-27 তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ 2020-07-27। এখানে তারিখের মান পরীক্ষা করুন: |তারিখ= (সাহায্য)

[Knuth_ACP-5] ক ^খ Knuth, Donald E.। The Art of Computer Programming। 2। পৃষ্ঠা 214। আইএসবিএন 0-201-89684-2। […] Other names are occasionally used for this purpose, notably 'characteristic' and 'mantissa'; but it is an abuse of terminology to call the fraction part a mantissa, since that term has quite a different meaning in connection with logarithms. Furthermore the English word mantissa means 'a worthless addition.' […]

[Savard_2005-6] ক ^খ Savard, John J. G. (২০১৮) [2005]। "Floating-Point Formats"। quadibloc। A Note on Field Designations। ২০১৮-০৭-১৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৭-১৬।

[Schmid_1974-7] ক ^খ Schmid, Hermann (১৯৭৪)। Decimal Computation (1 সংস্করণ)। Binghamton, New York, USA: John Wiley & Sons, Inc.। পৃষ্ঠা 204-205। আইএসবিএন 0-471-76180-X। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০১-০৩।

[Schmid_1983-8] ক ^খ Schmid, Hermann (১৯৮৩) [1974]। Decimal Computation (1 (reprint) সংস্করণ)। Malabar, Florida, USA: Robert E. Krieger Publishing Company। পৃষ্ঠা 204–205। আইএসবিএন 0-89874-318-4। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০১-০৩। (NB. At least some batches of this reprint edition were misprints with defective pages 115–146.)

[Forsythe_Moler_1967-9] Forsythe, George Elmer; Moler, Cleve Barry (সেপ্টেম্বর ১৯৬৭)। Computer Solution of Linear Algebraic Systems। Automatic Computation (1st সংস্করণ)। New Jersey, USA: Prentice-Hall, Englewood Cliffs। আইএসবিএন 0-13-165779-8।

[Sterbenz_1974-10] Sterbenz, Pat H. (১৯৭৪-০৫-০১)। Floating-Point Computation। Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1 সংস্করণ)। Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall। আইএসবিএন 0-13-322495-3।

[Goldberg_1991-11] Goldberg, David (মার্চ ১৯৯১)। "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic" (পিডিএফ)। Computing Surveys। Xerox Palo Alto Research Center (PARC), Palo Alto, California, USA: Association for Computing Machinery, Inc.। 23 (1): 7। ২০১৬-০৭-১৩ তারিখে মূল (পিডিএফ) থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০৭-১৩। […] This term was introduced by Forsythe and Moler [1967], and has generally replaced the older term mantissa. […] (NB. A newer edited version can be found here: [১])

[IEEE-754-2019-12] 754-2019 - IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic। IEEE। ২০১৯। আইএসবিএন 978-1-5044-5924-2। ডিওআই:10.1109/IEEESTD.2019.8766229।

[Burks_1946-13] Burks, Arthur Walter; Goldstine, Herman H.; von Neumann, John (১৯৬৩) [1946]। "5.3."। Taub, A. H.। Preliminary discussion of the logical design of an electronic computing instrument (পিডিএফ)। Collected Works of John von Neumann (Technical report, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA)। 5। New York, USA: The Macmillan Company। পৃষ্ঠা 42। সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-০২-০৭। […] Several of the digital computers being built or planned in this country and England are to contain a so-called "floating decimal point". This is a mechanism for expressing each word as a characteristic and a mantissa—e.g. 123.45 would be carried in the machine as (0.12345,03), where the 3 is the exponent of 10 associated with the number. […]

[১]

[২]

[৩]

[টীকা ১]

[৪]

[৫]

[৬]

[৭]

[৮]

[৯]

[১০]

[১১]

[১২]